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Question

Erste Bildrekonstruktion in den 70-Iger Jahren

Answer 1

ART: Algebraic Reconstruction: einfaches lineares Gleichungssystem (LGS) - diskretes Sampling - Bestimmung der Größe und Anzahl der Pixel im FOV: 2x2 Bild = 4 Elementvektor - fj als unbekannte Schwächungskoeff. (Mü j) - pi als gemessene Projektionen - aij als Gewichte in Systemmatrix A p=Af —> Inverse finden —> brauchen ein überdef. System, heißt dass A keine quadr. Matrix mehr ist Wir brauchen ein überbestimmtes System (wegen des Rauschens, das wir haben) Dafür brauchen wir ein passendere Inversion —> durch SVD berechnet Das System könnte riesig werden mit vielen Detektorenelementen —> Alternative: iterative Methode: Kaczmarz Methode

Answer 2

die Moore-Penrose-Inverse A ^ {+} einer Matrix A die bekannteste Verallgemeinerung der inversen Matrix. Verallgemeinerung der inversen Matrix auf singuläre und nichtquadratische Matrizen Moore-Penrose-Inverse (auch einfach Pseudoinverse) einer Matrix A\^{{mxn}} ist die eindeutig bestimmte Matrix A^{+}^{{nxm}}

Answer 3

Eine Singulärwertzerlegung (Abk.: SWZ oder SVD für Singular Value Decomposition) einer Matrix bezeichnet deren Darstellung als Produkt dreier spezieller Matrizen. Daraus kann man die Singulärwerte der Matrix ablesen. Diese charakterisieren, ähnlich den Eigenwerten, Eigenschaften der Matrix. A=U*Sigma*V^T U (spannt Datenraum auf) und V (spannt Lösungsraum auf: quadr. Matrizen Sigma: Rechteckmatrix (diagonal) mit singulären Werten

Answer 4

- Wir brauchen ein überbestimmtes System (wegen des Rauschens, das wir haben) - Dafür brauchen wir ein passendere Inversion : durch SVD berechnet - Das System könnte riesig werden mit vielen Detektorenelementen —> Alternative: iterative Methode! —> Kaczmarz Methode Wir brauchen ganz viele Detektorelemente: Bildmaterial, die rekonstruiert wird: 512x512 Pixel N unbekannte Mengen und M Gleichungen —> M>N —> Eine direkte Umkehrung (Invertierung) der Matrix A durch Nutzung der SVD-Berechnung ist nicht praktizierbar. —> iterative Rekonstruktion

Answer 5

Nutzung: Da keine direkte invertierung von A (Systemmatrix, rechteckig) möglich ist - Mit einem Anfangsbild starten (pm): Schwächungskoeff. Sind null f(0) - Vorwärtspeojektion ps= Af(0) - Korrekturschritt: Rückprojektion pm-ps - Wiederholen mit anderen Perspektiven Eine Sequenz von Bildern nähert sich an das erwünschte tomografische Bild Eine iteration: f(1): A^T(pm-ps) pm-ps : Rückprojektion —> Kaczmarz Methode

Answer 6

Vorwärts-, Rückprojektion und Korrektur -Vergleich zwischen der gemessenen Projektion p und der simulierten Vorwärtsprojektion p(n)= A*f(n) führt zu einer Verbesserung des Bildes f(n+1) Bis zur Kreuzung der X-Ray Linien/Projektionen p(n) Kreuzung am Punkt f(Schlange) als Näherung der penrose Inversen 1. wenn die Linien senkrecht zueinander liegen würden 2. wenn die Linien parallel zueinander sind liegt der Kreuzpunkt in der Unendlichkeit 1. initiales Bild bestimmen 2. Vorwärtsprojektion berechnen basierend auf der n-ten Schätzung: p(n)=Af(n) 3. Korrekturschritt (minus vor Bruch) der Schätzung: Projektionsindex ist zufällig gewählt: Formel f(n)=f(n-1)-… 4. Stoppkriterium: Iteration stoppen, wenn keine Veränderung (die größer als fixer Grenzwert ist) in den aufeinanderfolgenden Bildwerten passiert.

Answer 7

Eine Integraltransformation einer Funktion in zwei Variablen. Es wird ein Linienintegral der Funktion f(x,y) längs aller Geraden der x,y-Ebene bestimmt. Für jede dieser Geraden kann man sich die Radontransformierte als eine Projektion der Fkt. f(x,y) auf eine dazu senkrechte Gerade vorstellen. —> inneres Produkt zwischen einer bestimmten Reihe der Systemmatrix A definieren Objekt kann anhand aller Linienintegrale bestimmt werden. Transformation von f(x,y) nach p(Teta, s) durch Radontransformation

Answer 8

Eine Integration über alle Punkte und Richtungen kann somit die ganze Fläche des Objektes darstellen. Dabei sind einige Linienintegrale jedoch identisch, was zu Problemen führt. Um diese Herausforderung zu bewältigen wurde ein neues Ordnungsschema gewählt, bei dem alle Linienintegrale nur einmal vorkommen: Die sogenannte Hesse-Normalform. —> Annahme, dass manche Projektionen unter beliebigen Winkeln bekannt

Answer 9

Es muss ein überbetontes System sein: mehr Strahlen, als Koordinaten f Rauschen könnte auftreten —> heißt es gibt nicht nur ein Kreuzpunkt aller Geraden, wodurch man in einem Dreieck gefangen ist am Ende —> Kompromiss: mit Fehler berechnen Diskretisierung des Bildes mit Nutzung von Blobs: f(r) wird angenähert mit lin. Kombi. Der Basis Funktionen f(r): kontinuierliche räumliche Verteilung der Schwächungswerte Idee: f(r) annähern mit f=(f1,…fN)^T N: Anzahl der Basisfunktionen

Answer 10

Durch die Relaxationstechnik mit Lamda ungleich 1 (konvergiert gegen 1) vor Bruch

Answer 11

Blobs anwenden —> Pixel überlappen Basisfunktion: Phi(j) rj: Zentrum der Basisfunktion r: aktuelle Position Basisfunktion mit Vektor (r-rj) multiplizieren

Answer 12

Annäherungen des analogen Signals Signaltransformation —> System durch fundamentale Signale analysieren: Da zb. Recht. Fkt besser zu verstehen als komplexe: Annäherung Mit rect Fkt. Ein Gatter unter Signal erstellen: Summe von rect.Fkt. Jede einzelne rect.Fkt. Hat einen Ort nX0 —> je kleiner die Funktion, desto akkurater die Annäherung —> Konzept der Delta-Verteilung mit limes gegen Null —> wird Strich Analoges Signal Abtasten—> Dirac-Kamm

Answer 13

S(x) —> h(x) —> g(x) - h(x): Impulsantwort - Delta als Hammer nutzen - output Fkt kann beschrieben werden durch input signal in Faltung mit h(x), gemessen mit Hammerfunktion … L(s(x)): lin.Operator g(x)= s(x)* h(x) —> substituieren durch Delta(Xsi)

Answer 14

Eine sinusförmige Fkt. Und Frequenz mit Funktionsgenerator durchsuchen Nehme Eulerrelation: allg. Def. On Sinus/Kosinus

Answer 15

Stickmuster

Answer 16

Sie sind ein sehr gutes Beispiel für die Definition (Erzeugung) einer orthonormalen Basis, ähnlich der Sinus-/Kosinusfunktionen. Während letztere in der Lage sind, mittels der Spektralanalyse (Fourieranalyse) ein periodisches Signal in ein Frequenzspektrum zu zerlegen, erlauben die Hermiteschen Funktionen die Beschreibung singulärer Ereignisse. Bei realen und unsymmetrische Fkt.en

Answer 17

Eine lin. Integraltransformation, eine Abbildung aus der Systemtheorie. Stellt eine Beziehung zwischen Betrag und Phase her. —> 4 mal Hilbert angewendet auf Funktion f(x)= f(x) Anwendung bei Umformung eines reellen Signals in ein analytisches. Sie erweitert reelles Signal zum komplexen (analytisches Signal) - Sie ist eine Faltung der Fkt. Mit 1/Pix Gegensatz zu FT und Laplace (Abb. von Zeit und Frequenzbereich aufeinander) : Hilbert wechselt nicht den Bereich (beides Zeitfunktionen?)

Answer 18

- ein festes PatientenKS (x,y) | - ein rotierendes um Patient: sampling System —> Messungen

Answer 19

Alle Punkte, die den Detektor an der Stelle xi treffen, kann durch das innere Produkt von r und u(xeta) auf den Detektorpunkt xi projiziert werden.

Answer 20

Das Summieren von allen Punkten auf der Strahllinie L. Ganze Ebene: Mit Radon Transformation: Bestimmung eines Linienintegrals der Funktion f längs aller Geraden in x-y-Ebene. Bildpunkte f(x,y) —> Projektionslinie p(gamma, Xi)

Answer 21

In eines Sinogramm —> der Shift einer Detektorlinie ist sinusförmig Intensitätsplot (beer-lambert-law) —> Log(intensitätsplot), um Argument der e-Fkt zu bekommen —> Projektionsintegral(Radonraum)

Answer 22

Analytische Rekonstruktion (Fourier-basiert) - mit Radons Lösung - FST - Regridding

Answer 23

Berechnung der Werte von f(x,y) (Schwächung), die durch den Mittel-Projektionswert pr(R)komplett bestimmt. —> f(r) Mittel-Projektionswert pr(R) geformt (mit (p(Xi,gamma))) für die Tangentenlinien der Kreise mit dem Zentrum r und Radius R

Answer 24

Bei der inversen Radontransformation: Beziehung zwischen Bild und FT vom Bild und Projektion und FT von Projektiion respektiv. Das Bild und die Projektion wird durch das FST gegeben Gemessene Projektion p —> FT —> P —> ?—>F—> FT^-1 —> Bild f FST: bestimmt die Beziehung zwischen Radontransformation p( und Diagonale des Wellenzahlen Spektrums P(kx, 0)

Answer 25

Radius q: die Frequenzvariable der Detektorwerte Q: Repräsentative im Fourierraum des Schattens unter Winkel gamma Die Fourier-Repräsentative der Xi Koordinate, eine Verbindung der Polar/Rotationskoordinaten zwischen x,y im Fourierraum u,v —> Polarkoordinate ist der Radius q im Frequenzraum (Richtung Xi zeigend)

Answer 26

Für die Substitution: die Verzerrung ist nur eine Rotation —> keine Veränderung des Integralelementes —> Jacobian=1

Answer 27

Durch die Gleichheit von Pgamma(q), fourierrepräsentationen der gemessenen Projektionswerte, mit F(u,v), Fourierwerte des gewünschten Bildes, in einem Plot Pgamma(q) —> FST —> F(u,v)

Answer 28

Nötig, da die Winkel schrittweise erfasst sind —> Lücken zwischen Winkeln Bei der direkten Rekonstruktion durch FST —> bei hohen Frequenzen entstehen größere Lücken, wodurch die Interpolation viel ungenauer wird -> Fehler/Artefakte

Answer 29

Sampling-Geometrie finden , die Interpolation verhindert: Nutzung der reziproken Beziehung zwischen Fourierraum und Radonraum —> Linogram Sampling

Answer 30

Überlappung der Signale Durch sampling Theorem (Nyquist)

Answer 31

Eine Verschiebung im Frequenzraum zu höheren Frequenzen (dass reguläres Gitter entsteht: um konzentrische Quadrate im Fourierraum zu erhalten) heißt, eine Verkleinerung der Abstände im Ortsraum

Answer 32

Sampling-Geometrie finden , die Interpolation verhindert: Nutzung der reziproken Beziehung zwischen Fourierraum und Radonraum Rückprojektionsmethoden, da es zu teuer wäre mit zwei festen Detektoren

Answer 33

Einfache Rückprojektion: Projektion zurück schmieren. Auch mit Radontransformation und inversen g(x,y) = f(x,y) Faltung mit PSF h(x) f(x,y)= Delta(x,y) : ein Punkt

Answer 34

Definiert wie ein Punkt sich in der Nachbarschaft ausbreitet

Answer 35

Wenn ein Punkt in die Nachbarschaft mit 1/r(Distanz vom Ursprung) gestreut wird, dann ist die Rekonstruktion immer möglich —> da wir mit Überlagerung der Infos über 180° am Ende eine Grenze nehmen können und das Maximum des geschmierten Bildes als das originale Punktbild definieren.

Answer 36

Unscharfe Rekonstruktion —> PSF bekannt —> scharf durch Entfaltung mit Layergram Methode g(x,y)gemessen(unscharf)=f(x,y)*h(x,y) Entfaltungsschritt mit linearen Variable q (q in der FT der PSF h(x,y)) H(u,v)=F (1/Wurzel(x^2+y^2) in Polarkoordinaten wegen der radialen Symmetrie

Answer 37

Berechnung der Fouriertransformierten p_γ (ξ)= P_γ (q) Rücktransformation des hochpassgefilterten P_γ (q) |q|P_γ (q)=h_γ (ξ) Rückprojektion mit ξ=xcos(γ)+ysin(γ):f(x,y)= ∫_0^π▒〖h_γ (ξ)dγ〗 Betrachte den Wechsel von kartesischen zu Polarkoordinaten. Wie sieht die inverse FT von F(u,v) in Polarkoordinaten aus? --> FT in Koordinaten darstellen, die zu Abtastgeometrie passen Das Flächenelement dudv ist bei Koordinatenwechsel durch J dqdγ gegebenen --> Jacobi Identität Die Elemente du dv haben im kartesischen System immer dieselbe Fläche In Polarkoordinaten: Fläche ändert sich mit Distanz --> Wähle korrekte Verwendung des neuen Flächenelements in Polarkoordinaten Teilen des Integrals (Projektionen von 0- pi und von pi- 2pi getrennt betrachten) Die Verschiebung der Phase im 2. Integralterm kann man ins Argument von F ziehen. Nutze Symmetrieeigenschaften der FT --> f(x,y) ist real, nicht symmetrisch --> F(q,γ) komplex, hermitisch (real: gerade, imaginär: ungerade) FST anwenden (Identifizieren einer FT einer Projektion mit einer Linie in der FT des gesuchten Bildes) --> F(q,γ) ist Linie in der FT des gesuchten Bildes Für einen festen Punkt und einen festen Projektionswinkel ist ξ die Projektionskoordinate des Punktes r --> h_γ (ξ) ist die gefilterte Projektion p_γ (ξ), die durch Multiplikation im Frequenzraum zustande kommt Ohne die Multiplikation mit Betrag von q würde die Gleichung nur die inverse FT von P_γ (q) ergeben Durch Multiplikation mit Betrag von q --> Hochpassfilterung, da durch die linear ansteigende Gewichtung das Spektrum p_γ (ξ) stärker gewichtet wird

Answer 38

Hochpassfilterung, da durch die linear ansteigende Gewichtung das Spektrum p_γ (ξ) stärker gewichtet wird

Answer 39

P_γ (q) über q aufgetragen Hochpassfilter als Gewichtung (Konsequenz der Jakobian)

Answer 40

--> Nyquist und Shepp Logan --> Nuk Nyquist: die Samlingfrequenz sollte größer gleich 2 mal die höchste vorkommende Frequenz sein --> die Samplingfrequenz ist das inverse der Samplingdistnaz r --> dann kann die höchste Frequenz, die aufgenommen werden kann höchstens : v=1/(2*dr) sein Aber: Die radiale Abtastung dr impliziert eine obere Grenze für den Ramp Filter→ Cut-Off

Answer 41

bei Problemen mit radialer Symmetrie und Analyse des Frequenzspektrums frequenzmodulierter Signale

Answer 42

die einfache Rückprojektion reparieren (scharfes Bild) nachteil: Projektionen aus allen Blickwinkeln müssen erfasst werden bevor Rekonstruktion begonnen werden kann. - -> FBP

Answer 43

im Polarraum, im Kartesischen nicht

Answer 44

Durch den Fakt, dass die Projektionen in den Intervallen (0-Pi) und (Pi-2Pi) dieselben Informationen haben wir nutzen die Phasenverschiebungen in den Argumenten im zweiten Teil.

Answer 45

1. Filterschritt | 2. Rückprojektionsschritt, Diskretisierung auswählen

Answer 46

- bei der FBP haben wir gleichverteilte Informationen in allen Teilen des Bildes - Alle 180° X-Rays haben Muster mit gleichen Dichten --> Anzahl der Rückprojektionen ist gleich in allen Regionen

Answer 47

Filter Kernel mit versch. Betas | --> je niedrieger Beta, desto schärfer der Kernel

Answer 48

Wir bekommen eine Diskretisierung durch die Xi-breiten Detektorelemente Müssen beim Samplen Nyquist Frequenzen anwenden, um Aliasing zu verhindern - Samplingrate: 1/Xi - Frequenzen, die größer als 1/2 der Samplingrate sind stoppen - Abschneiden (Truncation), da wir keine kontinuierlichen Signale haben: Integration von Frequenz -Q bis Q —> mehrere Schnitte Das Abschneiden ist ein Filter: eine rechteckfkt im Fourierraum und im Ortsraum eine Sincfkt. (Der Shepp-Logan-Filter ist ein Mittelweg zwischen den beiden vorigen. Weiche Filter erzeugen größere, gleichmäßige Strukturen, harte Filter feine, aber unruhige) —> Dämpfen, um scharfe Rekonstruktionen zu bekommen —> aber räumlich Auflösung wird kleiner —> TradeOff Also haben wir am Ende eine Summe über Projektionsschritte N —> Bsp. 180 Projektionen in 1°-Schritten

Answer 49

Bei Detektorelementen mit flachem Intensitätsprofil einzusetzen! Gemessenes Signal ist nicht Bandlimitiert (durch sinc.Fkt) —> Bandüberlappungsprobleme —> Shannon-sampling-theorem besagt, der Abstand zwischen Abtastpunkten muss Delta(Xi)/2 sein, was aber durch die Konstruktion nicht möglich ist. —> können den Abstand der Detektorelemente ja nicht halbieren Lösung: Verschieben des Detektors, sodass X-Ray Abstände Delta(Xi)/2 sind. —> Messungen im Sinogramm nach 180° nicht mehr gleich, sondern genau dazwischen aufgenommen. Höhere Quarter-Detector Verschiebung: höherer Sampling in der Mitte als Außen

Answer 50

Nein, man muss 180° + Fächerwinkel drehen! Da bei nur einer 180°-Drehung ein paar Winkel/Punkte ausgelassen wurden Rebinning/umlagern zu einer Pencil-Beam Geometrie —> Parallele Strahlen finden.

Answer 51

Umsamplen zu paralleler Strahlgeometrie mapping vom realen gebogenen Detektor zum virtuellen geraden Detektor. Für jeden Teta von Zeta (beides Winkel) einen bestimmten Punkt auf dem virtuellen Detektor finden. Für jeden Projektionswinkel und bestimmten Winkel.

Answer 52

3D - Rekonstruktionsschema: Gefilterte Projektionssignale sind durch das Volumen zurück verfolgt —> Werte werden mit quadratisch reziproken Abständen gewichtet —> nur eine Annäherung, da die Methode Fehler macht

Answer 53

Diskontinuierliche Verschiebung macht weiße Striche (Artefakte) Pitch= Tischbewegung/Schichtdicke

Answer 54

X-Ray Photonen Statistik —> Wissen in Max likelihood reconstruction nutzen Beliebter: FBP

Answer 55

Jedes Elektron, das in einem Zeitfenster (0,T) am aktiven Fokusvolumen (Anode) ankommt, hat eine Wahrscheinlichkeit p, dass es im gleichen Zeitintervall mit einem Zielatom interagiert, sodass ein X-Ray auftaucht. —> Jeder Kollisionsprozess ist statistisch unabhängig —> heißt, dass die Anzahl an X-Ray Quanten N eine binomial verteilte willkürliche Variable mit n(0,…N) —-> Bernoulli Verteilung (eine diskrete): N über n Wenn Anzahl an hohen Eventen N kann die Verteilung der X-Ray Photonen in einem best. Zeitfenr durch Poisson Verteilung (kontinuierlich) modelliert werden.

Answer 56

Eine Zusammenfassung der gemessenen Projektionswerte des Projektionsintegrals in einem kartesischen KS (Xi,gamma). —> Das Diagramm wird Sinogramm oder Radonraum genannt

Answer 57

Die Wahrscheinlichkeit eines Absorption’s-/Streuungs- Event ist proportional zum Schwächungskoeffizienten. Die absolute Anzahl an Röntgenstrahlen —> Poisson-Statistik —> Erwartungswert von Anzahl der erzeugten Quanten (poissonverteilt) Mit Beer-Lambert-Gesetz Intensität der Strahlung ist Proportional zum Erwartungswert der Anzahl an erzeugten Quanten Also —> die Wsl der Messung einer bestimmten Anzahl an Quanten ni mit einem erwarteten Wert ni* kann als Poissonverteilung modelliert werden. ni ist statistisch unabhängig —> Mit einer gewissen Wsl (Poissonverteilung) messen wir eine bestimmte Anzahl an Quanten mit einem Erwartungswert. Wit messen bets. Anzahl an Photonen ni obwohl wir ni* erwartet haben und die Wsl, dass der erwartete Wert eintritt ist poisson-verteilt. Die Wsl ni zu messen ist gegeben durch Poissonstatistik. —> Beerlamberlaw ist nicht in Nuk. Gebraucht (e^…)

Answer 58

Ist eine Optimierung/Maximierung der log-likelyhood Funktion l(f*) Hinreichende und notwendige Bed.: 1. Ableitung =0 2. die Konkavität der Funktio l zeigen mit Hessische Matrix (zweite Ableitungen): negativ-semi-definit —> dann Fixpunktiteration

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