Daten & Zufall: Definitionen

Question 1

Kombinatorik

Answer 1

Die Kombinatorik beschäftigt sich mit der Anzahl der möglichen Anordnungen bei einem Versuch, wobei sie unterscheidet, ob die Reihenfolge von Bedeutung ist oder nicht und ob Wiederholungen (Zurücklegen) zugelassen werden oder nicht.

Question 2

Grundsituationen

Answer 2

2 Fragen:
1. Spielt die Reihenfolge eine Rolle? (Ja/Nein)
2. Ist die wiederholung erlaubt? (Ja/Nein)
-> Daraus entstehen die 4 Grundsituationen

Question 3

Binominalkoeffizient

Answer 3

n über k
(zur Lösung von Aufgaben vom Grundtyp “ohne Reihenfolge, ohne Wiederholung”)

Question 4

Permutation

Answer 4

Unter einer Permutation versteht man die verschiedenen Anordnungen von Elementen einer Grundmenge, wobei in jeder Anordnung alle Elemente der Grundmenge berücksichtigt werden müssen.

Question 5

Fakultät

Answer 5

n! = n * (n-1) * (n-2) * …

Question 6

k-Menge

Answer 6

Notation:
In geschweiften Klammern {} werden mit Komma getrennt die Möglichkeiten angegeben.
-> Reihenfolge spielt keine Rolle

Bsp. {3, 2, 1} ist dieselbe Menge wie {1, 2, 3}

Question 7

Mehrstufige Zufallexperimente

Answer 7

Mehrstufige Zufallsexperimente sind Zufallsexperimente, die aus mehreren Schritten bestehen, die für sich selbst auch Zufallsexperimente sind.

Question 8

Ergebnisraum

Answer 8

Menge aller möglichen Ergebnisse aus einem Zufallsexperiment. Wird mit Ω bezeichnet.

Question 9

Ereignis

Answer 9

Man betrachte ein Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge Ω. Unter einem Ereignis E versteht man eine beliebige Teilmenge von Ω.

Question 10

Vereinigung

Answer 10

Das zusammengesetzte Ereignis A ∪ B lässt sich also sprachlich durch A oder B tritt ein ausdrücken.

Question 11

Schnittmenge

Answer 11

Das Ereignis A ∩ B lässt sich also sprachlich durch A und B treten beide zusammen ein ausdrücken.

Question 12

Gegenereignis

Answer 12

Ereignis das dem zu erreichenden widerspricht. z.B. wird beim Münzwurf anstelle des gewünschten Ereignisses “Kopf” das Gegenereignis “Zahl” abgefragt.
Zum Ereignis A wird das Gegenereignis mit Ā bezeichnet.

Question 13

Laplace-Experiment

Answer 13

Zufallsexperimente, bei dem jedes Ergebnis mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintritt heissen Laplace-Experimente.

Question 14

Wahrscheinlichkeitsmodell

Answer 14

Wir nutzen für eine reale Situation ein W-Modell, indem wir den Wahrscheinlichkeitsraum festlegen. Es gibt verschiedene Modelle (Laplace, Bernoulli, …)

Question 15

Laplace-Modell

Answer 15

Ein Laplace-Modell ist ein Wahrscheinlichkeitsraum, bei dem das Wahrscheinlichkeitsmass genau der Anteilsregel entspricht (Anzahl der Günstigen durch möglichen) und man davon ausgeht, dass jedes Ergebnis gleichwahrscheinlich eintritt

Question 16

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Answer 16

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeit auf die verschiedenen Ereignisse Verteilt. Die Funktion P wird gleichbedeutend als “Wahrscheinlichkeitsmass” oder “Wahrscheinlichkeitsverteilung” bezeichnet

Question 17

Tupel-Schreibweise

Answer 17

Notation: In Klammer mit | getrennt wird geschrieben was Person 1 gewählt / gezogen etc. hat, was Person 1 gewählt / gezogen etc. hat usw.)

Bsp:
(B|D|C|A)

k-Tuple: (ὦ1| ὦ2 | ὦ3…)
Ω = Menge aller k-Tuple
|Ω| = Anzahl aller k-Tuple

-> Reihenfolge spielt hier eine Rolle

Question 18

Anteilsregel

Answer 18

Betrachten wir die Ergebnisse aus Ω als gleichwahrscheinlich, dann ordnen wir jedem Ereignis E Ω zu -> P(E) = E/Ω

Question 19

Zählprinzip

Answer 19

Hat man n1 Möglichkeiten die 1. Stelle zu besetzen, n2 Möglichkeiten, die 2. Stelle usw.. schliesslich nk Möglichkeiten die k-te Stelle zu besetzen, dann ist die Anzahl möglicher k-Tupel gliech dem Produkt n1 * n2 * … * nk.

Question 20

k-Tupel

Answer 20

Tupel sind in der Mathematik neben Mengen eine wichtige Art und Weise, mathematische
Objekte zusammenzufassen. Ein Tupel ist eine Liste endlich vieler, nicht
notwendigerweise unterschiedlicher Objekte. Dabei spielt, im Gegensatz zu Mengen, die Reihenfolge der Objekte eine Rolle.

Question 21

Wahrscheinlichkeit

Answer 21

Mass das bestimmt, wie sehr erwartet wird das ein bestimmtes Ereignis eintritt.

Question 22

Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Answer 22

Statistisch ist Wahrscheinlichkeit einen Wert der sich als relative Häufigkeit empirisch bestimmen lässt.

Der Schätzwert heisst statistische Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E.

Question 23

Mathematischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Answer 23

Mathematisch ist “Wahrscheinlichkeit” ein Mass/eine Funktion, die jedem Ereignis einen Wert zwischen 0 und 1 zuordnet und bestimmte Eigenschaften (gemäss der Axiome) besitzt.

Question 24

Relative Häufigkeit

Answer 24

Das Verhältnis „(absolute) Häufigkeit, mit der das Ereignis E auftritt, im Verhältnis zu der Anzahl n der Versuche“
heisst relative Häufigkeit von E und wird mit hₙ(E) bezeichnet.

Question 25

Kolmogorow-Axiome

Answer 25

Gegeben ist eine endliche Menge Ω und eine Funktion P, die jeder Teilmenge E von Ω eine reelle Zahl P(E) zuordnet. Erfüllt die Funktion P für beliebige E; E1; E2 C Ω folgende drei Eigenschaften: - P (E) grösser gleich 0 -> Egal welche Teilmenge eingesetzt wird, die Zahl ist grösser oder gleich 0 - P (Ω) = 1 -> Wenn die Teilmenge eingesetzt wird, die alle Elemente enthält (Omega) ist das Ergebnis = 1 - Wenn E1 ∩ E2 = nicht null dann P(E1 ∪ E2)= P(e1) + P(E2) -> Wenn man zwei Teilmengen nimmt, die disjunkt sind (ohne Überschneidung), dann erhalte ich den Wert bei der Funktion für dieses zusammengesetzte Ereignis als Summe der beiden Teilergebnisse. dann heisst P Wahrscheinlichkeitsmass , das Paar (Ω P) Wahrscheinlichkeitsraum

Question 26

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Answer 26

Sei (Ω|P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A ein Ereignis mit P(A) > 0. Dann heisst PA(B) = P(A ∩ B) / P(A) die bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung A.

Question 27

Stochastische Unabhängigkeit

Answer 27

Sei (Ω|P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und für zwei Ereignisse A,B ⊆ Ω gelte P(A ∩ B) = P(A) * (P(B). Dann sind diese Ereignisse stochastisch unabhängig. -> Information dass Ereignis B eingetreten ist, beeinflusst die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A nicht.

Question 28

Totale Wahrscheinlichkeit

Answer 28

Diese Summe von Pfadwahrscheinlichkeiten P(B) wird auch als totale Wahrscheinlichkeit von B bezeichnet. => Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten für B

Question 29

Erwartungswert

Answer 29

Sei (Ω|P) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und W = {x1; x2; : : : ; xm} die Wertemenge einer Zufallsgrösse X, so heisst μ = E(X) Erwartungswert von X und wird berechnet durch E(X) = x1 · P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + . . . + xm · P(X = xm) -> Der Erwartungswert ist die Zahl, die deine Zufallsgröße X (z.B. Augenzahl eines Würfels) im Durchschnitt annimmt

Question 30

Zufallsgrössen (diskret / stetig)

Answer 30

Eine Zufallsgrösse X ist eine Funktion, die jedem Ergebnis ω eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl X(ω) zuordnet. Das Ereignis {X = k} enthalte alle Ergebnisse, für die X(ω) = k gilt: {X = k} := {ω ∈ Ω | X(ω) = k} Die Wahrscheinlichkeiten P(X = k) für alle k aus der Wertemenge von X bestimmen die Verteilung der Zufallsgrösse X. - diskrete Zufallsgrössen: Werte lassen sich abzählen - stetigen Zufallsgrössen: alle Werte eines reellen Zahlenintervalls sind möglich

Question 31

Faires Spiel

Answer 31

„Fair“ heisst, die Gewinnerwartung von A entspricht gerade dem eingesetzten Betrag.

Question 32

Varianz

Answer 32

Die Varianz ist ein Maß für die Streuung einer Wahrscheinlichkeitsdichte um ihren Schwerpunkt. Mathematisch wird sie definiert als die mittlere quadratische Abweichung einer reellen Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert.

Question 33

Standardabweichung

Answer 33

Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung von Daten. Sie gibt an, in welchem Umfang erhobene Werte von ihrem Durchschnittswert abweichen.

Question 34

Bernoulli-Experiment

Answer 34

Ein Zufallsexperiment, das durch den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω|P) modelliert wird, heisst Bernoulli-Experiment, wenn Ω = {0; 1}: -> Zufallsvariablen mit einer Bernoulli-Verteilung benutzt man zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen, bei denen es nur zwei mögliche Versuchsausgänge gibt. (z.B. ich Würfle eine 6 oder ich würfle keine 6)

Question 35

Bernoulli-Kette

Answer 35

Die n-malige unabhängige Wiederholung eines Bernoulli-Experiments heisst Bernoulli-Kette der Länge n.

Question 36

Binominalverteilung

Answer 36

Beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Serie von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben („Erfolg“ oder „Misserfolg“).

Question 37

Normalverteilung

Answer 37

Zufallsgrössen, deren Verteilung der Gausschen Glockenkurve entsprechen, nennen wir normalverteilt. "Gaussche Glockenkurve" Symmetrischer Kurvenverlauf, Medien und Mittelwert sind identisch.

Question 38

Gaussche Glockenkurve

Answer 38

Die Gausssche Glockenkurve, auch als Normalverteilung bekannt, ist ein Konzept in der Statistik und in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Kurve beschreibt die Verteilung von Daten in vielen natürlichen Prozessen und Messungen

Question 39

Gaussintegral

Answer 39

Es berechnet den Inhalt der Fläche unter der Gausskurve mit den Parametern μ und σ im Intervall von −∞ bis x und damit näherungsweise auch die Wahrscheinlichkeit P(X kleiner gleich x) einer binomialverteilten Zufallsgrösse X.

Question 40

Stetigkeitskorrektur

Answer 40

Die Näherung durch das Gaussintegral kann verbessert werden, wenn die obere Integralgrenze um +0.5 vergrössert wird.

Question 41

Signifikanztest

Answer 41

Ein Signifikanztest ist ein statistisches Verfahren, mit dem die Signifikanz oder Relevanz von Unterschieden oder Zusammenhängen in Daten untersucht wird. Dabei wird geprüft, ob die beobachteten Unterschiede oder Zusammenhänge auf Zufall oder echte Effekte zurückzuführen sind.

Question 42

Konfidenzintervall

Answer 42

Man spricht von einem Konfidenzintervall für die gesuchte Erfolgswahrscheinlichkeit. Das Konfidenzniveau 1 − α beträgt im Beispiel 90%. Entsprechend ist die Rede auch von einem „90%- (95%-, 99%-)Konfidenzintervall“.

Question 43

Signifikanzniveau

Answer 43

Stichprobenergebnisse, die unter den getroffenen Annahmen nur mehr eine Wahrscheinlichkeit kleiner gleich 5% besitzen, werden als signifikant erachtet. Ergebnisse mit einer Wahrscheinlichkeit kleiner gleich 1% heissen hochsignifikant. Die Wahl der Prozentzahl α, ob 5% oder 1%, bestimmt das sogenannte Signifikanzniveau unseres Tests.

Question 44

Fehler 1. Art

Answer 44

Wir verwerfen die Nullhypothese, obwohl sie richtig ist, weil das Stichprobenergebnis mit H0 nicht verträglich ist. In diesem Fall spricht man vom Fehler 1. Art.

Question 45

Fehler 2. Art

Answer 45

Wir behalten die Nullhypothese bei, obwohl sie falsch ist , weil das Stichprobenergebnis mit H0 verträglich ist. In diesem Fall spricht man vom Fehler 2. Art.

Question 46

Hypothesentest

Answer 46

Das Ziel des Hypothesentests besteht darin, aufgrund einer Stichprobe zu prüfen, ob eine vermutete Wahrscheinlichkeit (die Hypothese) als wahr angenommen werden kann oder ob sie verworfen werden muss. Man spricht von einem zweiseitiger Hypothesentest, falls es einen linken und rechten Verwerfungsbereich gibt. Gibt es nur einen Verwerfungsbereich handelt es sich um einen einseitigen Hypothesentest

Question 47

Nullhypothese Alternativhypothese

Answer 47

Nullhypothese: Der untersuchte Effekt besteht nicht (z.B. der Würfel ist fair). Alternativhypothese: Der untersuchte Effekt besteht (z.B. Würfel ist nicht fair).