Definities Deelexamen Flashcards
(22 cards)
Definitie vector
Een vector is een verzameling van koppels met dezelfde grootte, richting en zin.
Eigenschappen som van vectoren:
- De som van vectoren is inwendig en overal gedefinieerd
- De som van vectoren is associatief
- Neutraal element
- Symmetrisch element
- De som van vectoren is commutatief
-> Vect,+ is een commutatieve groep
Eigenschappen product van een vector met een reëel getal:
- Het product met een reëel getal is inwendig en overal gedefinieerd
- De product met een reëel getal is gemengd associatief
- Neutraal element
- Distributiviteit van . tov +
Vect,+ is een commutatieve groep (zie eerder)
+ bovenstaande eigenschappen
-> IR,Vect,+ is een reële vectorruimte
(twee verzamelingen IR en Vect, twee bewerkingen . en +)
Vlak met oorsprong
= πₒ
= vlak met één bevoorrecht punt waarin alle vectoren beginnen
Evenwijdige rechten in πₒ
Puntvectoren op eenzelfde rechte door O
Gelijke vectoren in πₒ
Puntvectoren die samenvallen
Tegengestelde vectoren in πₒ
Puntvectoren die symmetrisch liggen t.o.v. elkaar
ℝ²
= ℝ.ℝ
= verzameling van alle koppels reële getallen
Definitie basis van ℝ, πₒ, +
(𝑬⃗₁,𝑬⃗₂) is een basis van ℝ, πₒ, + als elke puntvector van πₒ op precies 1 manier kan geschreven worden als combinatie van (𝑬⃗₁,𝑬⃗₂).
𝑃⃗=x.𝑬⃗₁+y.𝑬⃗₂ (met 𝑬⃗₁ en 𝑬⃗₂ 2 van de nulvector verschillende puntvectoren)
Cartesische coördinaten
Als 𝑃⃗=x.𝑬⃗₁+y.𝑬⃗₂ dan noemen we (x,y) de cartesische coördinaat van 𝑃⃗ t.o.v. de basis (𝑬⃗₁,𝑬⃗₂).
-> co(𝑃⃗)=(x,y)
Dimensie van een vectorruimte
Het aantal elementen van een basis
dim(πₒ)=2
Richtingsvector van een rechte
Een richtingsvector van een rechte r is een willekeurige, van de nulvector verschillende, puntvector 𝑈⃗ van de rechte rₒ//r door O.
Eigenschappen richtingsvector:
- Een rechte heeft oneindig veel richtingsvectoren. Deze zijn onderling evenredig.
- De nulvector 𝐎⃗ is GEEN richtingsvector.
- De richtingsvectoren van evenwijdige rechten zijn gelijk of evenredig.
- Richtingsvector van 2 punten is meestal = 𝐁⃗-𝐀⃗ (kan ook 𝐀⃗-𝐁⃗, 2𝐁⃗-2𝐀⃗)
Een koppel richtingsgetallen van een rechte
De coördinaat (a,b) van een richtingsvector 𝑈⃗ van een rechte r.
Eigenschappen richtingsgetallen
- Een rechte heeft oneindig veel evenredige richtingsvectoren en dus ook oneindig veel koppels richtingsgetallen. Deze zijn onderling evenredig.
- De koppels richtingsgetallen van evenwijdige rechten zijn gelijk of evenredig.
- (0,0) is GEEN koppel richtingsgetallen.
- koppel richtingsgetallen van de x-as = (1,0)
- koppel richtingsgetallen van de y-as = (0,1)
- Richtingsgetallen van rechte door 2 punten: r.v. = 𝐁⃗-𝐀⃗; co(𝐁⃗-𝐀⃗)=(x₂-x₁, y₂-y₁)
Richtingscoëfficiënt van een rechte
= m = b/a = 2e richtingsgetal/1e richtingsgetal
Eigenschappen richtingscoëfficiënt van een rechte:
- Een rechte heeft 1 rico
- Stel r//x-as dan koppel rgt = (1,0) -> rico = 0/1 = 0
- Stel r//y-as dan koppel rgt = (0,1) -> rico = 1/0 = GEEN rico
- Stel rico = m (gegeven) -> koppel richtingsgetallen = (1,m)
- Evenwijdige rechten hebben gelijke richtingscoëfficiënten
- Beschouw een rechte door A(x₁, y₁) en B(x₂, y₂) -> koppel rgt = (x₂-x₁, y₂-y₁) -> rico = y₂-y₁ / x₂-x₁
- Rico van een rechte = tangens van de hellingshoek van die rechte
Norm van een vector
norm van 𝐀⃗ = ∥∥𝐀⃗∥∥ = lengte van het lijnstuk OA
Formule inproduct van puntvectoren:
𝐀⃗.𝐁⃗ = ∥∥𝐀⃗∥∥ . ∥∥𝐁⃗∥∥ . cos α
Eigenschappen inproduct van puntvectoren:
ZIE SAMENVATTING
Analytische uitdrukking van het inproduct:
𝐀⃗.𝐁⃗ =x₁.x₂+y₁.y₂
