definitions

Question 1

Ekvivalentne sustavy rovnic

Answer 1

(A|b) a (A’|b’) r rovnic o s neznámých su ekvivalentne, ked pre kazdy vektor x z F plati: A.x = b IFF A’.x = b’

Question 2

p

Answer 2

p

Question 3

Skalarny sucin

Answer 3

je zobrazenie, store dvojici vektorov priradi realne cislo, pre ktore plati:

1. =
2. = suma ai
3. = 0 IFF x = 0

Question 4

Vektorovy sucin

Answer 4

majme lin. priestor Rn a zoznam vektorov (x1,x2…xn-1)
vektorovy sucin tohto zoznamu znacime x(x1,x2…xn-1), je potom taky vektor v, pre ktory plati: vT.x = = det(x1,x2…xn-1,x), pre vsetky x z Rn

Question 5

Ortogonalita vektorov

Answer 5

(kolmost) x a y su ortogonalne, IFF (x|y) = 0

Question 6

Ortogonalna baza

Answer 6

baza lin. priestoru L je ortogonalna IFF pre kazdu dvojicu bazovych vektorov bi,bj plati: = 0

Question 7

Gramov determinant

Answer 7

Majme maticu A = (a1,a2,…,ak): Rk->Rn, kde k

Question 8

Vektor

Answer 8

lubovolny prvok linearneho priestoru

Question 9

Seznam vektoru

Answer 9

usporiadana mnozina vektorov

Question 10

Pozitivne definitna matica

Answer 10

stvorcova matica A typu n.n je pozitivne definitna, ked ju mozeme napisat ako A = R.T.R, kde R ma vsetky stlpce lin. nezavisle

Question 11

Norma vektoru

Answer 11

vektor v ( ||v|| ) je realne cislo, pre ktore plati: ||v|| = sqrt()

Question 12

Metrika

Answer 12

vektorov x a y ( dis(x,y) ) je realne cislo, pre ktore plati: dis(x,y) = ||x-y||

Question 13

Permutacia

Answer 13

permutacia mnoziny M je proste zobrazenie na mnozinu M. (Bijekcia -> kazdemu roznemu prvku z M sa priradi prvok z M)

Question 14

p

Answer 14

p

Question 15

Determinant stvorcovej matice

Answer 15

Majme stvorcovu maticu A typu n.n nad telesom F, det(A) je potom take cislo z F, pre ktore plati: det(A) =
suma pi z Sn sign(pi). α(pi(1),1).α(pi(2),2),…,α(pi(n), n)

Question 16

Linearny obal

Answer 16

zoznamu vektorov (x1,x2,…,xn) ( span() ) je mnozina vektorov tak, ze

1) linearny obal prazdneho zoznamu je 0vy vektor
2) linearny obal zoznamu (x1,x2,…,xn) je mnozina vsetkych linearnych kombinacii vektorov zo zoznamu

Question 17

Linearny podpriestor

Answer 17

W priestoru L je taka mnozina z L ze span(W) ⊆ W

Question 18

Baza priestoru

Answer 18

L je taka lin. nezavisla mnozina B, pre ktoru plati: span(B) ⊆L

Question 19

Vlastna hodnotu, vektor a podpriestor

Answer 19

Majme lin. zobrazenie f z L do L, nejake λ z F, vektor x z L, pre ktore plati f(x) = λx a λ je rozna od nuly, x != 0.
potom λ nazyvame vlastna hodnota, x vlastny vektor prislusny vlastnemu cislu λ a span(x) nazyvame vlastny podpriestor L prislusny vlastnej hodnote λ. Znacime eigein λ (x).

Question 20

Charakteristicky polynom

Answer 20

Majme stvorcovu maticju A typu n.n. charakteristicky polynom matice A je potom det(A - x.En) a znacime ho char A(x).

Question 21

Linearna kombinacia

Answer 21

zoznamu vektorov (x1,x2,…,xn) a skalarov a1,a2,…,an z F je vektor v, kde v = suma ai.xi

Question 22

Linearna nezavislost

Answer 22

zoznam vektorov (x1,x2,…,xn) je lin. nezavisly IFF suma ai.xi = 0 prave vtedy, ked a1,a2,…,an = 0, alebo je zoznam prazdny.

Question 23

Linearna nezavislost

Answer 23

zoznam vektorov je linearne nezavisly IFF nie je linearne zavisly

Question 24

Algebraicky doplnok posice

Answer 24

determinant Aij = det(a1,..,aj-1,ei,aj+1,…,an) v matica A = (a1,…,an)

Question 25

Adjugovana matica

Answer 25

pre maticu typu n.n je jej adjugovana matica adj(A) transponovana matica algebraickych doplnkov posic v matici A

Question 26

Sustava so stvorcovou maticou

Answer 26

rovnici A.x=b, kde A je matica typu n.n nad F hovorime sustava so stvorcovou maticou

Question 27

Afinni podprostor, smer

Answer 27

Mnozine p + W = {p+x | x z W}, kde W je lin. podpriestor priestoru Rn. Linearnemu priestoru W vravime smer afinneho podpriestoru p+W

Question 28

Vzajomna poloha afinn. podpriestorov

Answer 28

nech π = p+W a π’ = p’ + W’

1. π a π’ su rovnobezne, ked W ⊆ W’, alebo W’ ⊆ W
2. π a π’ su roznobezne, ked niesu rovnobezne, ale maju spolocny bod
3. π a π’ su mimobezne, ked nie su rovnobezne a nemaju spolocny bod

Question 29

Dimenzia

Answer 29

mame priestor L a bazu B = (b1,b2,…,bn) kde n z N.

Dimenzia L je potom n, dim(L) = n

Question 30

Suradnice

Answer 30

vektoru v vzhladom k bazi B su potom take α1, α2, ..., αn ze plati 
v = suma αi.bi
znacime coordB(v) = (α1, α2, ..., αn)T

Question 31

Linearne zobrazenie

Answer 31

zobrazenie f z L1 do L2 je linearne IFF
f(x+y) = f(x) + f(y)
f(αx) = α.f(x)
pre kazde x,y z L a α z F

Question 32

Jadro

Answer 32

majme linearne zobrazenie f z L1 do L2. Jadro zobrazenia f ( ker(f) ) je potom mnozina vsetkych x z L1, takych ze
f(x) = 0

Question 33

Image (obraz)

Answer 33

majme lin. zobrazenie f z L1 do L2. Image zobrazenia f ( im(f) ) je potom mnozina vsetkych y z L2 takych, ze existuje x z L1, ze
f(x) = y

Question 34

Regularna matica

Answer 34

matica A je regularna (invertibilna) IFF existuje matica A-1 taka, ze plati A.A-1 = En = A-1.A
(obecne plati ze musi byt stvorcova a determinant != 0)

Question 35

Singularna matica

Answer 35

Matica A je singularna IFF nie je regularna

nie je stvorcova alebo det(A) = 0)

Question 36

Matica

Answer 36

matica A nad F typu r.s je usporiadana tabulka: ()

linearne zobrazenie A: Fs->Fr

Question 37

Sucin matic

Answer 37

B.A je matica ktorej j-ty stlpec je B.Ai, kde ai je j-ty stlpec matice A.
(pozriet spravn definiciu)
V stplcovom zapise teda platiL B.A = (B.a1, …, B.as)
vysledna matica bude mat rovnaky pocet stlpcov ako matica A a rovnaky pocet riadkov ako matica B

Question 38

Monomorfizmus

Answer 38

Lin. zobrazenie f z L1 do L2 je monomorfizmus IFF pre kazde x1, x2 z L1 plati, ked x1 != x2 potom f(x1) != f(x2)

Question 39

Epiformizmus

Answer 39

lin. zobrazenie f z L1 do L2 je epimofrizmus IFF, pre kazdy y z L2 existuje x z L1 take, ze plati f(x) = y

Question 40

Isomofrizmus

Answer 40

Lin. zobrazenie je isomorfizmus IFF je epiforfizmus a monomorfizmus zaroven

Question 41

podobnost matic

Answer 41

Matica A je podobna matici B, pokial existuju matice transformacie suradnic T a T-1, tak, ze plati A = T.B.T-1

Question 42

Diagonalna matica

Answer 42

Matica ktora ma mimo diagonaly same nuly

Question 43

diagonalizovatelna matica

Answer 43

lubovolna matica podobna nejakej diagonalnej matici

Question 44

Nilpotentna matica a index nilpotencie

Answer 44

Matica A je nilpotentna, ked existuje k take, ze Ak je nulova matica, k sa potom nazyva index nilpotencie.