EDHEC (Algèbre)

Question 1

Famille libre en dimension finie

Answer 1

Si la dimension de l’espace et le nombre de vecteurs de la famille sont égaux alors la famille libre est une base.

Question 2

f € L(E,F), dimE=dimF=n

Answer 2

alors f injective ⇔ f surjective ⇔ f bij ⇔ rg f = n

Question 3

définition dimE (E ev dim finie)

Answer 3

nombre d’élements d’une base de E

Question 4

Isomorphisme
Endomorphisme
Automorphisme

Answer 4

Iso : Morphisme bijectif
Endo :Morphisme d’un ensemble dans lui même
Auto : Iso et Endo

Question 5

Def val propre, vecteur propre, sous espace propre, carac dim finie

Answer 5

Le scalaire λ est une valeur propre de l’endomorphisme u de E s’il existe un vecteur x≠0E tq f(x)=λx
x est alors appelé vecteur propre associé à la valeur propre λ

Le sous espace propre associé à la valeur propre λ est :
Eλ(u)=Ker(u-λIdE)

En dimension finie, λ est valeur propre de u ssi u-λIdE n’est pas bijectif
det(u-λIdE)=0

Question 6

caractérisation u bijectif dim finie (vap)

Answer 6

u bijectif ssi 0 n’est pas valeur propre de u

ssi A inversible

Question 7

dimE=n, Si f a n valeurs propres distinctes alors

Answer 7

la concaténation d’un vecteur propre associé `a chaque valeur propre
forme une base de vecteurs propres de E et f est donc diagonalisable

Question 8

une matrice symétrique réelle est

Answer 8

diagonalisable (en dimension finie)

Question 9

f injectif

Answer 9

dim(kerf)=0 (pratique pour montrer non bijectif en utilisant le th du rang..)

Question 10

Im(f)=

Answer 10

Vect(vecteurs colonne)

puis réduire si possible pour obtenir une famille libre donc une base en dimension finie

Question 11

caractérisation matricielle des isomorphismes

Answer 11

Soient E et F des ev de même dimension n, et a€L(E,F), A sa matrice, alors a est un isomorphisme de E sur F ssi A est inversible

Question 12

A est inversible ssi

Answer 12

Det A ≠ 0
pour une matrice d’ordre n rg(A)=n
0 n’est pas vap de A
l’endomorphisme associé est injbijsurj

Question 13

u€ker(f)

Answer 13

M*(u)=0 (système)

Question 14

théorème de la base incomplète

Answer 14

dans un espace vectoriel E,
toute famille libre de vecteurs peut être complétée en une famille libre et génératrice de E (c’est-à-dire une base de E) ;
de toute famille génératrice de E peut être extraite une sous-famille libre et génératrice

Question 15

F est un sev de E ssi

Answer 15

FcE ;
F≠∅ ;
pt u,v€ F; pt λ,μ € K, λu+μv €F

Question 16

intersection finie de sev

Answer 16

Une intersection finie de sous-espaces vectoriels d’un espace E est un sous-espace vectoriel de E.

Question 17

somme finie de sev (attention différent de l’union, qui n’est généralement pas un sev)

Answer 17

la somme de deux sev de E est un sev de E

Question 18

sev supplémentaires

Answer 18

F et G sont supplémentaires ssi E = F + G (tout les vecteurs de E peuvent s’exprimer comme somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G) et F ∩ G = { 0 },
ssi pt pt v€E, il existe (x,y)€E² unique tq v=x+y x€F y€G

Question 19

sev supplémentaires dim finie

Answer 19

Si E est de dimension finie alors F et G sont supplémentaires si et seulement si F ∩ G = { 0 } et dim(F) + dim(G) = dim(E).

Question 20

somme directe de sev

Answer 20

On dit que la somme (E1 + … + En) est directe si et seulement si l’intersection de chaque Ei
avec la
somme de tous les autres est réduite à {0}, soit :
∀ 1 ≤ i ≤ n, Ei ∩ (E1 + … + Ei-1 + Ei+1 + … + En) = {0}.

Question 21

u surjective ssi

Answer 21

∀ y €F; ∃x € E tel que y = u(x)

Question 22

Im f, carac

Answer 22

f:E->F
Im(f)={f(x)|x€E}={y€F|∃x€E;f(x)=y}
f surjective ssi im(f)=E

Question 23

Ker f, carac

Answer 23

f:E->F
ker(f)={x€E|f(x)=0}
f injective ssi ker(f)={0}

Question 24

GL(E)

Answer 24

Groupe linéaire : ensemble des automorphismes de E

Question 25

si f €L(E,F) est un isomorphisme en dimension finie alors

Answer 25

dimE=dimF

Question 26

isomorphisme noyau et image :

Answer 26

Soit f€L(E,F), Imf est isomorphe à tout supplémentaire de kerf

Question 27

ev L(E) ?

Answer 27

ensemble des endomorphismes de E

Question 28

GLn(R)

Answer 28

groupe linéaire de degré n : ensemble des matrices n*n inversibles

Question 29

une matrice triangulaire est inversible ssi

Answer 29

ses coefficients diagonaux sont non nuls

Question 30

Matrice d’un endomorphisme

Answer 30

Calculer u(vecteurs de la base) et les exprimer en combinaison linéaire puis mettre en colonne