Egydimenziós rugalmas kontinuum

Question 1

egydimenziós rugalmas kontinuum

2D lánc folytonos határesete?

Answer 1

Egyre több, kisebb tömegű és rövidebb rugókkal összekötött test —» húr

K és V az u(x,t) tér funkcionáljai minden t időpontban:
K[u(x,t)] = (ρA/2)∫(0,L0) [(∂(t)u1)^2 + (∂(t)u2)^2] dx
V[u(x,t)} = ((F + EA)/2)∫(0,L0) [√((1+∂(t)u1)^2 + (∂(x)u2)^2) –EA/(F + EA)]^2 dx
A Lagrange-fv. maga is integrál: L = K – V = ∫(0,L0) Λ dx —» Λ: Lagrange-sűrűségfv.

A hatás kétszeres integrál: S = ∫(t1,t2) L dt = ∫(t1,t2)∫(0,L0) Λ dxdt

Feltevés: nagy kitérésekre is lineáris a rugós erőtörvény, aminek kontinuum határátmenetben a hiperlineáris rugalmas anyag felel meg.

Question 2

egydimenziós rugalmas kontinuum: Hamilton-elv

Hamilton-elv kibővülése?

Answer 2

Lézetik a Λ Lagrange-sűrűségfv., ami függ x, t, ψ(α), ∂(x)ψ(α) és ∂(t)ψ(α) derviáltaktól függ:
1. S = ∫(t1,t2)∫(0,L) Λ(x,t,ψ(α),∂(x)ψ(α),∂(t)ψ(α)) dx dt
2. ψ(α) terek variálása —» parciális integrálás —» δS = 0: “térfogati tagok”, “felületi tagok” eltűnése
3. EL-egyenlet kibővülése: parciális diff.egyenlet, x a szabadsági fokokat folytonosan indexeli
4. határtagok is eltűnnek: vagy rögzített PF (δψ(α)|0 vagy L = 0) vagy szabad PF (∂Λ/∂(∂(x)ψ(α))|0 vagy L = 0) (meg lehet vegyes is)

Question 3

egydimenziós rugalmas kontinuum: Hamilton-elv

Kanonikus elnevezések? EL-formulák?

Answer 3

• kanonikus (külső, térfogati) erősűrűség: f(α)(x,t) = ∂Λ/∂ψ(α)
• kanonikus impulzussűrűség: p(α)(x,t) = ∂Λ/∂(∂(t)ψ(α))
• kanonikus feszültség: σ(α)(x,t) = ∂Λ/∂(∂(x)ψ(α))

Euler-Lagrange: f(α) + ∂(x)σ(α) + ∂(t)p(α) = 0

Question 4

egydimenziós rugalmas kontinuum: húr kis rezgései

Rugalmas energiasűrűség harmonikus közelítésben?

Answer 4

Harmonikus közelítés: legfeljebb négyzetes tagok tartódnak meg
((F + EA)/2)[√((1 + ∂(x)u1)^2 +(∂(x)u2)^2) – EA/(F +EA)]^2 ≈ (F + EA)/2)(∂(x)u1)^2) + (F/2)(∂(x)u2)^2) + F∂(x)u1 + áll.

Question 5

egydimenziós rugalmas kontinuum: húr kis rezgései

Sűrűségfv.? Kanonikus mezők? Mozgásegyenletek?

Answer 5

Λ ≈ (A/2)[ρ(∂(t)u1)^2 – E(∂(x)u1)^2 + ρ(∂(t)u2)^2 – (F/A)(∂(x)u2)^2]

f1 = f2 = 0, p(i) = ρA∂(t)u(i), σ1 = EA∂(x)u1, σ2 = F∂(x)u2

Longitudinális: ∂(t)p1 = ∂(x)σ1 —» ρ∂(t)^2u1 = E∂(x)^2u1
Transzverzális: ∂(t)p2 = ∂(x)σ2 —» ρ∂(t)^2u2 = (F/A)∂(x)^2u2
A kétféle irányú rezgés ftlen harmonikus közelítésben: a Lagrange-sűrűségfv. a két ftlen rezgés Lagrange-sűrűségeinek az összege.

Question 6

egydimenziós rugalmas kontinuum: húr kis rezgései

Hullámegyenlet?

Answer 6

ψ(tt) – c^2ψ(xx) = 0
* transzverzális: c = √(F/ρA) = √(σ/ρ)
* longitudinális: c = √(E/ρ)

Question 7

egydimenziós rugalmas kontinuum: húr kis rezgései

Hullámegyenlet megoldása Fourier-sorral?

Answer 7

ψ(x,t) = Σ(n) [a(n)(0)cos(ω(n)t) + (a’(n)(0)/ω(n))sin(ω(n)t)]sin(nπx/L)
ω(n) = cπn/L —» k(n) = ω(n) /c = πn/L, λ(n) = 2π/k(n)

a(n)(0) = (2/L)∫(0,L)ψ(x,0)sin(nπx/L) dx
a’(n)(0) = (2/L)∫(0,L)ψ’(x,0)sin(nπx/L) dx