equazioni differenziali ordinarie

Question 1

Definisci una contrazione

Answer 1

è una mappa T:X—>X, (X,d) sp metrico, se esiste un lambda appartenente a (0,1) tc d(T(x),T(y))<=lambda*d(x,y) pg 130 o lez 14-2 Aspri pg 11

Question 2

Enuncia e dimostra il teorema di Banach-Caccioppoli

Answer 2

pg 12 lez 14-2 Aspri

Question 3

Interpretazione grafica del teorema delle contrazioni ed esempio di applicazione che non soddisfa il teorema

Answer 3

pg 18 lez 14-2 Aspri

Question 4

Definizione di equazione differenziale ordinaria di ordine k

Answer 4

pg 24- lez 14-2. Un’equazione ordinaria differenziale di ordine k è un’equazione del tipo F(t,y(t),y’(t),y’‘(t),….,y°(n)(t))=0, dove F:Omega sottoinsieme R^(k+2)—>R

Question 5

Definizione di equazione differenziale in forma normale; equazione differenziale lineare

Answer 5

Forma normale y°(n)(t)=f(t,y(t),y’(t),…,y°(n-1)(t)), f:D sottoinsieme di R^(k+1)—>R
Lineare: F è un polinomio di grado 1, quindi avrò ak(t)y°(k)+a(k-1)(t)y°(k-1)+…+a0(t)y=b(t)
pg 25 lez 14-2 aspri

Question 6

Definizione di equazione differenziale autonoma

Answer 6

Se f o F non dipendono esplicitamente da t
pg 26 lez 14-2 Aspri

Question 7

Definizione di soluzione di un’equazione differenziale y’=f(t,y1,y2,..,yn)

Answer 7

y è soluzione dell’equazione differenziale se: y è derivabile in I, (t0,y(t0)) appartengono al dominio omega di f:omega sottoinsieme di RxR^n—>R per ogni t appartenente ad I, per ogni t in I y’(t)=f(t,y(t))
pg 28 lez 14-2 aspri

Question 8

Definizione di pdC

Answer 8

pg 29 lez 14-2 aspri

Question 9

Definizione di soluzione locale di un pdC

Answer 9

è una coppia ((a,b),y) tc y sia derivabile in (a,b), graf y sia contenuto in E dominio di f, t0 appartiene ad (a,b) e y soddisfa le equazioni del pdC su (a,b)
pg 30 lez 14-2 aspri

Question 10

Esempio del pennello di Peano

Answer 10

pg 36 lez 14-2 Aspri

Question 11

Teorema di Peano (NO DIM)

Answer 11

Data f:Omega sottoinsieme aperto di RxR^n—>R, f continua in omega. Se (t0,y0) appartiene ad omega, allora esisterà ALMENO una soluzione in un intorno di t0 pg 39 lez 14-2

Question 12

Equivalenza tra teorema di Peano ed equazione di Volterra

Answer 12

pg 41 lez 14-2 Aspri

Question 13

Come si collega l’equazione di Volterra con il teorema di Banach.Caccioppoli?

Answer 13

L’equazione di Volterra è un’equazione di punto fisso, infatti se T(y)=y0+… (T=eq di Volterra), allora y=T(y) pg 43 lez 14.2 Aspri

Question 14

Definizione di Lipschitzianità locale per f a valori vettoriali

Answer 14

f a valori vettoriali si dice lipschitziana in un intorno di (t0,y(t0)) se esistono delta>0, r>0, L>0, tc (t0-delta,t0+delta)xB(r,y(t0))=IdxB sottoinsieme di omega tc ||f(t,y1)-f(t,y2)||<=L||y1-y2||, y1 e y2 vettori
pg 44 lez 14.2 Aspri

Question 15

Condizioni in cui la Lipschitzianità è verificata

Answer 15

1. Se f è C’
2. Se f è C^(0) ed è derivabile rispetto ad y con derivata continua in un intorno del punto
   lez 14.2 Aspri pg 45

Question 16

Teorema di Picard-Lindelof o teorema di esistenza e unicità locale (NO DIM)

Answer 16

Se f è continua e lipschitziana in y e uniformemente in x in un punto, allora esiste un’unica soluzione del pdC in un intorno di quel punto

Question 17

Criterio di incollamento di soluzioni dell’equazione differenziale con dimostrazione

Answer 17

Si richiede che la funzione soluzione dell’edo sia continua e derivabile: le due funzioni sono continue e derivabili per definizione in ogni punto, eccetto quello di incollamento che è oggetto di dimostrazione. Ma a noi basta dimostrare la derivabilità, perchè in a pto di incollamento y1(a-)=y(a)=y2(a+), essendo (a,y(a)) appartenente al dominio di f per ipotesi. Allora avrò che y1’(t) per x che tende ad a- sarà uguale (per def di soluzione) al limite per f(t,y(t)) che tende ad a-, e lo stesso con y2 soluzione che tende ad a+.
22 maggio peloso

Question 18

Esistenza e unicità globale della soluzione del pdC, con dimostrazione

Answer 18

In parte sul maderna pg 120, in parte Calanchi pg 148

Question 19

Definisci un’equazione differenziale a variabili separabili e spiegane il metodo risolutivo

Answer 19

y’(x)=h(x)*g(y). La soluzione esiste unica se h(x) è continua e g(y) è derivabile con derivata continua, inoltre se g(y) è diversa da 0 in un intorno della condizione iniziale imposta da pdC, allora posso dividere entrambi i membri per g(y) ed integrare per dx (o ds se si vuole essere precisi con le variabili, cambiando però le x con le s) tra x0 e x, effettuando un cambio di variabile a sinistra y’ds=du (y(s)=u) e gli estremi diventano y e y0, perchè y(x0)=y0

Question 20

Definisci l’equazione differenziale di primo ordine lineare e dimostrane il metodo risolutivo

Answer 20

y’(x)+p(x)y(x)=q(x), y(x)=exp(-integrale tra x0 e x di p(s)ds)(y0+integrale tra x e x0 di p(r)exp(integrale tra x0 e x di p(t)dt)sr). Si può dimostrare derivando ambo i membri per x

Question 21

Definisci il prolungamento di una soluzione di un pdC

Answer 21

Se y1 è soluzione su I e y2 su J del pdC, e I sottoinisieme di J, si dice prolungamento di y1 y2 se y2 in J = y1 pg 142 Calanchi

Question 22

Definisci una soluzione massimale ad un pdC

Answer 22

y1 è soluzione massimale di un pdc se non ammette prolungamenti

Question 23

Relazione tra soluzione massimale e esistenza e unicità locale

Answer 23

Se un pdC ammette soluzione unica per ogni punto di un intervallo, su quell’intervallo la soluzione è massimale

Question 24

Dimostra l’esistenza e unicità dell’equazione lineare di primo ordine

Answer 24

p,q continue f(x,y)=-p(x)y+q(x) |f(x,y1)-f(x,y2)|=|p(x)(y2-y1)|=|p(x)||y1-y2|<=max|p(x)||y1-y2|==>lipschitzianità di f

Question 25

Definizione di equazione di Bernoulli

Answer 25

y'+a(x)y+b(x)y^n=0, con n diverso da 0 o 1, altrimenti abbiamo equazioni di 1 ordine lineari pg 131

Question 26

Esistenza e unicità dell'equazione di Bernoulli

Answer 26

Perchè se f(x,y)=y' è continua e derivabile con continuità rispetto a y in un intorno di (x0,y0), allora avrò esistenza e unicità della soluzione pg 123- 131 Maderna

Question 27

Metodo di risoluzione per le e.diff di Bernoulli

Answer 27

Si divide tutto per y^n e si pone z(x)=y^(1-n) ==> z'(x)=y^(-n)*(1-n)*y'(x). Si sostituisce e ci si riconduce ad un'equazione differenziale di primo ordine. BISOGNA STARE ATTENTI CHE Y SIA DIVERSO DA 0 SULL'INTERVALLO SCELTO pg 131 Maderna

Question 28

Definizione di equazioni differenziali di ordine k e dell'operatore L(y)

Answer 28

y°(k)=-sommatoria da j=0 a k-1 di aky°k + b(x). L(y)=y°(k)+sommatoria..., dove L è un operatore lineare L(ay1+by2)=aL(y1)+bL(y2) note 1 giugno Peloso

Question 29

Definizione di equazione differenziale lineare omogenea di ordine superiore al primo

Answer 29

Se il b(x) della definizione di equazione differenziale di ordine k è 0

Question 30

Definizione di equazione differenziale omogenea di ordine 1 e risoluzione

Answer 30

y'=g(y/x), t=y/x, y=xt, y'=t+xt' opero la sostituzione e mi riconduco ad un'equazione differenziale a variabili separabili

Question 31

Dimostrazione dell'esistenza e unicità delle equazioni lineari di ordine k

Answer 31

Per farlo bisogna trovare che L(y)=f(x,y vettore) sia lipschitziana in y vettore e uniformemente rispetto ad x appartenente a J sottoinsieme di R^k, f continua: JxR^k. Per farlo f(x,y)=b(x)+sommatoria da j=0 a k-1 di aj*y°(j) |f(x,z)-f(x,y)|=sommatoria da j=0 a k-1 di aj*(y°(j)-z°(j))<= (per Cauchy Schwarz per le sommatorie) radice(sommatoria da j=0 a k-1 di aj^2)*radice(sommatoria da j=0 a k-1 (z°j-y°j)^2). Ponendo L costante di Lipschtz max(radice(sommatoria aj^2)) si ha la definizione di Lipschitzianità e quindi l'esistenza e unicità pg 144 Maderna

Question 32

Discuti la dimensione dello spazio delle soluzioni di un equazione differenziale di ordine k

Answer 32

pg 146 Maderna. Se i coefficienti dell'eq diff L(y)=b(x) sono funzioni continue su J sottoinsieme di R, allora S insieme delle soluzioni su J dell'equazione omogenea L(y)=0 è spazio vettoriale sul campo reale R di dimensione k. Se {w1,...wk} sono base di S, tutte le soluzioni su J si scrivono come la combinazione lineare delle funzioni della base. Dim: S è sp vett perchè L(y) è lineare, infatti combinazioni lineari di con coeff reali dell'equazione omogenea è essa stessa soluzione. Fissando x0 in J si considerino k pdC nei quali nel primo y(x0)=1 e il resto delle cond iniziali in x0 sono nulle, nel secondo y'(x0)=1 e il resto nulle, fino al k pdC in cui y°(k-1)=1 e il resto nulle. Ma allora per verificare la lineare indipendenza di w1, ...,wk soluzioni uniche rispettivamente del 1,....,kesimo pdC, si ha 0=sommatoria da j=1 a k di cjwj, ma tenendo conto delle condizioni iniziali sostituendo x=x0 si ha che la sommatoria vale anche c1 (perchè w1 deve soddisfare le condizioni iniziali)), si deriva l'equazione 0=sommatoria ... da entrambi il lati si riapplica lo stesso ragionamento e si trova che 0=sommatoria delle derivate di wj= c2, e così fino alla (k-1)esima derivata==> la base di S è almeno di dimensione k. Per dimostrare che è esattamente ksi consideri y*(x)=y#(x0)w1(x)+y'#(x0)w2(x)+...+y°(k-1)#(x0)wk(x). Essendo le varie y# costanti, y* è combinazione lineare delle wj e quindi anch'essa soluzione, ma sostituendo x=x0 si trova y*(x0)=y#(x0) e derivando y* e sostituendo x=x0 fino ad aver derivato k-1 volte, otterrò che y# soddisfa tutte le condizioni iniziali, ma quindi sia y* sia y# sono soluzioni del pdC che associa y(x0)=y#(x0), y'(x0)=y'#(x0)... e L(y)=0. Per l'unicità delle soluzione allora y*=y# per ogni x in J, da cui la tesi pg 147 maderna

Question 33

Dimostra il principio di sovrapposizione

Answer 33

pg 147 teo 7.7 maderna

Question 34

Definisci la matrice wronskiana

Answer 34

è una matrice quadarata nxn, definite funzioni f1, ...fn, lil wronskiano ha nella prima riga f1,..,fn, nella seconda f1',...fn', nell'nesima riga f1°(n-1),..., fn°(n-1)

Question 35

Teorema sulla lineare dipendenza delle funzioni f nel wronskiano

Answer 35

Le funzioni f1,...,fn sono linearmente dipendenti se detWf(x)=0. Per dimostrarlo basta scrivere una combinazione lineare delle fj, con qualche cj non nullo, porla uguale a 0 derivarla da ambo i lati n-1 volte. essendo i cj e le fj diverse da 0, il sistema ammette soluzione non banale. Si può vedere grazie al metodo di Cramer per la risoluzione di sistemi lineari quadrati

Question 36

Come si trovano le soluzioni di un'equazione omogenea a coefficienti costanti?

Answer 36

pg 179 Calanchi

Question 37

Dimostra che le radici del polinomio caratteristico aiutano a trovare le soluzioni delle omogenee di ordine k

Answer 37

pg 178 Calanchi

Question 38

Enuncia il teorema di fuga dai compatti

Answer 38

pg 2 5 giugno peloso