FLASHCARDS
1
Q
PRINCIPIO DI INDUZIONE
A
Considerato un sottoinsieme di N, E
la proprietà B(n)
-vale per n e n appartiene a E
-se vale per n, vale anche per n+1 e n+1 appartiene a E
2
Q
TEOREMA DI BERNOULLI
A
Per ogni x>-1 e per ogni n appartenente a N vale la disuguaglianza 1+x^n>1+xn
DIMOSTRAZIONE ATTRAVERSO PRINCIPIO DI INDUZIONE
3
Q
TEOREMA RADICE DI 2
A
Sia q appartenente a Q, q^2 = 2, q diverso da 0
-q diverso da 0
-a/b=q
4
Q
TEOREMA RADICE DI 2
A
Sia q appartenente a Q, q^2 = 2, q diverso da 0
-q diverso da 0
-a/b=q
5
Q
COME SI DIMOSTRA LA DIFFERENZA DI CARDINALITÁ TRA NUMERI REALI E NATURALI?
A
TECNICA DIAGONALE DI CANTOR
Un insieme infinito è numerabile se c’è una corrispondenza biunivoca tra numeri naturali e razionali. I numeri reali hanno una diversa cardinalità rispetto a quelli naturali.
R NON NUMERABILE
6
Q
COSA SI INTENDE PER CAMPO?
A
Il CAMPO è l’insieme non vuoto in cui valgono due operazioni: addizione e moltiplicazione.
Entrambi possiedono:
-un elemento neutro
-un inverso o opposto
-proprietà associativa
-proprietà commutativa
Dialogano attraverso quella distribuitiva
7
Q
COSA SI INTENDE PER CAMPO ORDINATO?
A
Sul campo vale una relazione d’ordine.
Diremo che su R vale una relazione d’ordine se
- per ogni a appartenente ad A , vale a cartesiano a
-per ogni x,y appartenenti a R , x< e uguale di y, y < e uguale di x allora x=y
8
Q
QUALI RELAZIONI VALGONO IN R?
A
RIFLESSIVA: ogni elemento di R è in relazione con se stesso, x< se stesso
SIMMETRICA: a in relazione con b, allora b in relazione con a
ANTISIMMETRICA: Se a e b appartengono ad R, allora a=b
TRANSITIVA: a in relazione con b, b in relazione con c, allora A in relazione con C
9
Q
COSA SI INTENDE PER CAMPO COMPLETO?
A
Dati due numeri x e y appartenenti a R, questi vedranno sempre esistere tra loro un elemento separatore che non è unico
10
Q
COSA CONSIDERA IL TEOREMA DI DENSITÀ DEI RAZIONALI NEI REALI?
A
Per ogni x, y appartenenti a R e per ogni epsilon >0, esiste q appartenente a Q, tale che
X dista da y meno di epsilon:
x-epsilon<q<x+epsilon
11
Q
COSA CONSIDERA LA PROPRIETÀ DI ARCHIMEDE?
A
Siano due numeri positivi a, b appartenenti a R. Esiste n appartenente a N tale che
na>b
12
Q
DEFINIZIONE DI MASSIMO
A
Sia E sottoinsieme di R diverso da un insieme vuoto.
Diremo che M appartenente a R è massimo per E se
- M appartiene a E
-per ogni x appartenente a E, M> e uguale a x
13
Q
DEFINIZIONE DI MINIMO
A
Sia E sottoinsieme di R diverso da un insieme vuoto.
Diremo che m appartenente a R è minimo per E se
- m appartiene a E
-per ogni x appartenente a E, m < e uguale a x
14
Q
TEOREMA DI UNICITÀ DI MASSIMO E MINIMO
A
Consideriamo l’esistenza di due massimi M1 e M2:
M1 maggiore e uguale a M2
M2 maggiore e uguale a M1
Allora M1=M2
15
Q
DEFINIZIONE INSIEME MAGGIORANTI
A
Sia E sottoinsieme di R diverso da un insieme vuoto: per ogni x appartenente a R diremo M MAGGIORANTE dell’insieme E se e solo se M maggiore e uguale di x e M non appartenente a E.
16
Q
DEFINIZIONE INSIEME MINORANTI
A
Sia E sottoinsieme di R diverso da un insieme vuoto: per ogni x appartenente a R diremo m MINORANTE dell’insieme E se e solo se m minore e uguale di x e m non appartenente a E.
17
Q
DEFINIZIONE ESTREMO SUPERIORE
A
Dato un sottoinsieme di R, E non vuoto, se l’insieme dei maggioranti di E non è vuoto, allora
SUP(E) = MIN (insieme MAGGIORANTI di E). Se vuoto, SUP(E) = +inf
18
Q
DEFINIZIONE ESTREMO INFERIORE
A
Dato un sottoinsieme di R, E non vuoto, se l’insieme dei minoranti di E non è vuoto, allora
INF(E) = MAX (insieme MINORANTI di E). Se vuoto, INF(E) = -inf
19
Q
ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE
A
ESTREMO SUPERIORE: Diremo che M è SUP (E) se per ogni x appartenente a E, ESISTE una epsilon maggiore di 0 tale che M-epsilon<x< e uguale a M
ESTREMO INFERIORE: Diremo che m è INF (E) se per ogni x appartenente a E, ESISTE una epsilon maggiore di 0 tale che m<e uguale a x<m+epsilon
20
Q
TEOREMA (PROPRIETÀ DEL CONIUGATO)
A
Siano Z e Z coniugato appartenenti a C,
allora Z+Z coniugato = 2 RE(Z)
Z-Z coniugato = 2 IM(Z)
21
Q
PROPRIETÀ INVOLUTORIA DEL CONIUGATO
A
Sia Z appartenente a C, allora Z coniugato doppio= Z
22
Q
ALTRE PROPRIETÀ DEL CONIUGATO
A
-Sia Z appartenente a C, allora Z= Z coniugato
-Siano Z1 e Z2 appartenenti a C, allora Z1 Z2 coniugato= Z1 coniugatoZ2 coniugato
23
Q
RECIPROCO DI UN NUMERO COMPLESSO
A
Z coniugato su modulo di Z al quadrato
24
Q
FORMULE DI DE MOIVRE
A
- PRODOTTO: Prodotto del modulo e somma degli angoli
- POTENZA n : Modulo alla n, angolo moltiplicato per n
- QUOZIENTE: Divisione dei moduli, differenza degli angoli
25
RADICI IN C
Sia Z appartenente a C, n appartenente a N, n maggiore e uguale a 1.
Diremo che W è una radice n-esima di Z cioè W^n=Z
26
RADICI IN C
Sia Z appartenente a C, n appartenente a N, n maggiore e uguale a 1.
Diremo che W è una radice n-esima di Z cioè W^n=Z
27
TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA
Dato un polinomio in campo complesso P(Z) di grado n appartenente a N, n maggiore e uguale a 1
- è scomponibile in n fattori di primo grado;
-detta mj la molteplicità delle radici Wj, la somma di mj è uguale al numero di radici n che il polinomio ammette;
-il polinomio P(Z) ammette n radici (non necessariamente).
28
TEOREMA POLINOMIO IN CAMPO COMPLESSO
Sia P(Z) un POLINOMIO di variabile complessa a coefficienti reali. Il POLINOMIO ha grado n appartenente a N, n maggiore e uguale di 1.
Allora:
-W è radice di P(Z) solo se W coniugato lo è;
-se n appartiene a N, n=deg (P(Z))= DISPARI allora il polinomio ammette una radice reale
29
FUNZIONE SURIETTIVA
IL CODOMINIO Y COINCIDE CON L’INSIEME IMMAGINE DELLA FUNZIONE, ad ogni x può corrispondere più di una y
30
FUNZIONE INIETTIVA
Ad ogni x appartenente al DOMINIO X corrisponde una y appartenente al CODOMINIO
31
FUNZIONE INIETTIVA
Ad ogni x appartenente al DOMINIO X corrisponde una y appartenente al CODOMINIO
32
FUNZIONE INIETTIVA
Considerati due insiemi X e Y non vuoti e la funzione che va da X a Y
-per ogni y appartenente all’Insieme immagine ESISTE una x appartenente a X tale che y=f(x)
-per ogni x1, x2 appartenente a X, se x1 diverso da x2, allora f(x1) diverso da f(x2)
-per ogni x1, x2 appartenente a X, se f(x1) diverso da f(x2) allora x1 diverso da x2
33
FUNZIONE SUPERIORMENTE LIMITATA
Se il minimo dell’insieme dei maggioranti (o l’estremo superiore) dell’insieme immagine della funzione é minore di + infinito, cioè se esiste k appartenente a R, tale che f(x) minore e uguale di k per ogni x appartenente a D
34
FUNZIONE INFERIORMENTE LIMITATA
Se il massimo dell’insieme dei minoranti (o estremo inferiore) dell’insieme immagine della funzione é maggiore di - infinito, cioè se esiste k appartenente a R, tale che f(x) maggiore e uguale a k per ogni x appartenente a D
35
FUNZIONE LIMITATA
Se, con un insieme immagine limitato,
- l’estremo superiore dell’insieme immagine é minore di + infinito;
- l’estremo inferiore dell’insieme immagine é maggiore di - infinito.
Quindi, se esiste k appartenente a R, tale che il modulo di f(x) sia minore e uguale a k, per ogni x appartenente a D.
36
FUNZIONE PARI
Se per ogni x appartenente a D, F(-x) = F(x)
(SIMMETRIA RISPETTO ALL’ASSE Y)
37
FUNZIONE DISPARI
Se per ogni x appartenente a D, F(-x)=-F(x)
(SIMMETRIA RISPETTO ALL’ORIGINE)
38
FUNZIONE PERIODICA
Una funzione da R in R è detta PERIODICA se ESISTE T appartenente a R tale che : per ogni x appartenente a R F(x)= F(x+T) (T appartiene all’insieme 0; + infinito)
39
FUNZIONE CRESCENTE
Sia D un sottoinsieme di R, con D diverso da un insieme vuoto
E f una funzione che va da D a R: per ogni x1, x2 appartenente a D, x1
40
FUNZIONE STRETTAMENTE CRESCENTE
Per ogni x1,x2 appartenente a D, x1
41
FUNZIONE DECRESCENTE
Sia D un sottoinsieme di R, con D diverso da un insieme vuoto
E f una funzione che va da D a R: per ogni x1, x2 appartenente a D, x1 maggiore e uguale a x2 allora f(x1) maggiore e uguale a f(x2)
42
FUNZIONE DECRESCENTE
Sia D un sottoinsieme di R, con D diverso da un insieme vuoto
E f una funzione che va da D a R: per ogni x1, x2 appartenente a D, x1 maggiore e uguale a x2 allora f(x1) maggiore e uguale a f(x2)
43
FUNZIONE STRETTAMENTE DECRESCENTE
Per ogni x1,x2 appartenente a D, x1> x2, quindi f(x1)> f(x2)
44
FUNZIONE MONOTONA
Sia f una funzione che va da D a R, per ogni x1, x2 appartenenti a D, x1f(x2)
45
TEOREMA (FUNZIONE MONOTONA ALLORA INIETTIVA)
Sia D un sottoinsieme di R, R insieme non vuoto e f una funzione che va da D a R STRETTAMENTE MONOTONA, allora questa è INIETTIVA.
Una funzione INIETTIVA NON È PER FORZA STRETTAMENTE MONOTONA.
46
COMPOSIZIONE DI FUNZIONI
Siano Df e Dg sottoinsiemi di R e insiemi non vuoti.
Siano f una funzione che va da Df a R e g una funzione che va da Dg a R.
Applichiamo a x f così da essere f(x) a cui applichiamo ancora g così da diventare g(f(x))
47
COMPOSIZIONE DI FUNZIONI
Siano Df e Dg sottoinsiemi di R e insiemi non vuoti.
Siano f una funzione che va da Df a R e g una funzione che va da Dg a R.
Applichiamo a x f così da essere f(x) a cui applichiamo ancora g così da diventare g(f(x))
LA COMPOSIZIONE DI FUNZIONI NON È COMMUTATIVA: date due funzioni f e g, dire f(g(x)) non è come dire g(f(x))!
48
FUNZIONE INVERSA
Sia D sottoinsieme di R, con D diverso da insieme vuoto e sia f una funzione che va da D a R INIETTIVA.
Possiamo renderla SURIETTIVA, quindi BIETTIVA assegnando come CODOMINIO l’ INSIEME IMMAGINE di f. Considerando la sua inversa, f va da IM (f) a Df. Costruendo l’inversa f va da y a x. La funzione è quindi detta INVERSA o INVERTIBILE.
Se esiste l’inversa, una funzione è INIETTIVA.
49
TEOREMA DI DINI
Sia D un sottoinsieme di R, diverso da un insieme vuoto e sia f da D a R e sia I un intervallo in cui f è INIETTIVA, allora esiste la sua INVERSA
50
SUCCESSIONI
Sia E un sottoinsieme dei numeri naturali N e a una funzione che va da E a R (da n a a(n))
51
SUCCESSIONE INF. LIMITATA
Esiste k appartenente a R tale che la successione an sia maggiore e uguale a k per ogni n appartenente a E
52
SUCCESSIONE SUP.LIMITATA
Esiste una k appartenente a R tale che la successione an sia minore e uguale a k per ogni n appartenente a E
53
SUCCESSIONE LIMITATA
Esiste una k appartenente a R tale che il modulo di an (successione) sia minore e uguale a k per ogni n appartenente a E
54
PROPRIETÀ DELLE SUCCESSIONI SODDISFATTE DEFINITIVAMENTE
Esiste una N appartenente all’insieme dei numeri naturali tale che per ogni n maggiore e uguale a N la proprietà è verificata.
55
SUCCESSIONE DEFINITIVAMENTE POSITIVA
Sia N appartenente a N tale che, per ogni n maggiore e uguale a N, sia la successione an maggiore e uguale a 0
56
SUCCESSIONE CONVERGENTE
Sia E un sottoinsieme di N e sia a una successione da E a R, allora ESISTE una l appartenente a R tale che per ogni epsilon maggiore di 0, esiste una N appartenente a N tale che per ogni n maggiore e uguale a N esista uno scarto uguale al modulo di (an-l) minore di epsilon
57
SUCCESSIONE DIVERGENTE POSITIVAMENTE
Sia E un sottoinsieme di N e an una successione da E a R tale che per ogni M maggiore di 0 esiste N appartenente a N tale che per ogni n maggiore e uguale a N, an sia maggiore a M
58
SUCCESSIONE DIVERGENTE NEGATIVAMENTE
Sia E un sottoinsieme di N e an una successione da E a R tale che per ogni M maggiore di 0 esiste N appartenente a N tale che per ogni n maggiore e uguale a N, an sia minore di -M
59
SUCCESSIONE OSCILLANTE
Né convergente, né positivamente divergente, né negativamente divergente. Quindi il limite per n che tende a infinito di una successione non esiste.
60
TEOREMA FONDAMENTALE (SUCCESSIONE CONVERGENTE, ALLORA LIMITATA)
Sia E un sottoinsieme di N e an una successione da E a R, se questa è CONVERGENTE (l) allora è anche LIMITATA (modulo di an minore e uguale a K).
Se la successione è LIMITATA non è per forza CONVERGENTE!
61
TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE DI UNA SUCCESSIONE
Sia E un sottoinsieme di N e an una successione che va da E a R, sia an una successione oscillante cioè tale che per ogni l appartenente a R esiste il limite per n che tende a + infinito della successione= l, allora l è UNICO.
62
TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE DI UNA SUCCESSIONE
Sia E un sottoinsieme di N e an una successione che va da E a R, sia an una successione oscillante cioè tale che per ogni l appartenente a R esiste il limite per n che tende a + infinito della successione= l, allora l è UNICO.
63
TEOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO
Sia E un sottoinsieme dei numeri naturali e an una successione non oscillante, se l appartiene a R BAR ed è maggiore di 0 e lim per n che tende a +infinito di an è uguale a +infinito, allora
-an è strettamente definitivamente positiva (an>0)
-se an è definitivamente positiva allora esiste l appartenente a l BAR tale che lim per n che tende a +infinito di an è uguale a l con l maggiore e uguale a 0
64
TEOREMA (ALGEBRA DEI LIMITI FINITI)
Sia E un sottoinsieme di N. e siano an e bn due successioni convergenti da E in R, allora esistono l1 e l2 appartenenti a R tale che lim n che tende a +infinito di an=l1 e lim n che tende a +infinito di bn=l2, l1 diverso da l2.
Allora lim per n che tende a + infinito di an+bn sarà uguale a l1+l2 e così anche per differenza, prodotto e quoziente.
65
TEOREMA (ALGEBRA DEI LIMITI INFINITI)
Sia an una successione tale che lim per n che tende a + infinito di an = + infinito, allora
-lim per n che tende a +infinito di an + bn tenderà a + infinito (se b non diverge negativamente);
-lim per n che tende a - infinito di an +bn tende a - infinito (se bn non diverge positivamente)
-siano an, bn due successioni e siano l1 e l2 i loro limiti appartenenti a R BAR, se l1 diverso da l2 allora il limite per n che tende a + infinito del prodotto tra an e bn sarà uguale al prodotto tra l1 e l2.
66
TEOREMA DI INVERSIONE
Sia an una successione tale che lim per n che tende a + infinito della successione tende a + o - infinito (an diverge positivamente o negativamente), allora lim per n che tende a + infinito di 1/an= 0 (SUCCESSIONE INFINITESIMA)
67
RECIPROCA DI UNA SUCCESSIONE INFINITESIMA È ANCHE DIVERGENTE?
Non è detto, potrebbe essere OSCILLANTE come nel caso di an=(-1)^n/n
68
TEOREMA DEI CARABINIERI
Siano an, bn, cn tre successioni da E in R
-esiste una n appartenente a N tale che per ogni n maggiore e uguale a N : bn compreso o uguale a an e cn;
-esiste l appartenente a R BAR tale che lim per n che tende all’infinito di an= l e limite per n che tende all’infinito di cn=l, allora anche lim per n che tende all’infinito di bn = l.
69
COROLLARIO 1
Sia an una successione infinitesima (tendente a 0) e bn una successione limitata (modulo di bn minore e uguale a k), allora lim per n che tende a + infinito di an * bn = 0. Se si pone an * bn = hn diremo che hn è una successione infinitesima.
70
TEOREMA (SUCCESSIONE MONOTONA NON DIVERGENTE)
Una successione monotona non può essere oscillante.
Esiste una l appartenente a R BAR tale che lim per n che tende a + infinito uguale a l.
71
DEFINIZIONE DI SUCCESSIONE GEOMETRICA
Sia q appartenente a R chiamiamo SUCCESSIONE GEOMETRICA di RAGIONE q quella che va da N in R
72
SUCCESSIONE DI NEPERO
Sia an una successione che va da N escluso 0 in R, cioè da n a (1+1/n)^n, allora lim per n che tende a + infinito di an =2,…= e = numero di NEPERO
73
COEFFICIENTE BINOMIALE
Sia n appartenente a N e k appartenente a N, con k minore e uguale a n. Allora (n su k)= (n fattoriale su n fattoriale per n-k fattoriale)
74
PROPRIETÀ COEFFICIENTE BINOMIALE
a. (n su 0) = (n su n)
b. (n su k) = (n su n-k)
c. (n+1 su k) = (n su k)*(n su k-1)
d. (n+1 su k) = (n su k)*(n-k su k+1)
75
FORME INDETERMINATE ESCLUSE DAL TEOREMA DELL’ALGEBRA DEI NUMERI FINITI
Infinito - infinito
0 infinito
76
TEOREMA DEL RAPPORTO
Sia E un sottoinsieme di N (*) e sia an una successione che va da E in R tale che :
IPOTESI
-se an è strettamente positiva definitivamente (esiste una n appartenente a N tale che per ogni n maggiore e uguale a N, an maggiore di 0)
-se esiste una l appartenente a r bar tale che lim per n che tende a + infinito di (an+1)/an uguale a l
ALLORA (TESI)
se l minore di 0 an diverge a +infinito, se l compreso tra 0 e 1 (1 escluso), an converge a 0.
77
SUCCESSIONI ASINTOTICAMENTE EQUIVALENTI
Considerate an e bn due successioni NON OSCILLANTI, si dicono ASINTOTICAMNTE EQUIVALENTI se lim per n che tende a infinito di an/bn =1
78
APPROSSIMAZIONE DI STIRLING
Considerate le successioni an= n fattoriale e bn= radice di (2*pigreco*n)*(n/e)^n, il limite per n che tende a + infinito del loro rapporto (essendo n fattoriale proprio uguale a bn) è uguale a 1. Questo significa che an e bn sono EQUIVALENTI ASINTOTICAMENTE.
79
TEOREMA EQUIVALENZA ASINTOTICA
Siano an, bn e cn, alfan, betan e gamman sei successioni tale che an equivalente a alfan, bn equivalente a betan e cn equivalente a gamman. Allora (an*bn)/cn quivalente a (alfan*betan)/gamman
80
L’EQUIVALENZA ASINTOTICA È STABILE ALLA SOMMA?
No, infatti dire an+bn è diverso da alfan+betan
81
SUCCESSIONE DI FIBONACCI
Consideriamo la suc. di Fibonacci del tipo Fn+1= Fn +Fn-1. Sia questa strettamente positiva e strettamente monotona crescente. Allora esiste l appartenente a R BAR tale che lim per n che tende a + infinito di Fn = l.
Applicando il teorema del rapporto si nota che L= il limite per n che tende a + infinito di Fn+1/Fn è uguale a 1+1/L. Moltiplicando per L noteremo a fi, cioè al rapporto base/altezza del rettangolo aureo di Fibonacci.
82
SOTTOSUCCESSIONI
Sia an una successione; diremo che bk è una sottosuccessione di an se esiste una funzione strettamente crescente f che va da N in N cioè da k a f(k) tale che bk= (an)k
83
TEOREMA SUCCESSIONI EQUIVALENTI
Sia an una successione non oscillante tale che lim per n che tende a + infinito di an uguale a l, l appartenente a R BAR e sia bn una sottosuccessione di an tale che lim per n che tende a +infinito di bn = l
84
TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS
Considerata la sottosuccessione di an, bk= af(k)= an(k)
85
SOTTOSUCCESSIONI DI CAUCHY
Uan sottosuccessione è detta di Cauchy se per ogni epsilon maggiore di 0, esiste una n appartenente a N tale che per ogni n, m (ogni elemento della successione) maggiore e uguale a N esiste uno scarto pari al modulo della differenza tra an e am minore di epsilon.
86
SUCCESSIONE DI CAUCHY = CONVERGENTE
87
DEFINIZIONE DI INTORNO
Considerato un x cappellino appartenente a R, diremo INTORNO di RAGGIO DELTA e CENTRO x cappellino tale che
1. B con delta di x cappellino sia uguale all’insieme che vede x compreso tra x cappellino - delta e x cappellino + delta
2. B con delta di x cappellino è uguale al modulo della differenza tra x-x cappellino minore di delta
88
DEFINIZIONE DI PUNTO ESTERNO
Sia D un sottoinsieme di R e diverso da insieme vuoto e sia x cappellino appartenente a R. Diremo che x cappellino è PUNTO ESTERNO al DOMINIO se esiste un delta maggiore di 0 tale che l’insieme di x cappellino intersecando D genera un insieme vuoto (NON CI SONO INTERSEZIONI).
89
PUNTO INTERNO
Sia D un sottoinsieme di R e diverso da insieme vuoto e sia x cappellino appartenente a R. Diremo che x cappellino è PUNTO ESTERNO al DOMINIO se esiste un delta maggiore di 0 tale che l’insieme di x cappellino è contenuto in D.
90
PARTE INTERNA
Costituita da tutti gli elementi dell’insieme, se coincide con il dominio della funzione, allora si parla di INSIEME APERTO.
91
PUNTO ADERENTE
Ha una relazione di vicinanza con l’insieme D e l’intorno in cui esiste x cappellino incontra questo insieme. Se la CHIUSURA DELL’INSIEME (insieme dei punti aderenti) coincide con il DOMINIO allora si parla di insieme CHIUSO.
92
PUNTO ISOLATO
Sia D un sottoinsieme di R e diverso da insieme vuoto e sia x cappellino appartenente a R. Diremo che x cappellino è PUNTO ESTERNO al DOMINIO se esiste un delta maggiore di 0 tale che l’insieme di x cappellino in intersezione con D è uguale a x cappellino
93
PUNTO DI ACCUMULAZIONE
Sia D un sottoinsieme di R e diverso da insieme vuoto e sia x cappellino appartenente a R. Diremo che x cappellino è PUNTO ESTERNO al DOMINIO se esiste un delta maggiore di 0 tale che l’insieme di x cappellino in intersezione con D escluso x cappellino è uguale a insieme vuoto. Cioè se ogni punto di D contiene elementi diversi da x cappellino stesso, ma che si avvicinano continuamente a questo.
94
PUNTO DI ACCUMULAZIONE
Sia D un sottoinsieme di R e diverso da insieme vuoto e sia x cappellino appartenente a R. Diremo che x cappellino è PUNTO ESTERNO al DOMINIO se esiste un delta maggiore di 0 tale che l’insieme di x cappellino in intersezione con D escluso x cappellino è uguale a insieme vuoto. Cioè se ogni punto di D contiene elementi diversi da x cappellino stesso, ma che si avvicinano continuamente a questo.
95
DEFINIZIONE DI LIMITE
Sia D un sottoinsieme di R e diverso da un insieme vuoto e sia f una funzione che va da D in R.
Diremo che x cappellino è un punto di accumulazione per D se esiste l appartenente a R tale che lim per x che tende a x cappellino della funzione è uguale a l
96
ALTRE DEFINIZIONI DI LIMITE
1.Per ogni epsilon maggiore di 0, esiste un delta maggiore di 0 tale che per ogni x appartenente a D, se lo scarto tra x e x cappellino è maggiore di 0 e minore di delta, allora lo scarto tra f(x) e l è minore di epsilon.
2. Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che se x appartiene all’insieme di D che interseca l’intorno di x cappellino di raggio delta, allora f(x) appartiene all’insieme completo di epsilon.
3. Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che la funzione formata dal suo Dominio e dall’intorno di x cappellino, questo escluso, è contenuta nell’intorno di centro l e raggio epsilon.
97
DEFINIZIONI DI LIMITE UNILATERO DESTRO
Sia D un sottoinsieme di R e un insieme non vuoto, sia f una funzione che va da D in R e sia x cappellino un numero reale, punto di accumulazione per D. Allora il limite per x che tende a x cappellino della funzione è uguale a l (numero reale) se :
1. Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che per ogni x appartenente a D, la differenza tra x e x cappellino è maggiore di 0 e minore di delta, allora lo scarto tra la funzione e l è minore di epsilon.
2. Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che se x appartiene all’insieme D che interseca l’intorno destro di x cappellino, allora f(x) appartiene all’intorno completo di l.
3. Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che f di D che interseca l’intorno destro di x cappellino, questo escluso, è contenuta nell’intorno di centro l e raggio epsilon.
98
LIMITE UNILATERO SINISTRO
Sia D un sottoinsieme di R e un insieme non vuoto, sia f una funzione che va da D in R e sia x cappellino un numero reale, punto di accumulazione per D. Allora il limite per x che tende a x cappellino della funzione è uguale a l (numero reale) se :
1. Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che per ogni x appartenente a D, lo scarto tra x cappellino e x è maggiore di 0 e minore di delta, allora lo scarto tra la funzione e l è minore di epsilon.
2. Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che se x appartiene all’insieme D che interseca l’intorno sinistro di x cappellino, allora f(x) appartiene all’intorno completo di l.
3. Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che f di D che interseca l’intorno sinistro di x cappellino, questo escluso, è contenuta nell’intorno di centro l e raggio epsilon.
99
LIMITE UNILATERO SINISTRO
Sia D un sottoinsieme di R e un insieme non vuoto, sia f una funzione che va da D in R e sia x cappellino un numero reale, punto di accumulazione per D. Allora il limite per x che tende a x cappellino della funzione è uguale a l (numero reale) se :
1. Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che per ogni x appartenente a D, lo scarto tra x cappellino e x è maggiore di 0 e minore di delta, allora lo scarto tra la funzione e l è minore di epsilon.
2. Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che se x appartiene all’insieme D che interseca l’intorno sinistro di x cappellino, allora f(x) appartiene all’intorno completo di l.
3. Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che f di D che interseca l’intorno sinistro di x cappellino, questo escluso, è contenuta nell’intorno di centro l e raggio epsilon.
100
TEOREMA (LIMITI DESTRO E SINISTRO UGUALI)
Sia D appartenente a R diverso da un insieme vuoto e sia x cappellino appartenente a R punto di accumulazione per l’insieme D. Allora se l appartiene a R dire limite per x che tende a x cappellino di f(x) uguale a l equivale a dire che i limiti per x che tende a x cappellino da destra e da sinistra della funzione sono uguali a l. Ma il limite esiste solo se esistono quello destro e sinistro e se sono uguali tra loro.
101
TEOREMA (LIMITI DESTRO E SINISTRO UGUALI)
Sia D appartenente a R diverso da un insieme vuoto e sia x cappellino appartenente a R punto di accumulazione per l’insieme D. Allora se l appartiene a R dire limite per x che tende a x cappellino di f(x) uguale a l equivale a dire che i limiti per x che tende a x cappellino da destra e da sinistra della funzione sono uguali a l. Ma il limite esiste solo se esistono quello destro e sinistro e se sono uguali tra loro.
102
TEOREMA DELL’ALGEBRA DEI LIMITI FINITI
Siano Df e Dg due sottoinsiemi di R non vuoti e siano f e g due funzioni che vanno rispettivamente da Df a R e da Dg a R e sia x cappellino appartenente a R punto di accumulazione sia per Df, sia per Dg. Se supponiamo che lim per x che tende a x cappellino di f(x) sia uguale a l1 e lim per x che tende a x cappellino di g(x) sia uguale a l2 allora il lim della somma tra le die funzioni sarà uguale a l1+l2. Lo stesso vale per prodotto, differenza, quoziente e prodotto tra una costante k e la funzione f(x) che darà come risultato k*l1.
103
DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A + o - INFINITO
1. Sia a maggiore di 0 e sia f una funzione che va da (a;+ infinito) in R.
Diremo che il limite per x che tende a + infinito di f(x) è uguale a l se per ogni epsilon maggiore di 0 esiste una M maggiore di 0 tale che se x maggiore di M allora lo scarto tra f(x) e l è minore di epsilon.
2. Sia a appartenente a R e sia f una funzione che va da (-infinito; a) in R.
Diremo che il limite per x che tende a - infinito di f(x) è uguale a l se per ogni epsilon maggiore di 0 esiste una M maggiore di 0 tale che se x minore di M allora lo scarto tra f(x) e l è minore di epsilon.
IN ENTRAMBI I CASI Y=l è un ASINTOTO ORIZZONTALE
104
DEFINIZIONE DI LIMITE INFINITO PER x CHE TENDE A x cappellino FINITO
Sia D un sottoinsieme di R diverso da un insieme vuoto, sia f una funzione che va da D in R e sia x cappellino appartenente a R e punto di accumulazione per D.
1. Diremo che il limite per x che tende a x cappellino della funzione è uguale a + infinito se per ogni M maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che lo scarto tra x e x cappellino è maggiore di 0 e minore di delta, allora f(x) maggiore di M.
2. Diremo che il limite per x che tende a x cappellino della funzione è uguale a - infinito se per ogni M maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che lo scarto tra x e x cappellino è maggiore di 0 e minore di delta, allora f(x) minore di -M.
IN ENTRAMBI I CASI x= x cappellino è una retta o meglio è un ASINTOTO VERTICALE.
105
LIMITE INFINITO per x CHE TENDE A + o - INFINITO
Sia a maggiore di 0 e sia f una funzione che va da (a;+ infinito) in R.
1. Diremo che il limite per x che tende a + infinito di f(x) è uguale a + infinito se per ogni M maggiore di 0 esiste una N maggiore di 0 tale che se x maggiore di N allora f(x) maggiore di M.
2.Diremo che il limite per x che tende a + infinito di f(x) è uguale a - infinito se per ogni epsilon maggiore di 0 esiste una N maggiore di 0 tale che se x maggiore di N allora f(x) minore di -M.
Sia a appartenente a R e sia f una funzione che va da (-infinito; a) in R.
1. Diremo che il limite per x che tende a - infinito di f(x) è uguale a + infinito se per ogni M maggiore di 0 esiste una N maggiore di 0 tale che se x minore di - N allora f(x) maggiore di M.
2.Diremo che il limite per x che tende a - infinito di f(x) è uguale a - infinito se per ogni epsilon maggiore di 0 esiste una N maggiore di 0 tale che se x minore di - N allora f(x) minore di -M.
106
ASINTOTO OBLIQUO
Sia a maggiore di 0 e sia f una funzione che va da (a;+ infinito) in R tale che limite per x che tende a + infinito di f(x) uguale a + o - infinito cioè tale che limite per x che tende a + infinito del modulo di f(x) è uguale a + infinito diremo che la funzione ha un ASINTOTO OBLIQUO di equazione y= mx+q (m, q diversi da 0 e m numero reale) se e solo se il limite per x che tende a + infinito del modulo di (f(x)- (mx+q)) = 0
107
TEOREMA DELL’ASINTOTO OBLIQUO
Sia a appartenente a R e sia f una funzione che va da (a; + infinito) in R tale che se
1. limite per x che tende a + infinito della funzione è uguale a + o - infinito;
2. esiste m appartenente a R escluso lo 0 tale che lim per x che tende a + infinito di f(x)/x = m
3. esiste q appartenente a R tale che lim per x che tende a + infinito di f(x)-mx = q
allora y= mx+q è un ASINTOTO OBLIQUO per f(x).
108
TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE
Sia D un sottoinsieme di R e diverso da insieme vuoto e sia f una funzione che va da D in R. Sia x fissato un punto di accumulazione per D e sia l appartenente a R BAR, se lim per x che tende a x fissato della funzione è uguale a l, allora l è unico. Si dimostra per assurdo supponendo che esistano due limiti l1 e l2 e si arriverà ad avere epsilon minore di 0, impossibile.
109
TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE
Sia D un sottoinsieme di R e diverso da insieme vuoto e sia f una funzione che va da D in R. Sia x fissato un punto di accumulazione per D e sia l appartenente a R BAR, se lim per x che tende a x fissato della funzione è uguale a l, allora l è unico. Si dimostra per assurdo supponendo che esistano due limiti l1 e l2 e si arriverà ad avere epsilon minore di 0, impossibile.
110
TEOREMA DI CARATTERIZZAZIONE DEL LIMITE CON LE SUCCESSIONI
Sia D un sottoinsieme di R e diverso da insieme vuoto e sia f una funzione che va da D in R. Sia x fissato un punto di accumulazione per D e sia l appartenente a R BAR, allora lim per x che tende a x fissato di f(x) è uguale a l se e solo se per ogni successione xn (da N in xn) tale che
1. xn appartiene a D per ogni n appartenente a N
2. limite per n che tende a + infinito della funzione è uguale a x fissato
allora lim per n che tende a + infinito fissato di f(xn) è uguale a l
111
TEOREMA DI LIMITATEZZA TOTALE
Sia D un sottoinsieme di R e diverso da insieme vuoto e sia f una funzione che va da D in R. Sia x fissato un punto di accumulazione per D e sia l appartenente a R BAR e sia lim per x che tende a x fissato di f(x). Allora esiste un delta maggiore di 0 e una k appartenente a R tale che :
1. per ogni x appartenente all’insieme a cui appartiene l’intorno di x fissato di raggio delta e D escluso x fissato, il modulo della funzione è minore e uguale a k se x appartiene a R;
2. se x uguale a + infinito, esiste una a appartenente a R e una k appartenente a R tale che per ogni intorno superiore di a, il modulo di f(x) è minore e uguale a k;
3. se x uguale a - infinito, esiste una a appartenente a R e una k appartenente a R tale che per ogni intorno inferiore di a, il modulo di f(x) è minore e uguale a k;
112
TEOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO (limiti)
Sia D un sottoinsieme di R e diverso da insieme vuoto e sia f una funzione che va da D in R. Sia x fissato un punto di accumulazione per D e sia l appartenente a R BAR tale che lim per x che tende a x fissato di f(x) è uguale a l1 con l1 maggiore di 0 allora esiste un intorno di x fissato tale che per ogni x appartenente all’insieme composto dall’intersezione dell’intorno di x fissato e D escluso lo 0 , f(x) maggiore di 0.
113
TEOREMA DI MONOTONIA (limiti)
Siano Df e Dg sottoinsiemi di R e siano f e g due funzioni che vanno rispettivamente da Df a R e da Dg a R. Sia x fissato punto di accumulazione per Df e Dg. Supponiamo che
1. limite per x che tende a x fissato di f(x) uguale a l1
2. limite per x che tende a x fissato di f(x) uguale a l2
3. allora esiste un intorno di x fissato tale che per ogni x appartenente all’insieme composto dall’intersezione dell’intorno di x fissato e D escluso x fissato, f(x) minore e uguale di g(x)
ALLORA L1 MINORE E UGUALE A L2
114
TEOREMA DEI CARABINIERI (limiti)
Siano Df, Dg e Dh tre sottoinsiemi di R e siano f, g, h tre funzioni che vanno rispettivamente da Df in R, da Dg in R e da Dh in R. Sia x fissato punto di accumulazione per Df, Dg e Dh.
Supponiamo
1. Lim per x che tende a x fissato di g(x) è uguale a l, appartenente a R BAR
2. Lim per x che tende a x fissato di h(x) è uguale a l , l appartenente a R BAR
3. Per ogni x appartenente all’insieme composto dall’intersezione dell’intorno di x fissato e D escluso x fissato, G(x) MINORE E UGUALE A F(x) MINORE E UGUALE A H(x)
Allora lim per x che tende a x fissato di f(x) è uguale a l
115
COROLLARIO (prodotto tra funzione infinitesima e funzione limitata)
Siano Df e Dg due sottoinsiemi di R e siano f e g due funzione che vanno rispettivamente da Df in R e da Dg in R. Sia x fissato punto di accumulazione per Df e Dg.
Supponiamo che
1. f(x) sia infinitesima in x fissato
2. g(x) sia limitata nell’intorno di x fissato tale che considerata una k appartenente a R, il modulo di g(x) è minore e uguale a k
ALLORA lim per x che tende a x fissato del prodotto tra f(x) e g(x) è uguale a 0
116
TEOREMA DI ESISTENZA DEL LIMITE PER FUNZIONI MONOTONE
Sia D un sottoinsieme di R e diverso da insieme vuoto e sia f una funzione che va da D in R. Sia x fissato un punto di accumulazione per D e sia l appartenente a R BAR.
Supponiamo che:
1. f sia una successione monotona strettamente crescente, allora per ogni x appartenente a D, esiste l appartenente a R BAR tale che lim per x che tende a x fissato da sinistra di f(x) è uguale a l
2. f sia una successione monotona strettamente decrescente, allora per ogni x appartenente a D, esiste l appartenente a R BAR tale che lim per x che tende a x fissato da destra di f(x) è uguale a l
117
DEFINIZIONE DI FUNZIONE CONTINUA
Sia D un sottoinsieme di R e diverso da insieme vuoto e sia f una funzione che va da D in R. La continuità di f è da considerare solo nei punti del dominio. In questo caso se x fissato é parte del DOMINIO, f è continua in x fissato se e solo se
1. Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che per ogni x appartenente a D lo scarto tra x e x fissato è minore di delta, allora lo scarto tra f(x) e f(x fissato) è minore di epsilon
2. Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che per ogni x appartenente all’intorno di x fissato di raggio delta intersecato al dominio, f(x) appartiene all’intorno di f (x fissato) e raggio epsilon
3. Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta maggiore di 0 tale che f (intorno di x fissato intersecato al dominio) appartiene all’intorno di f(x fissato) di raggio epsilon
118
CONTINUITÀ NEI PUNTI ISOLATI DEL DOMINIO
Se x fissato isolato appartiene al dominio, esiste delta maggiore di 0 tale che l’intorno di x fissato di raggio delta intersecato al dominio è uguale a x fissato. In particolare avremo che f (x fissato) appartiene all’intorno di x fissato e raggio epsilon.
119
CONTINUITÀ NEI PUNTI INTERNI AL DOMINIO
Sia x fissato appartenente e interno al dominio della funzione, allora esiste r maggiore di 0 tale che l’intorno di x fissato e raggio r appartiene al dominio della funzione allora x fissato è punto di accumulazione per il dominio della funzione.
In questo caso f(x) è continua in x fissato se e solo se lim per x che tende a x fissato della funzione è uguale a f di x fissato, quindi se limite sinistro e destro sono uguali a f di x fissato
120
CONTINUITÀ NEI PUNTI NON ISOLATI E NON INTERNI AL DOMINIO (TEOREMA DI CONTINUITÀ AL BORDO)
Siano a e b appartenenti a R e sia a minore di b e sia f(x) una funzione che va da (a;b) in R se valgono
-lim per x che tende ad a da sinistra della funzione uguale a f(a) allora f(x) continua in a;
-lim per x che tende a b da sinistra della funzione uguale a f(b) allora f(x) continua in b.
121
CONTINUITÀ EQUILATERA
Sia D sottoinsieme di R, diverso da insieme vuoto, e sia f una funzione che va da D in R. Sia x fissato appartenente a D, allora diremo che
- f(x) continua a destra in x fissato se lim per x che tende a x fissato da destra di f(x) uguale a f di x fissato
- f(x) continua a sinistra in x fissato se lim per x che tende a x fissato da sinistra di f(x) uguale a f di x fissato
122
DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE
f è DISCONTINUA in x fissato se limite destro e sinistro esistono finiti e sono diversi tra loro
123
DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE
f è DISCONTINUA in x fissato se o il limite destro o quello sinistro non esiste o non è finito
124
DISCONTINUITÀ DI TERZA SPECIE
f è DISCONTINUA in x fissato se limite destro e sinistro esistono finiti e sono uguali, ma diversi dal valore della funzione in x fissato
125
TEOREMA DISCONTINUITÀ DI FUNZIONI MONOTONE
Una funzione che va da a a b in R strettamente monotona non ammetterà mai DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE
126
CARATTERIZZAZIONE DELLA CONTINUITÀ CON LE SUCCESSIONI
f è continua in x fissato se per ogni successione xn appartenente a D, lim per n che tende a + infinito di xn = f fissato e lim per n che tende a + infinito di f(xn)=f(x fissato)
127
TEOREMA DI RICCHEZZA DELLA CLASSE
Le funzioni elementari come polinomi, frazioni polinomiali, esponenziali, logaritmi, funzioni goniometriche sono continua nel loro dominio naturale.
128
TEOREMA DI STABILITÀ DELLA CLASSE
Siano f e g due funzioni che vanno da Df e Dg in R e siano queste continue in x fissato. Allora anche la loro somma, differenza, il loro prodotti e rapporto saranno continue in x fissato.
129
TEOREMA DI COMPOSIZIONE
Siano f e g due funzioni. A x fissato applichiamo g, così da applicare g a f(x fissato) e ottenere g(f(x fissato)). Quindi f continua in x fissato, g continua in f(x fissato) e g(f(x fissato)) continua in x fissato.
130
TEOREMA DI PERMANENZA DEL SEGNO (FUNZIONI)
Sia f(x) una funzione che va da D in R e sia x fissato punto in cui la funzione è continua. Allora se f(x fissato) è strettamente positiva, allora esiste r maggiore di 0 tale per ogni x appartenente all’intorno di x fissato e raggio r intersecato a D sia f(x) maggiore strettamente di 0.
131
TEOREMA DELL’INNOMINATO
Sia E appartenente a R, allora esistono m e M appartenenti a R tale che m = estremo inferiore dell’insieme e M = estremo superiore dell’insieme, allora esiste yn sopra segnato appartenente a E tale che lim per n che tende a + infinito di yn =M e yn sotto segnato tale che lim per n che tende a + infinito di yn = m
132
PUNTI DI MASSIMO E MINIMO ASSOLUTI
Siano xm e xM appartenenti a D.
Sia xm punto di minimo assoluto per f se f(xm) strettamente minore di f(x) per ogni x appartenente a D. In questo caso f(xm) è il valore minimo di f(x).
Sia xM punto di massimo assoluto per f se f(xM) maggiore o uguale a f(x) per ogni x appartenente a D. In questo caso f(xM) è il valore massimo di f(x).
133
TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS (MASSIMO E MINIMO)
Siano a, b appartenenti a R , a minore di b e sia f una funzione CONTINUA che va da a, b in R. Allora esistono xm e xM appartenenti a (a, b) tali che per ogni x appartenente a (a, b):
m: f(xm) strettamente minore di f(x)
M: f(xM) maggiore o uguale a f(x)
Il teorema ammette l’esistenza di massimo e minimo ma non la loro unicità!
134
TEOREMA DI LIMITATEZZA GLOBALE
Siano a, b appartenenti a R , a minore di b e sia f che va da a, b in R una funzione CONTINUA. Allora f è GLOBALMENTE LIMITATA cioè esiste una k appartenente a R tale che modulo di f(x) minore o uguale a k. Per la dimostrazione consideriamo la definizione di massimo e minimo: f(x) sarà compreso tra m e M, ma se k è il massimo di m e M allora f(x) compreso tra -k e k.
135
TEOREMA DEGLI ZERI
Siano a, b appartenenti a R con b maggiore di a e sia f da (a, b) in R una FUNZIONE CONTINUA. Supponiamo che f(a) e f(b) siano di segno discorde quindi che f(a)*f(b) minore di 0, allora esiste x fissato appartenente all’intervallo tale che f(x fissato)=0
136
TEOREMA DI PUNTO FISSO
Sia f una funzione CONTINUA che va da [0,1] in [0,1], allora f ammette un PUNTO FISSO, cioè esiste un x fissato appartenente a [0,1] tale che f(x fissato)= x fissato
137
TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI
Sia a, b numeri reali con b maggiore di a e sia f una funzione CONTINUA che va da [a,b] in R. Allora per Weierstrass esiste xM, xm appartenenti all’intervallo tali che M=f(xM) maggiore e uguale a f(x), m= f(xm) minore e uguale a f(x), per ogni y fissato appartenente all’intervallo [m,M] e per ogni x fissato appartenente ad [a,b], f( x fissato) = y fissato
138
CONTINUITÀ E INVERTIBILITÀ
Sia I un intervallo non vuoto contenuto in R e sia f una funzione che va da I in R STRETTAMENTE MONOTONA, allora l’inversa che va dall’immagine di f in I è CONTINUA.
139
TEOREMA (f CONTINUA, allora INVERTIBILE)
Sia I un intervallo non vuoto contenuto in R e sia f una funzione CONTINUA che va da I in R, allora
-f è INVERTIBILE se è STRETTAMENTE MONOTONA
-se f è INVERTIBILE, allora l’inversa è CONTINUA.
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