Funzioni

Question 1

Cos’è una funzione?

Answer 1

Una relazione tra due insieme che associa ad ogni elemento del primo insieme uno e un solo elemento del secondo insieme

Question 2

Cos’è il dominio di una funzione?

Answer 2

E’ l’insieme dei valori reali che si possono attribuire alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y

Question 3

Cosa sono gli zero di funzione? E il segno di una funzione?

Answer 3

Sono i valori che non si possono attribuire ad x in quanto la funzione si annullerebbe; sono quindi i punti in cui la funzione si annulla
Si trovano ponendo la funzione f(x)= 0
Studiare il segno di una funzione vuol dire trovare quei valori di x appartenenti al dominio per cui il valore di y è positivo e negativo

Question 4

Funzioni suriettive, iniettive e biunivoche

Answer 4

• Suriettive: sono le funzioni nelle quali ad ogni elemento del secondo insieme B corrisponde almeno un’immagine dell’insieme A (quindi un elemento di B può corrispondere a più elementi di A)
• Iniettive: sono le funzioni in cui ogni elemento di A corrisponde ad un distinto valore di B (ci possono essere elementi di B che non corrispondono a nessun elemento di A)
• Biunivoche: sono le funzioni che sono sia suriettive che iniettive

Question 5

Monotonia di una funzione

Answer 5

La monotonia di uan funzione può essere di varia natura:
- monotonia stretta: vuol dire che la funzione è sempre o crescente o decrescente
- monotonia in senso lato: vuol dire che la funzione è sempre o crescente-uguale o decrescente-uguale

Question 6

Intorni di un punto; intorno circolare (o completo); intorno destro e sinistro

Answer 6

Si chiama intorno di un punto x con 0 un qualunque intervallo aperto che contenga il valore x con 0 e che ha centro nello stesso valore; al valore per trovare gli estremi dell’intervallo si aggiunge o si sottrae un valore arbitrario (delta)
Intorno circolare: dati due valori x con 0 e delta, si chiama intorno circolare (o completo) l’intervallo aperto che ha centro in x con 0 e raggio delta
Intorno destro: è l’intervallo di valori partendo da x con 0 e aggiungengo + delta, solo per positivamente e non negativamente
Intorno sinistro: intervallo di valori partendo da x con 0 e sottraendo - delta, quindi l’intorno si crea solo a sinistra

Question 7

Cos’è un limite? Quando una funzione si dice continua?

Answer 7

E’ un operatore che permette di conoscere il comportamento di una data funzione all’approssimarsi costante di questa ad un determinato punto
Una funzione f(x) si dice continua in un punto x con 0 se per il limite di f(x) con x che tende ad x con 0 è uguale al valore della stessa funzione calcolata in x con 0

Question 8

Cos’è un punto di accumulazione?

Answer 8

Dami un insieme A, sottoinsieme di R, e un valore x con 0, si dice che x con 0 è un punto di accumulazione dell’insieme A se in ogni intorno completo di x con 0 esiste almeno un elemento x che non sia x con 0 che appartiene all’insieme A

Question 9

Teorema dell’unicità del limite

Answer 9

Se x al tendere ad x con 0 della funzione f(x) ha per limite un numero reale l, allora detto limite è unico

Question 10

Quando una funzione si dice continua in un punto? Quando una funzione si dice continua?

Answer 10

Quando il limite di una funzione f(x) per x che tende ad x con 0 è uguale alla funzione f(x con 0)
Quando in un intervallo chiuso a e b è continua in ogni punto dell’intervallo

Question 11

Teorema di Weierstrass

Answer 11

Se f(x) è una funzione continua all’interno di un intervallo chiuso, allora la funzione assumerà un valore massimo assoluto e minimo assoluto

Question 12

Teorema di esistenza degli zeri

Answer 12

Se f è una funzione continua all’interno dell’intervallo chiuso e limitato a;b, e agli estremi della funzione i valori hanno segno opposto, allora esiste un valore c interno alla funzione per cui la funzione stessa si annulla: ovvero f(c)=0

Question 13

Punti di discontinuità di prima specie

Answer 13

Un punto x con 0 si dice punto di discontinuità di prima specie se al tendere di x ad x con 0, il limite destro e sinistro di f(x) sono entrambi finiti ma diversi tra loro:
limite di x che tende ad x con 0+ di f(x)= l1 E’ DIVERSO al limite di x che tende ad x con 0- di f(x)= l2
La differenza in valore assoluto tra l2-l1 è chiamato salto della funzione

Question 14

Punti di discontinuità di seconda specie

Answer 14

Un punto x con 0 si dice punto di discontinuità di seconda specie se per la funzione f(x) al tendere di x ad x con 0 almeno uno dei due limiti è infinito o non esiste

Question 15

Punti di discontinuità di terza specie

Answer 15

Un punto x con 0 si dice punto di discontinuità di terza specie quando:
- il limite di f(x) per x che tende ad x con 0 esiste ed è limitato
- f non è definita nel punto x con 0 o se lo è f(x con 0) è diverso da l

Question 16

Cos’è un asintoto?

Answer 16

E’ una retta del grafico di una funzione tale per cui la distanza di un punto generico del grafico dalla retta tende a 0 al tendere all’infinito dell’ascissa o dell’ordinata

Question 17

Rapporto incrementale

Answer 17

E’ un rapporto tra la variazione di ordinata e ascissa a partire da un incremento h stabilito; serve per determinare quanto velocemente una funzione cresce o decresce al variare della coordinata indipendente

Question 18

Cos’è una derivata?

Answer 18

La derivata di una funzione all’interno di un intervallo chiuso e limitato, è il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale di f relativo a c
Derivata= rappresentazione del coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa c

Question 19

Teorema di Rolle

Answer 19

Se per una funzione continua all’interno dell’intervallo chiuso e limitato a;b e derivabile in ogni punto interno a questo intervallo, si ha la condizione per cui f(a)= f(b), allora esiste almeno un punto c interno all’interno per cui la derivata prima nel punto c è uguale a 0

Question 20

Teorema di Cauchy

Answer 20

Il rapporto fra gli incrementali delle funzioni f(x) e g(x) nell’intervallo chiuso e limitato a;b è uguale al rapporto tra le rispettive derivate calcolate nel punto c interno all’intervallo