Geometria Flashcards
(203 cards)
1
Q
DEFINIZIONI.
A
2
Q
Poligono:parte di piano delimitata da una spezzata chiusa non intrecciata.
A
3
Q
Figura geometrica:insieme di punti.
A
4
Q
Concavo:almeno un prolungamento divide il poligono.
A
5
Q
Convesso:i prolungamenti dei lati restano all’esterno.
A
6
Q
Triangoli:poligoni con 3 lati.
A
7
Q
Acutangolo:tutti gli angoli minori di 90º.
A
8
Q
Ottusangolo: tutti gli angoli maggiori di 90°.
A
9
Q
Rettangolo: tutti gli angoli di 90°.
A
10
Q
Enti fondamentali: hanno una definizione.
A
11
Q
Enti primitivi: non hanno una definizione ma hanno un’idea.
A
12
Q
Postulati d’ordine: indicano come si può stabilire l’ordine o il confronto tra gli elementi
A
ad esempio decidere quale viene prima o dopo.
13
Q
Postulati di appartenenza: definiscono se un elemento fa parte o meno di un insieme
A
come dire se un oggetto è contenuto in un gruppo.
14
Q
Primo criterio di congruenza:Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo compreso fra i due lati.
A
15
Q
Secondo criterio di congruenza:Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e gli angoli adiacenti al lato.
A
16
Q
Terzo criterio di congruenza:Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati.
A
17
Q
Angolo: parti di piano compresa tra due semirette aventi la stessa origine.
A
18
Q
Rette incidenti: hanno un unico punto in comune.
A
19
Q
Rette parallele: non si incontrano mai.
A
20
Q
Rette coincidenti: hanno tutti i punti in comune.
A
21
Q
Poligonale: figura costituita da segmenti consecutivi.
A
22
Q
Poligonale spezzata
A
chiusa: quando il primo estremo coincide con l’ultimo estremo.
23
Q
Poligoni congruenti: se coincidono punto per punto.
A
24
Q
Altezza di un triangolo: segmento che parte dall’angolo e arriva al suo lato opposto perpendicolarmente.
A
25
Geometria euclidea: si basa sugli assiomi di Euclide per lo studio delle figure nello spazio e nel piano.
26
Differenza tra teoremi e postulati: i postulati sono affermazioni assunte come vere senza dimostrazione
mentre i teoremi sono affermazioni dimostrate logicamente.
27
Segmento: l’insieme dei punti di una retta compresi tra due estremi A e B.
28
Segmento nullo:quando gli estremi coincidono.
29
Angoli opposti al vertice:due angoli convessi sono opposti al vertice se i lati di uno sono le semirette opposte dei lati dell’altro.
30
31
CONCETTI PRIMITIVI E ASSIOMI.
32
•Concetti o enti primitivi: sono enti che non definiamo esplicitamente
come il punto
33
•Assiomi o postulati: sono proprietà che si suppongono vere senza bisogno di dimostrazione.
34
•Teoremi: proposizioni del tipo “se… allora…”.
35
•Ipotesi: le condizioni iniziali del teorema (ciò che segue il “se”).
36
•Tesi: ciò che deve essere dimostrato (ciò che segue l’“allora”).
37
Tipologie di Teoremi
38
1.Teorema: proposizione dimostrata utilizzando ipotesi
postulati e risultati di altri teoremi.
39
2.Corollario: teorema che è conseguenza immediata di un altro teorema.
40
3.Teorema inverso (o reciproco): scambio tra ipotesi e tesi di un teorema.
41
Esempio di Teorema
42
•Enunciato: “Se un triangolo è isoscele
allora ha due angoli congruenti.”
43
•Ipotesi: Il triangolo è isoscele.
44
•Tesi: Ha due angoli congruenti.
45
•Teorema inverso: “Se in un triangolo due angoli sono congruenti
allora è isoscele.”
46
•Ipotesi: Due angoli sono congruenti.
47
•Tesi: Il triangolo è isoscele.
48
GLI ENTI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA.
49
1.Punto:
50
•È privo di dimensioni
rappresenta una posizione.
51
•Si indica con lettere maiuscole: A
B
52
2.Retta:
53
•È illimitata
senza spessore
54
•Si indica con lettere minuscole: (a)
(b)
55
3.Piano:
56
•È una superficie illimitata e priva di spessore.
57
•Si indica con lettere greche: (alfa)
(beta)
58
POSTULATI DI APPARTENENZA
59
1.Postulati della retta:
60
•Per due punti passa una e una sola retta.
61
•Su una retta ci sono almeno due punti.
62
•Esiste sempre almeno un punto fuori da una retta.
63
2.Postulati del piano:
64
•Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.
65
•La retta passante per due punti di un piano giace interamente sul piano.
66
Definizioni
67
1.Semiretta:
68
•Una retta orientata divisa in due parti da un punto O.
69
•O è chiamato origine.
70
2.Segmento:
71
•L’insieme dei punti di una retta compresi tra due estremi A e B.
72
•La lunghezza del segmento è la distanza tra A e B.
73
3.Poligonale (o spezzata):
74
•È una figura costituita da segmenti consecutivi.
75
•Può essere:
76
•Aperta: l’ultimo estremo non coincide con il primo.
77
•Chiusa: l’ultimo estremo coincide con il primo.
78
•Intrecciata: due lati non consecutivi si intersecano.
79
4.Semipiano:
80
•Una retta divide un piano in due regioni
chiamate semipiani.
81
Postulato di Partizione del Piano
82
•Una retta in un piano divide i punti del piano in due regioni con queste proprietà:
83
•I punti della stessa regione formano segmenti che non intersecano la retta.
84
•I punti di regioni diverse formano segmenti che intersecano la retta.
85
ELEMENTI DI UNA SPEZZATA.
86
•Vertici: Punti che uniscono segmenti consecutivi.
87
•Estremi: Inizio e fine della spezzata (coincidenti o no).
88
•Lati: Segmenti che formano la spezzata.
89
I SEGMENTI.
90
Confronto di segmenti
91
Il confronto serve per stabilire se un segmento è maggiore
minore o uguale rispetto a un altro.
92
1.Segmento maggiore: sovrapponendo l’inizio dei due segmenti
l’estremo del secondo cade all’interno del primo.
93
•Esempio: Se il segmento AB è maggiore del segmento CD
allora l’estremo D cade all’interno del segmento AB.
94
2.Segmento minore: sovrapponendo l’inizio dei due segmenti
l’estremo del secondo cade all’esterno del primo.
95
•Esempio: Se il segmento CD è maggiore del segmento AB
allora l’estremo B cade all’interno del segmento CD.
96
3.Segmenti congruenti: sovrapponendo l’inizio dei due segmenti
gli estremi coincidono.
97
•Esempio: Se il segmento AB è congruente al segmento CD
allora gli estremi coincidono.
98
1.Somma di segmenti:
99
•Per sommare due segmenti
si dispongono uno dopo l’altro
100
•Esempio: Considerando i segmenti AB e CD
la loro somma è rappresentata dal segmento AD
101
2.Differenza di segmenti:
102
•Per sottrarre un segmento da un altro
si sovrappongono gli inizi dei due segmenti.
103
•La differenza è data dalla parte del segmento maggiore che eccede il minore.
104
•Esempio: Se il segmento AB è maggiore del segmento CD
allora la differenza è rappresentata dal segmento DB
105
Multiplo e sottomultiplo di un segmento
106
1.Multiplo:
107
•Un segmento è multiplo di un altro se lo contiene un numero intero di volte.
108
•Esempio: Il segmento AD è 4 volte il segmento BC
quindi AD = 4 × BC.
109
2.Sottomultiplo:
110
•Un segmento è sottomultiplo di un altro se è contenuto in esso un numero intero di volte.
111
•Esempio: Il segmento BC è il sottomultiplo del segmento AD poiché AD = 4 × BC.
112
Applicazioni e Osservazioni
113
•Conoscere la relazione tra segmenti è fondamentale in geometria per costruzioni
calcoli e dimostrazioni.
114
•Le proprietà dei segmenti sono utilizzate per stabilire proporzioni e relazioni tra figure geometriche.
115
ANGOLI.
116
•Definizione: Porzione di piano delimitata da due semirette con lo stesso origine (vertice).
117
Confronto di angoli
118
Per confrontare due angoli:
119
•Si fanno coincidere il vertice e uno dei lati omologhi.
120
•Lati omologhi: lati che svolgono la stessa funzione e si trovano nella stessa posizione relativa.
121
Risultati del confronto:
122
1.Angolo maggiore: il lato del secondo angolo cade all’interno del primo.
123
2.Angolo minore: il lato del secondo angolo cade all’esterno del primo.
124
3.Angoli congruenti: i lati corrispondenti dei due angoli coincidono.
125
Tipi di angoli
126
1.Angolo giro: i due lati coincidono
formando un angolo massimo di 360° (2 pi greco radianti).
127
2.Angolo piatto: i lati sono il prolungamento l’uno dell’altro
formando un angolo di 180° (pi greco radianti).
128
3.Angolo retto: è la metà di un angolo piatto
pari a 90° (pi greco mezzi radianti).
129
4.Angolo acuto: ha ampiezza minore di un angolo retto.
130
5.Angolo ottuso: ha ampiezza maggiore di un angolo retto
ma minore di un angolo piatto.
131
Differenza di angoli
132
•La differenza tra due angoli si ottiene facendo coincidere i vertici e i lati omologhi.
133
•Esempio: Se l’angolo AOB è maggiore dell’angolo COD
allora la differenza è l’angolo AOB meno l’angolo COD.
134
Multipli e sottomultipli di un angolo
135
•Angolo multiplo: contiene un altro angolo un numero intero di volte.
136
•Angolo sottomultiplo: è contenuto in un altro angolo un numero intero di volte.
137
•Esempio:
138
•Se l’angolo AOB è 3 volte l’angolo COD
allora:
139
•L’angolo AOB è multiplo dell’angolo COD.
140
•L’angolo COD è sottomultiplo dell’angolo AOB.
141
Relazioni tra angoli
142
1.Angoli complementari: la somma è un angolo retto (90 gradi o pi greco mezzi radianti).
143
2.Angoli supplementari: la somma è un angolo piatto (180 gradi o pi greco radianti).
144
3.Angoli esplementari: la somma è un angolo giro (360 gradi o 2 pi greco radianti).
145
Teoremi sugli angoli
146
Teorema 1: Due angoli complementari dello stesso angolo sono congruenti.
147
•Ipotesi:
148
•Alfa più Beta è uguale a 90 gradi (complementari).
149
•Gamma più Beta è uguale a 90 gradi (complementari).
150
•Tesi: Alfa è uguale a Gamma.
151
•Dimostrazione:
152
Dall’ipotesi:
153
•Sottraendo Beta da entrambi i membri:
154
•Dimostrato (come volevasi dimostrare).
155
POLIGONI.
156
•Definizione: Parte di piano delimitata da una spezzata chiusa non intrecciata.
157
•Classificazione:
158
•Convesso: I prolungamenti dei lati restano all’esterno.
159
•Concavo: Almeno un prolungamento divide il poligono.
160
TRIANGOLI.
161
•Definizione: Poligono con 3 lati.
162
•Tipi per angoli: Acutangolo
rettangolo
163
•Tipi per lati: Equilatero
isoscele
164
Sottraendo da entrambi i membri:
165
5. Triangoli: Elementi notevoli:
166
•Ortocentro: Punto d’incontro delle altezze.
167
•Incentro: Punto d’incontro delle bisettrici
equidistante dai lati.
168
•Baricentro: Punto d’incontro delle mediane.
169
•Circocentro: Punto d’incontro degli assi
equidistante dai vertici.
170
6. Congruenza:
171
•Definizione: Due figure sono congruenti se sovrapponibili con movimenti rigidi.
172
•Proprietà: Riflessiva
simmetrica
173
•Criteri per i triangoli:
174
1.Lato-Angolo-Lato: Due lati e l’angolo compreso uguali.
175
2.Angolo-Lato-Angolo: Un lato e i due angoli adiacenti uguali.
176
3.Lato-Lato-Lato: Tre lati uguali.
177
178
PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI ISOSCELI ED EQUILATERI
179
• Triangolo isoscele: ha due lati congruenti e gli angoli alla base uguali.
180
• Teorema del triangolo isoscele: gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti.
181
• Teorema inverso: se un triangolo ha due angoli congruenti
allora è isoscele.
182
• Condizione necessaria e sufficiente: un triangolo è isoscele se e solo se ha due angoli congruenti.
183
• Proprietà speciale: la bisettrice dell’angolo al vertice è anche mediana e altezza relativa alla base.
184
• Triangolo equilatero: ha tre lati e tre angoli congruenti.
185
• Proprietà del triangolo equilatero: ogni bisettrice è anche mediana e altezza.
186
CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
187
Due triangoli sono congruenti se coincidono sovrapponendoli rigidamente. Esistono tre criteri principali:
188
1. Primo criterio: due lati e l’angolo compreso sono congruenti.
189
2. Secondo criterio: un lato e i due angoli adiacenti sono congruenti.
190
3. Terzo criterio: tutti e tre i lati sono congruenti.
191
DISUGUAGLIANZE NEI TRIANGOLI
192
Teorema degli angoli interni ed esterni
193
• Un angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti.
194
• La somma di due angoli interni è sempre minore di un angolo piatto.
195
• In un triangolo isoscele
gli angoli alla base sono sempre acuti.
196
Teorema del lato maggiore e dell’angolo maggiore
197
• A un lato maggiore è opposto un angolo maggiore.
198
• Viceversa
a un angolo maggiore è opposto un lato maggiore.
199
Disuguaglianze tra i lati di un triangolo
200
• La somma di due lati è sempre maggiore del terzo lato.
201
• La differenza tra due lati è minore del terzo lato.
202
• Tre segmenti possono formare un triangolo se rispettano questa condizione:
203
a < b + c
\quad b < a + c
