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Grupos Flashcards

(72 cards)

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1
Q

¿Qué es un grupo?

A

Es un conjunto de elementos dotados de una operación que cumplen con las siguientes propiedades: pertenencia, conmutatividad, existencia del elemento neutro y del inverso.

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2
Q

¿Qué es el Jacobiano? Fórmula matemática

A

Es la derivada parcial de x i respecto de q j.

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3
Q

¿Qué es la derivada de la energía cinética respecto a x punto?

A

El momento

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4
Q

¿Para qué sirve el Jacobiano?

A

Para hacer una transformación de coordenadas hacia las coordenadas generalizadas.

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Q

¿Qué es la derivada parcial de x i punto respecto a q j?

A

La derivada respecto al tiempo de la derivada parcial de x i respecto a q j

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6
Q

¿Qué es la derivada parcial de x i punto respecto a q j punto?

A

La derivada parcial de x i respecto a q j.

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7
Q

¿Cómo es el momento generalizado, Pi?

A

Es igual a p i por la derivada parcial de x i respecto a q j.

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8
Q

¿Qué es la fuerza generalizada, Q j?

A

La fuerza por la derivada parcial de x i respecto a q j. También es igual a la derivada parcial del potencial respecto de q j más las fuerzas no conservativas.

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9
Q

¿Qué es Pi punto?

A

La fuerza generalizada Qj más la derivada parcial de la energía cinética i respecto a q j.

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10
Q

¿Cuál es la partícula mediadora de las interacciones no conservativas?

A

El fotón.

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11
Q

¿Cuáles son las ecuaciones de Euler-Lagrange?

A

La derivada parcial del lagrangiano respecto a q j menos la derivada respecto al tiempo de la derivada parcial del lagrangiano respecto a q j punto igual a cero.

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12
Q

¿Qué es el Lagrangiano?

A

La energía cinética menos el potencial.

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13
Q

¿Qué indica el aparecimiento de las ecuaciones de E-L en repetidas ocasiones?

A

Para que la partícula siga el principio de mínima acción la trayectoria debe seguir las ecuaciones de movimiento.

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14
Q

Respecto al Hamiltoniano, ¿qué es q i punto?

A

La derivada parcial del Hamiltoniano respecto Pi i

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15
Q

Respecto al Hamiltoniano ¿qué es Pi i punto?

A

Menos la derivada parcial del Hamiltoniano respecto a q i.

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16
Q

¿Qué es un campo?

A

Es una magnitud física en el especio-tiempo. Una brana espacio-temporal.

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17
Q

¿Qué es la derivada funcional en campos?

A

Es la aplicación o mapeo entre un espacio o conjunto de funciones Phi y un cuerpo o conjunto de escalares complejos. Lleva a una función a un escalar.

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18
Q

¿Para qué sirven los Grupos?

A

Para estudiar las simetrías en los campos.

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19
Q

¿Qué condición se debe cumplir en la acción para que el rompimiento de la simetría sea espontáneo?

A

Que la variación de la acción sea igual a cero.

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20
Q

¿Qué es un Grupo continuo?

A

Son aquellos Grupos “generados” por transformaciones infinitesimales con un número infinito de parámetros.

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21
Q

¿Qué es un Grupo continuo compacto?

A

Un Grupo continuo G con una función continua f(x) es compacto si f(x) está acotada.

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22
Q

¿Qué significa que una función f(x) sea acotada?

A

Que tiene relaciones de orden.

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23
Q

¿Qué son los Grupos de Lie?

A

Es un Grupo continuo en el que las funciones y su inversa son analíticas, infinitamente diferenciables y cada parámetro del grupo puede definirse como la suma finita de parámetros continuos.

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24
Q

¿Cuándo un Grupo de Lie es localmente Euclideo?

A

Cuando admite coordenadas locales.

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25
¿Cuál es la dimensión de un Grupo de Lie?
La cantidad de coordenadas necesarias para especificar un elemento del Grupo.
26
¿Qué hace una representación fiel?
Correr el 0 del sistema de coordenadas.
27
¿Qué significa SO?
S de special, es decir de determinante 1 y O de ortogonal, lo que quiere decir que una matriz por su transpuesta es igual a la identidad o lo que es lo mismo que la transpuesta es igual a la inversa además que la magnitud permanece invariante.
28
¿Cómo es la dimensión en SO(n)?
Dim SO(n) = 1/2 n (n-1)
29
¿Qué significado tiene la dimensión de un Grupo?
Es la cantidad de generadores del Grupo.
30
¿Cuándo un Grupo es Abeliano?
Cuando Cij k =0.
31
¿Qué propiedades tiene un Grupo Abeliano?
La constante de estructura Cij k es real, es antisimétrica y cumple con la identidad de Jacobi.
32
¿Qué quiere decir "rotar axialmente en z"?
Que dejamos a z invariante.
33
¿Cómo debe ser la representación en grupos de Lie?
Analítica y continua.
34
¿Qué es una representación fiel?
Una representación inyectiva, es decir, uno a uno.
35
¿Cuál sería un ejemplo de una representación fiel concreta?
La representación regular por la izquierda.
36
¿Por qué lado actúan todos los operadores?
Por la izquierda.
37
¿Cómo se forma un álgebra de Lie?
Usando el conmutador como producto.
38
¿Los generadores de las rotaciones en R3 son simétricos o antisimétricos?
Antisimétricos.
39
¿Qué implica que un grupo de Lie sea cerrado?
Que forma un álgebra de Lie en la que el conmutador de Ti y Tj es igual a i epsilon ijk Tk. Cualquiera que sea la forma (o el orden) en el que se operen esas tres transformaciones el resultado será una de las tres.
40
¿Cómo se hallan las constantes de estructura del álgebra de Lie?
Se pueden calcular de manera explícita con el conmutador de los generadores y comparando con la forma Cij^k Xk
41
¿Qué propiedades cumplen las constantes de estructura en un álgebra de Lie?
Son antisimétricas y satisfacen la identidad de Jacobi.
42
¿Qué es SU(N)?
S de special U de unitary.
43
¿Qué son las transformaciones Unitarias?
Son unas transformaciones que cumplen que UdagaU es igual a la identidad, o, dicho de otro modo, preserva el producto en el espacio vectorial complejo.
44
¿Qué condición debe cumplir Tdaga en las matrices unitarias?
Tdaga = -T
45
¿Qué representan los parámetros reales en los grupos de Lie?
Observables
46
¿Es Tdaga = -T hermítico?
No.
47
¿Cómo hacemos Tdaga = -T hermítico?
T = iJ
48
¿Cómo es la traza de una matriz que pertenezca a un grupo SU(N)?
Nula.
49
¿Cómo es la dimensión de SU(N)?
N^2-1
50
¿Cuál es la representación fundamental de rotar algo en R3?
SU(2)
51
¿Qué dice respecto al grupo el álgebra de Lie?
A qué grupo SU(N) pertenece.
52
¿Es el álgebra de Lie independiente de la representación? ¿Qué quiere decir esto?
Sí. Independiente de si son matrices 2x2, 3x3, funciones, etc, las relaciones de conmutación dentro del grupo se van a mantener.
53
¿Qué es una representación irreducible?
Es el subespacio mínimo invariante bajo una transformación.
54
¿Qué es la representación fundamental?
Es la representación irreducible mínima no trivial.
55
¿De qué grupo son la base las matrices de Pauli?
De SU(2)
56
¿Cuál es la diferencia del espacio euclideo al del Minkowski?
Se agrega una coordenada temporal.
57
¿Cómo se agrega esta coordenada temporal, en el espacio de Minkowski?
Por medio de la métrica del espacio-tiempo de la relatividad.
58
¿Cómo queda el vector ds^2?
ds^2=dt^2 - dx^2-dy^2-dz^2
59
¿Trabajaremos con eta mu nu o g mu nu?
g mu nu
60
¿Cómo son los signos respecto a la parte espacial en los vectores variantes o contravariantes?
Variante: positivos. Contravariante: negativos.
61
¿Cuál tiene los índices arriba y cuál abajo? De variante y contravariante.
Variante arriba, contravariante abajo.
62
¿Normalmente qué transformamos las coordenadas o los desplazamientos?
Las coordenadas.
63
¿Qué hace la métrica con las transformaciones de Lorentz?
Las deja invariantes.
64
¿Qué es L(1, 3)? ¿Y qué quiere decir? ¿El grupo es cerrado o abierto?
El grupo de Lorentz propio, lo que significa que el determinante de las matrices del grupo es igual a 1. El grupo es cerrado.
65
¿Qué es L(-1, 3)? ¿Y qué quiere decir? ¿El grupo es cerrado o abierto?
El grupo de Lorentz impropio, lo que significa que el determinante de las matrices del grupo es igual a -1. El grupo es abierto.
66
¿Cómo es el generador delta omega de las matrices de Lorentz? ¿Simétrico o antisimétrico?
Antisimétrico.
67
¿Qué es la energía cinética, matemáticamente?
k = m x punto cuadrado / 2
68
¿Qué es la velocidad en coordenadas generalizadas, matemáticamente?
La derivada parcial de x i respecto a q j por qj punto más la derivada parcial de xi respecto al tiempo.
69
¿Cómo es la definición de derivada funcional que vamos a usar?
F[qi + deltaqi] - F[qi] = integral d^n rho delta F/delta qi(rho) deltaqi(rho)
70
¿Qué es pi respecto al Lagrangiano?
La derivada parcial del Lagrangiano respecto a q i punto
71
¿Cómo se define el Hamiltoniano?
Pi qipunto - el Lagrangiano
72
¿Cómo es el corchete de Poisson de f1 y f2? ¿[f1, f2]?
La derivada parcial de f1 respecto a qi por la derivada parcial de f2 respecto a pi i - La derivada parcial de f1 respecto a pi i por la derivada parcial de f2 respecto a q i

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