Inferenzstatistik

Question 1

Ergebnisraum und Wahrscheinlichkeiten

Answer 1

Ergebnisraum:

• Ergebnisraum (Ω) – Menge aller möglichen Ausgänge eines einfachen Zufallsexperiments
• Ergebnis – ein einzelnes Element des Ergebnisraums
• Ereignis – bestimmte Teilmenge des Ergebnisraums
• Elementarereignis – Teilmenge, die aus nur einem Element besteht –> ein Ergebnis kann also als Elementarereignis aufgefasst werden

Wahrscheinlichkeiten:

• Wahrscheinlichkeiten sind bestimmte Zahlen, die jedem Ereignis einer Ergebnisraums zugewiesen werden
• Axiome:
  
  • Positivität: p(A) >= 0
  • Normiertheit: p(Ω) = 1
  • Die Wahrscheinlichkeit einer Menge disjunkter Ereignisse ist gleich den aufsummierten Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse

Question 2

Relative Häufigkeit

Answer 2

• ​Wenn alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, dann entspricht die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses seiner relativen Häufigkeit im Ergebnisraum
• Die relative Häufigkeit des Auftretens von Ereignis (A) nähert sich der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (A) an, wenn die Anzahl der Wiederholungen gegen unendlich geht (Bernoulli’s Theorem)

Question 3

Binomialverteilung

Answer 3

• Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
• Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Serie von gleichartigen und unabhängigen Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben („Erfolg“ oder „Misserfolg“).
• Solche Versuchsserien werden auch Bernoulli-Prozesse genannt.
• Sie ist meistens/fast immer asymmetrisch
• Erwartungswert = n*p
• Varianz = n*p*q

Question 4

Inferenzstatistik - was ist das?

Answer 4

Ziel der Inferenzstatistik:

• Überprüfung von Theorien (bzw. den daraus abgeleiteten Hypothesen). Hypothesen sind Aussagen über Populationen.

Problem:

• Stichprobenziehen ist fehlerbehaftet​. Nur bei n = ∞ (oder n = Population) erhalte ich den exakten Populationswert
• Das Stichprobenergebnis wird sowohl durch den Populationswert als auch den Stichprobenfehler bestimmt
• Wie kann man also aufgrund von Stichprobenergebnissen und den daraus berechneten Stichprobenstatistiken, Schlüsse auf die entsprechenden Populationsparameter ziehen?
• –> über die sogenannte Stichprobenverteilung

Inferenzstatistische Verfahren, u.A.:

• Konfidenzintervalle –> Genauigkeitsaussagen treffen
• Signifikanztests –> Hypothesen über Populationskennwerte prüfen

Question 5

Stichprobenverteilung

Answer 5

• eigtl besser: Stichprobenkennwerteverteilung
• Ich betrachte den Stichprobenkennwert als Zufallsvariable
• Wie verteilt sich der Stichprobenkennwert durch das Zufallsexperiment „Stichprobenziehen“
• Stichprobenverteilung = Verteilung der Zufallsvariable
• Welche Realisierungen der Zufallsvariable kommen mit welcher Wahrscheinlichkeit vor?
• Stichprobenverteilungen sind das „Bindeglied“ zwischen Stichprobenergebnissen und Schlüssen (Inferenzen) auf Populationsparameter
• Aber: Alle Schlüsse (Inferenzen) auf die Population sind immer nur Wahrscheinlichkeitsaussagen.

Bestimmung der Stichprobenverteilung:

• Ganz oft Stichproben ziehen ist unrealistisch –> theoretisch herleiten (allerdings geknüpft an sogenannte Verteilungsannahmen)
• Die Varianz der Stichprobenverteilung erhält man, indem man die Populationsvarianz nochmals durch n teilt (oder analog: den Standardfehler der Stichprobenverteilung erhält man, indem man die Standardabweichung der Population nochmals durch n teilt) → wird viel kleiner
• Der Mittelwert der Stichprobenverterilung ist gleich dem Populationsmittelwert

Question 6

Testverfahren der Inferenzstatistik - wovon hängt es ab, welches man nimmt?

Answer 6

Je nach Design der Untersuchung und je nach Verteilung müssen unterschiedliche Prüfgrößen berechnet werden.

Relevante Eigenschaften:

• Anzahl der AVs und UVs
  
  • Im Prinzip gibt es statistische Verfahren für alle möglichen Anzahlen an UVs und AVs
  • In diesem Modul behandeln wir aber nur Designs mit einer AV und höchstens zwei UVs
• Anzahl der Ausprägungen der Variablen
  
  • Ist die Variable stetig oder diskret (wie viele Ausprägungen gibt es?)
  • diskrete Variablen sind meistens die UV (z.B. Gruppenvariablen: Mann/Frau oder Experimentalgruppe/Kontrollgruppe; hier ist entscheidend, ob es nur 2 oder mehr Ausprägunsmerkmale gibt)
  • stetige Variablen sind meistens die AV (z.B. Körpergröße)
• Abhängige oder unabhängige Stichproben
  
  • Abhängige Stichproben: Ausprägung eines Messwertes hängt von der Ausprägung eines anderen ab. Meist Within-Subject-Designs.
  • Unabhängige Stichproben: Ausprägung eines Messwertes hängt nicht von der Ausprägung eines anderen ab. Meist Between-Subject-Designs
• Verteilungsform in der Population
  
  • Bei einem parametrischen Test werden Aussagen über Kennwerte einer postulierten Verteilung getroffen: Z.b: Mittelwert oder Varianz einer normalverteilten Population. Annahmen über Form der Verteilung nötig (meist: Normalverteilung und Varianzhomogenität)
  • Bei einem non-parametrischen Test werden keine Aussagen über die Verteilung getroffen: Es sind keine Vorannahmen notwendig, um die Verteilung der Prüfgröße ableiten zu können. Können sich aber trotzdem auch auf Parameter einer Verteilung beziehen

Question 7

Schwaches Gesetz der großen Zahlen

Answer 7

• ist eine beobachtbare Gesetzmäßigkeit (kein mathematisches Gesetz)
• Wenn ich die Stichprobengröße n erhöhe, wird der Standardfehler der Stichprobenverteilung kleiner –> die Schätzung von Populationsparametern wird mit steigender Stichprobengröße n also genauer
• Denn wenn ich n erhöhe, dann wird es immer unwahrscheinlicher eine sehr extreme Stichprobe zu bekommen, die von den wahren Populationsparametern weit entfernt ist.
• Die Stichprobenverteilung wird also schmaler und ist weniger breit um ihren Mittelwert gestreut.
• Gedankenexperiment: Die größtmögliche Stichprobengröße n ist einfach die gesamte Population. Dann wird der Standardfehler der Stichprobenverteilung gleich 0, denn jede Stichprobe liefert den exakt gleichen Kennwert - den “wahren” Populationskennwert.

Question 8

Zentraler Grenzwertsatz

Answer 8

• Wenn ich die Stichprobengröße n erhöhe, wird die Stichprobenverteilung “normaler”
• Die Form einer Stichprobenverteilung nähert sich mit steigender Stichprobengröße n immer mehr einer Normalverteilung an, völlig unabhängig davon, wie die Populationsverteilung der Variablen aussieht.
• Die Populationsverteilung eines Münzwurfs besteht z.B. nur aus zwei Ergebnissen, 0 und 1. Das sind einfach zwei diskrete Balken nebeneinander. Aber die Stichprobenverteilung dazu wird eine Normalverteilung mit Mittelwert 0,5.
• Die Populationsverteilung kann auch völlig crazy sein. Ein sonderbarer Würfel, der die 6 zu 50% würfelt, die 3 und die 1 zu jeweils 25% und den Rest nie. Die Stichprobenverteilung bzgl des Anteils an Dreien oder des Mittelwerts der gewürfelten Augenzahl wird für n gegen unendlich trotzdem eine Normalverteilung.

VORSICHT: In der Vorlseung heißt es, das gilt nur wenn die Populationsverteilung normal ist??

Question 9

Häufigkeitsverteilung vs Stichprobenverteilung

Answer 9

Häufigkeitsverteilungen

• beziehen sich auf die Werte aus Stichproben. Sie bilden die Häufigkeit aller Werte abgebildet

Stichprobenverteilungen

• beziehen sich auf die Verteilung von Stichprobenkennwerten (z. B. Mittelwerten oder Anteilen).
• Solche Stichprobenverteilungen werden oft theoretisch abgeleitet (theoretische Stichprobenverteilungen), können aber auch als Verteilung von Stichprobenkennwerten aus vielen Studien entstehen (empirische Stichprobenverteilungen)