Kap 4 Flashcards
(20 cards)
Empiriska sannolikhete
man gör olika experiment för att se hur stor sannolikheten är
A-priori sannolikheter
i vet sannolikheten från början. Tex det är sannolikheten ⅙ att
tärningen blir en 6a då vi kastar den
Händelse
sannolikheten för att en viss händelse inträffar
Betingad sannolikhet
tex sannolikheten att gå med ett uppfällt paraply är obetingat. Medan
sannolikheten att man går med ett uppfällt paraply givet att det regnar, då är det betingat att det
regnar.
Oberoende och beroende händelser
att vi kastar en tärning en gång påverkar inte det andra
kastets utfall. Händelsen att man går med ett uppfällt paraply när det regnar = ett beroende
Sannolikhet (probability) =
r ett numeriskt värde som mäter hur troligt det är att en osäker
händelse inträffar. Värdet på en sannolikhet är mellan 0 och 1. Det kan aldrig vara negativt eller
större än 1.
Sannolikheten = 0 → indikerar en omöjlig händelse
Sannolikheten = 1 → indikerar en säker (certain) händelse
Ett experiment
ett försök som resulterar i något av flera osäkra utfall: dvs vi gör något som är
osäkert och som ger oss några utfall. Tex: vilken (om någon) medalj får en viss snowboardåkare i
halfpipe i vinter os.
● Detta är ett experiment då utfallet är osäkert. Det finns 4 utfall: guld, silver, brons eller
ingen medalj. För att formalisera detta:
S = sample space (utfallsrum) = [guld, silver, brons, ingen medalj]
I utfallsrummet skriver vi som en lista med alla möjliga utfall.
S = [A, B, C, D, E, F]
En händelse (event) = en delmängd av utfalls rummen. Det är när man kombinerar flera
utfallsrum. Plockar vi ihop några utfall (eller inget alls): A, B, C, D, E, =
Uttömmande (exhaustive) (kan var den del av exxpermient)=
om alla möjliga utfall för ett experiment finns bland händelserna. Tex
“ta medalj” och “inte ta medalj” i OS gren är uttömmande eftersom dessa är de enda utfallet.
Adderar vi ihop att ta medalj och inte ta medalj = får vi hela utfallsrummet: guld, silver brons &
ingen medalj.
Ömsesidigt uteslutande (mutually exclusive
= innebär att händelserna inte har något gemensamt.
Om de inte har några gemensamma utfall för experimentet. Tex att “ta medalj” och “inte ta
medalj” i en OS gren är ömsesidigt uteslutande. Men om det är “ta medalj” eller “brons eller ingen
medalj” är inte ömsesidigt uteslutande då brons finns i båda händelserna.
Venn- diagram = representerar utfallsrummet och händelserna.
För vilka experiment som helst, så kan vi basera händelserna utifrån en eller flera utfall av
experimentet och även kombinera händelser för att skapa nya händelser. Unionen = A U B, är
snittet. Denna unionen innehåller alla simpla händelser som finns i åtminstone en av A eller (inte
antingen eller ) B
● Om inte cirklarna överlappar varandra ⇒ då är händelserna ömsesidigt uteslutande
● Simpla händelser = händelser som endast innehåller ett element från utfallsrummet.
● Snittet ( intersection) = dem elementen som finns i både A & B.
Komplementet till en händelse =
allt som finns runt om händelsen = sannolikheten att A inträffar
respektive inte inträffar. Skrivs A^c. Tex uppfällt paraply är komplementet att vi inte går med
uppfällt paraply. Komplementet att det regnar, är att det inte regnar.
Den tomma mängden
när det inte finns något gemensamt mellan händelserna.
Subjektiva sannolikheter
höftskott “jag tror att det är 50% chans att 80% av sveriges
befolkning är vaccinerade innan 2021”. Det är sannolikheter som man hugger till med utifrån
personliga och subjektiva bedömningar
Objektiva sannolikheter =
Objektiva sannolikheter =
● empiriska sannolikheter = en relativ frekvens av förekomster.
● a-priori sannolikhet (klassisk sannolikhet) = logisk analys
Två definierade egenskaper hos en sannolikhet:
1. sannolikheten är alltid mellan 0-1
2. summan av sannolikheten för vilken som helst lista av ömsesidigt uteslutande (inget
överlapp) och uttömmande (pusslar vi ihop sannolikheterna ges s) händelser är 1. Adderar
vi alla sannolikheterna = ges hela utfallsrummet.
Att beräkna en empirisk sannolikhet: använd rlativ frekvens, tex kasta häftstift
Relativ frekvens : (P(A) = #utfall i A / # utfall i S
= antalet ggr häftstiftet landar upp / antalet kast
Räknereglerna (Komplementregeln, Additionsregeln, Obetingad (maringal) sannolikhet och Betingad sannolikhet, Beräkna en betingad sannolikhet:):
Komplementregeln = om sannolikheten för en händelse är 30% så är sannolikheten att händelsen
inte inträffar är 70%. Dvs om vi har en sannolikhet för en viss händelse, kan vi beräkna fram
sannolikheten för att en händelse inte inträffar P(Ac) = 1 - P(A)
Additionsregeln = sannolikheten att A eller B (inte antingen eller)
inträffar, eller åtminstone en av händelserna inträffar: P(A U B ) =
P(A) + P(A) - P( A∩ B)
Additionsregeln två ömsesidigt uteslutande händelser = P (A U B) = P (A) + P(B)
Obetingad (maringal) sannolikhet = sannolikheten för en händelse utan några restriktioner. Tex,
P(A): shl att få ett jobb & P(B): shl för arbetslivserfarenhet.
Betingad sannolikhet = sannolikheten för en given händelse att en annan händelse inträffat/
inträffar. När vi betingar sannolikheter så använder vi | som läses “givet”. Vad som är följer efter |
har inträffar eller inträffar. Tex. P (A|B): sannolikheten att få ett jobb givet att vi har
arbetslivserfarenhet.givet två händelser A & B, båda med positiv sannolikhet ges
sannolikheten för A givet b som: P(A|B] = P( A∩ B) / P(B)
Oberoende & beroede händelser
två händelser är oberoende om inträffandet av den ena
händelser inte påverkar sannolikheten för inträffandet av den andra. Två händelser är beroende om
inträffandet av den ena påverkar sannolikheten för inträffandet av den andra. Två händelser är
oberoende om och endast om: P(A|B) =P(A) eller P(B|A) = P(B), tex sannolikheten att få en 6a i
andra kastet är ⅙ oavsett var vi fick i första tärningskastet.
multiplikationsregeln
annolikheten att både A & B inträffar ges av:
P( A∩ B) = P(A|B) * P(B) = P(|A) * P(A)
Obs att om A och B är ömsesidigt uteslutande så är: P( A∩ B) =
0 dvs då finns inget snitt
Multiplikationsregeln för oberoende händelser: P(A) * P(B)
Händelsetabeller
en händelsetabell visar generellt frekvenser för två kvalitativa eller
kategoriska variabler, x & y. Varje cell representerar en ömsesidigt uteslutnde kombination av x &
y-värden.
Händelser Tabeller kan användas för att beräkna sannolikheten baserar på relativa frekvenser.
(relativ =hur stor andel utgjorde frekvenserna i den ena cellen i förhållande till totalen)
Lagen om total sannolikhet:
P(A) är summan av sannolikheten för snitten av A med någon
uppsättning av ömsesidigt uteslutande och uttömmande händelser.
● Beakta händelsen B och dess komplement Bc. Dessa två händelser är ömsesidigt
uteslutande och uttömmande
● Cirkeln representerar händelsen: A.
● Cirkeln består helt och hållet av A:s snitt med B samt A:s snitt med Bc
● P( A∩ B) + P( A∩ BC) = A
● Det som menas med ömsesidigt uteslutande och uttömmande här, är att P( A∩ B) &
P( A∩ BC) inte har något gemensamt
Lagen om total sannolikhet betingad på två händelser (sannolikheten för en händelse givet en
annan) = med hjälp av B och BC kan vi skriva:
P(A) = P( A∩ B) + P( A∩ BC) dvs P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|BC) * P(BC)
Det vi kan göra är att svara på: “När B har inträffat, vad är då sannolikheten att A inträffar?
Bayes sats =
n procedur för att uppdatera sannolikheter baserat på ny information. Given en
uppsättning a-priori-sannolikheter & någon ny info.
Satsen lyder:
P(B|A) = P( A∩ B) / P( A∩ B) + P( A∩ BC)
eller…
P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A|B) * P(B) + P(A|BC) * P(BC
I nämnaren har vi P(A) enligt lagen ovan
● A-priori-sannolikheten, är den ursprungliga (obetingade) sannolikheten P(B). Dvs det vi
vet här och nu om en händelse inte är betingad överhuvud taget.
● A- posteriori-sannolikheten, är den uppdaterade (betingade) sannolikheten P(B|A). Dvs
om A är givet, kan vi ta reda på hur det påverkar P(B)
