Linear Algebra Flashcards
(36 cards)
Hvordan tager man prikprodukt af matricer?
Har man to matricer A og B, og prikker dem, altså AB, lægges B’s søjler over på A’s rækker.
Hvordan kan man finde ud af om man kan prikke to matricer, og derefter deres størrelse?
Tommelfingerregel er at stille de to matricer op
nxm prik mxp
m skal være ens
Prikproduktets størrelse vil så være en matrix nxp
Hvordan tages prikproduktets af to vektorer?
Antag to 3x1 vektorer v og u. De har hver x,y,z. Altså v_x, v_y, osv.
v prikket på u er lig med:
v_x * u_x + v_y * u_y + v_z * u_z
Hvis prikproduktet er 0 er vektorerene vinkelrette på hinanden
Kan man gange en matrix med en skalar og hvad sker der hvis man kan?
Ja det kan man godt, ligningen er:
c*A
Alle elementer i en matrix vil derefter få ganget c på sig.
Hvordan tager man krydsproduktet af to vektorer?
Hvordan tager man krydsproduktet af to vektorer?
Hvad kan man bruge krydsprodukt af to vektorer til?
Til at finde en vektor som står vinkelret på de to krydsede vektorer.
Hvilke regler er der for invertibilitet for en matrix?
Determinant må ikke være 0,
Matricen skal være symmetrisk
Hvordan kan en transformation påvirke en matrix?
En transformation af en matrix kan ændre størrelsen, formen, eller orienteringen af den oprindelige matrix.
For eksempel, en transformation af en matrix kan være at rotere den, spejle den, skalere den, eller transponere den.
Invertibilitets formel
Der er flere måder at invertere en matrix:
Rækkeoperationsmetoden:
AI=IA^-1
Determinantmetoden:
A^-1=1/(det(A))*A
Vær opmærksom på at ved determinantsmetoden kan A’s elementer ændre position og derefter fortegn.
Valide totalmatricer
Ax=b vil aldrig gå op hvis man finder ud af at der på én eller anden måde står at noget er lig med 0
Baser
Generelt er baser vektorer som har et spænd. Hvis en vektor ligger i dette spænd kan vektoren beskrives med baserne.
Hvordan finder man ud af, at en matrix er ortogonal?
matrixen skal være en n x n, hvor matrixens søjler prikket med hinanden er lig med 0
Hvad betyder det, at en vektor er i et plan eller linjes komplement?
At vektoren er vinkelret på plan eller linjen.
Hvordan projektere man en ortogonal projektion på en plan eller linje.
ŷ = (y.u1)/(u1.u1)u1+…+(y.un)/(un.un)un
Hvad er et ortogonalt sæt?
Nogle vektorer som er ortogonale med hinanden. De giver dermed 0, når de prikkes sammen hver for sig.
Hvorfor bruges mindste kvadraters metode?
Til at finde det punkt på et plan eller rum som er tættest på en vektor. Man kan så også udregne længden fra det punkt op til vektoren.
Hvordan udregnes den mindste kvadraters metode?
Der benyttes formlen A^TAx=A^T*b
Matrix A indeholder søjler som spænder et rum
b er en vektor.
Alt indsættes i formlen og den rækkereduceres, ud vil punktet komme.
Hvad er en orthogonal basis?
En orthogonal basis, er vektorer som er vinkelrette på hinanden, og deres prikprodukt er 0. Med disse orthogonale baser kan man beskrive andre vektorer i basernes underrum.
Hvad kaldes normaliserede orthogonale vektorer
Orthonormal - som har samme retning som den tidligere orthgonale vektor, men en normaliseret længde.
Hvordan normalisere man et sæt af orthogonale vektorer.
Vektoren som man vil normalisere ganges med 1/længden af vektoren:
v1’=1/(||v1||)*v1
Hvorfor ville man bruge Gram-Schmidt
Til at orthogonalisere et sæt vektorer. Man vælger én vektor som udgangspunkt og så projekteres de andre på den, og ud fra det skaber man et orthogonalt sæt af vektorer.
Hvad kategorisere, at to vektorer er et orthonormale sæt?
Hvis de er to orthonogonal enhedsvektor.
Orthonogonal(Vinkelrette på hinanden og giver 0, hvis de prikkes sammen)
Determinant - 3x3
For en 3×3 matrix (3 rækker and 3 søjler):
A = [a, b, c
d e f
g h i]
Beregnes determinanten ved:
|A| = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Determinant - 2x2 med egenværdier
for at finde determinanten på en 2x2 Matrix, giver vi den bogstaver for at forstå det nemmere, så den har a, b, c, og d. så ganger man a med d og b med c og efter minuser man det produkt. så har man det karakteristiske polynomium. efter det kan man finde diskriminanten, som er d=b^2-4ac.
