metodi numerici teoria generale

Question 1

matrice grande o piccola

Answer 1

m < 50, m> 400

Question 2

matrice sparsa

Answer 2

Sparsity > 0.33

Question 3

diagonale strettamente dominante

Answer 3

Abs della diagonale maggiore di somma degli abs dei elementi della riga

Question 4

formula condizionamento built in

Answer 4

np.linalg.cond(A)

Question 5

codice matrice simmetrica e definita positiva

Answer 5

np.allClose(A, A.T)

try: scipy.linalg.cholesky(A)
except scipy.LinAlgError:

Question 5

formula rank matrice

Answer 5

np.linalg.matrix_rank(A)

Question 6

codice diagonale strettamente dominante

Answer 6

n, _ = A.shape
diagonally_dominant = True
for i in range(n):
# Calcola la somma dei valori assoluti degli elementi della riga, escluso l’elemento diagonale
sum_row = np.sum(np.abs(A[i, :])) - np.abs(A[i, i])
# Controlla se valore assoluto dell’elemento diagonale è strettamente maggiore della somma degli altri elementi della riga
if np.abs(A[i, i]) <= sum_row:
diagonally_dominant = False
break

if diagonally_dominant:
    print("Matrice a Diagonale Strettamente Dominante")

Question 7

codice residuo di sistema Ax = b

Answer 7

residuo_sol = np.linalg.norm(A @ x - b)

Question 8

codice derivata

Answer 8

df = sym.diff(f, var, 1)

Question 9

codice trasformare funz simbolica in numreica

Answer 9

f_numerica = sym.utilities.lambdify(var, f, np)

Question 10

codice radice quadrata

Answer 10

sym.sqrt(expr)
o np.sqrt(valore)

Question 11

codice matrice

Answer 11

sym.matrix

O

Np.array

Question 12

Metodo python condizionamento

Answer 12

np.linalg.cond()

Question 13

importare cholesky

Answer 13

scipy.linalg.cholesky(A)

Question 14

vettore di zeri

Answer 14

np.zeros_like(vet)

Question 15

scambiare costanti per numeri in funzione simbolica

Answer 15

f.subs(var, numero)

Question 16

codice norma metodo built-in?

Answer 16

np.linalg.norm(A, 1)

Question 16

come ricordare differenza tra numpy e sympy?

Answer 16

numpy riguarda operazioni NON simboliche, ma operazioni su array e matrici

Question 17

cos’è norma uno e come si calcola non usando funzioni built-in?

Answer 17

norma 1 = MAX SOMMA DI OGNI COLONNA, CONSIDERANDO ABS DI OGNI ELEMENTO

c = np.sum(np.abs(B),axis=0) #equivale a sommare gli elementi di tutte le colonna
norma1 = np.max(c)

Question 18

norma 2 cos’è e codice?

Answer 18

norma 2 è valore singolare massimo di matrice M = A * A.T

è necessario fare radice del massimo degli autovalori

def norma2EIGVALS(A):
M = A @ A.T
autovalori = np.linalg.eigvals(M)
norma2 = np.sqrt(np.max(autovalori))
return norma2

Question 19

condizionamento in norma 1? non built-in

Answer 19

cond = norma(A) * norma(np.linalg.inv(A))

Question 20

norma infinito cos’è e codice?

Answer 20

come norma 1 ma la somma riguarda le righe

c = np.sum(np.abs(B),axis=1) #equivale a sommare gli elementi di tutte le righe
normainf = np.max(c)

Question 21

inversa di matrice

Answer 21

np.linalg.inv(A)

Question 22

condizionamento in norma 2? non built-in

Answer 22

cond = norma2(A) / np.sqrt(np.min(autovalori))

Question 23

matrice di vandermone codice?

Answer 23

mat = np.vander(x, increasing = True)[:,:n2]

Question 24

lu solve quando applicabile?

Answer 24

per matrici n = m, piccole dimensioni, dense E con determinante != 0 (rango max di tutte le sottomatrici)

Question 25

condizione applicabilità lusolve? + codice

Answer 25

condizione: Il determinante di tutte le sottomatrici deve essere != 0 a.k.a. il rango di tutte le sottomatrici deve essere pieno n, _ = A.shape applicabile = True for i in range(1, n): sub_matrix = A[:i, :i] if np.linalg.matrix_rank(sub_matrix) != i: print("NON APPLICABILE") applicabile = False break if applicabile: print("APPLICABILE")

Question 26

codice applicare lusolve?

Answer 26

applicare lu che ritorna PT, L, U, poi risolvere con due solve_triangular Step 1: Fattorizzazione LU con permutazione PT, L, U = lu(A) P = PT.T.copy() Step 2: CALCOLARE Pb Pb = P @ b Step 3: Risolvere L * y = P * b per y (sistema triangolare inferiore) y = solve_triangular(L, Pb, lower=True) Step 4: Risolvere U * x = y per x (sistema triangolare superiore) x = solve_triangular(U, y)

Question 27

norma 1, 2 e infinito built-in?

Answer 27

np.linalg.norm(A, 1) np.linalg.norm(A, 2) np.linalg.norm(A, np.inf)

Question 28

calcolare perturbazione nei dati vettore b di Ax = b? codice

Answer 28

ERRORE_DATI = NORMAINF(b - bpert) / NORMAINF(b) oppure ERRORE_DATI = NORMA2(b - bpert) / NORMA2(b)

Question 29

risoluzione con metodo build-in di sistema n == m

Answer 29

x = sym.solve(expr) per sistemi simbolici x = numpy.linalg.solve(A) per sistemi numerici

Question 30

risoluzione con metodo build-in di sistema n > m sovradeterminati

Answer 30

x = sym.linsolve(expr) per sistemi simbolici c, residuals, rank, s = numpy.linalg.lstsq(A, b) per sistemi numerici

Question 31

applicare cholesky? + codice

Answer 31

cholesky fa solo la fattorizzazione, serve poi applicare Lsolve, Usolve cholesky restituisce solo L #CHOLESKY L = cholesky(A, lower=True) print("Matrice triangolare inferiore L:\n", L) LSOLVE z, flag = Lsolve(L, b) if flag == 0: print("\nSoluzione intermedia z (dalla risoluzione di Lz = b):\n", z) # USOLVE x, flag = Usolve(L.T, z) if flag == 0: print("\nSoluzione finale x (dalla risoluzione di L.T x = z):\n", x)

Question 32

codice solve_triangular

Answer 32

scipy.linalg.solve_triangular

Question 33

come importare metodo lu

Answer 33

scipy.linalg.lu

Question 34

come importare metodo cholesky

Answer 34

scipy.linalg.cholesky

Question 35

come importare per usare Lsolve e Usolve? cosa cambia da solve_triangular?

Answer 35

from solvetriangular import Lsolve, Usolve # Importa le funzioni definite nel file la differenza è che restituiscono anche un flag che è =0 se va bene solve_triangular(L, V, lower = True) == Lsolve(L, V) solve_triangular(U, V, lower = False) == Lsolve(U, V)

Question 36

come importare metodo qr?

Answer 36

np.linalg.qr(...)

Question 37

[*QR, Cholesky, Jacobi, Gauss seidel, SOR, steepest descent, conjugate descent, metodo equazioni normali, QRLS, SVDLS*] tra questi metodi quali senza scheletro non forniscono la soluzione diretta?

Answer 37

QR, cholesky

Question 37

applicare metodo qr? + codice

Answer 37

qr restituisce Q, R tale che A = Q*R risolta con metodo built-in solve Q, R = np.linalg.qr(A) y = Q.T @ b x = scipy.linalg.solve(R, y)

Question 38

codice hilbert?

Answer 38

H = scipy.linalg.hilbert(n)

Question 39

quando si applica solve_nsis()?

Answer 39

in sistemi lineari Ax = b CONDIZIONE: n == m per sistemi con *n vettori di termini noti b* utilizza lu, Lsolve, Usolve

Question 40

codice solve_nsis?

Answer 40

solve_nsis usa lusolve all'interno di un ciclo che itera ogni COLONNA di B, inserendo ogni risulato in ogni COLONNA di X def solve_nsis(A, B): X = np.zeros(B) n = A.shape[0] #LU PT, L, U = lu(A) P = PT.T.copy() for i in range(1, B.shape[1]): #LSOLVE y, flag = Lsolve(L, P @ B[:, i]) if flag != 0: print("Errore: elemento diagonale nullo in L") X = [] return X #USOLVE x, flag = Usolve(U, y) if flag != 0: print("Errore: elemento diagonale nullo in U") X = [] return X X[:, i] = x.reshape(n,) return X

Question 41

steps per fare condizionamento di funzione simbolica f?

Answer 41

1) definire funzione simbolica 2) calcolare la derivata simbolica 3) sostituire valori fissi se necessario 4) convertire funzione e derivata in numeriche 5) calcolare indice condizionamento: | c * df_numerica(c) / f_numerica(c) |

Question 42

nell'applicare scheletri, valori di itmax, tol, x0?

Answer 42

itmax = 10000 tol = 1e-8 x0 = np.zeros_like(b)

Question 43

creare mediante interpolazione un polinomio di grado n? cosa serve avere e creare?

Answer 43

Metodo per calcolare il polinomio interpolante in forma di Lagrange. - x VETTORE dei nodi di interpolazione, - y VETTORE dei valori della funzione nei nodi di interpolazione, y = y[x] - xx VETTORE dei punti in cui si vuole valutare il polinomio interpolante. PIU' FITTI. DA CREARE(es con np.linspace()) - yy VETTORE DA CALCOLARE CON interpL yy = interpL(x, y, xx)

Question 44

come costruire polinomio di regressione lineare di grado n?

Answer 44

si hanno due vettori di dati x e y usare matrice di vandermone con vander si crea una matrice A che poi è risolvibile come un qualsiasi sistema lineare. dopo avere creato A con vander, si ha sistema Ac = y valore di n è da decidere n2 = n + 1 A = np.vander(x, increasing = True)[:, :n2]

Question 45

polinomio di regressione con polyfit?

Answer 45

x = np.array([0, 1, 2, 3]) y = np.array([1, 2, 0, 5]) #OSSERVO n n = 2 coeffs_polyfit = np.polyfit(x, y, deg=n) print("Coefficiente con polyfit:", coeffs_polyfit)

Question 46

valori da passare in input per metodi di FUNZIONI O SISTEMI NON LINEARI?

Answer 46

tolx=1e-8 tolf=1e-8 nmax=10000 x0=1.0 FUNZIONI PASSATE COME NUMERICHE

Question 47

valori da passare in input per metodi di FUNZIONI O SISTEMI LINEARI?

Answer 47

tol=1e-8 nmax=10000 x0=np.zeros_like(b)

Question 48

in generale per plottare funzione cosa serve?

Answer 48

si fa plt.plot(x,y) con x e y 2 VETTORI DI PUNTI. x sono valori con linspace, y è funz(x)

Question 49

importare plot?

Answer 49

import matplotlib.pyplot as plt

Question 50

soluzione di newton

Answer 50

radice più vicina a punto x0

Question 51

soluzione di bisezione

Answer 51

unica radice all'interno

Question 52

calcolare ordine di newton?

Answer 52

ordine è relativo ad una specifica radice verso cui newton converge. per calcolarlo usare stima_ordine, poi per aumentarlo usare m = 2 o 3 o 4 in newtonmod

Question 53

PLOTTARE FUNZ 3D

Question 54

input a metodi mynewtonsys jac e x0?

Answer 54

jac è MATRICE numpy con derivate parziali come ogni riga x0 non è solo un punto iniziale come gli altri metodi per equazioni non lineari, ma è np.array([0,0,0]) con tanti termini quante variabili. DATO CHE X0 E' ASCISSE DI UN PUNTO IPOTIZZATO NEL GRAFICO, OVVIAMENTE è UN ARRAY DI PUNTI ESSENDOCI PIU' VARIABILI ASCISSE IN UN SISTEMA SYS

Question 55

ARRAY E MATRICE CREARLI?

Question 56

PLOTTARE ERRORE LOGARITMICO

Question 57

come usare lstsq e quando

Answer 57

sistemi sovradeterminati : x,residuals,rank,s

Question 58

copiare vet1 in vet2

Answer 58

vet2=vet1.copy()

Question 59

errore relativo di valori matematici

Answer 59

err_rel_x = np.abs(x - xreal)/np.abs(xreal)

Question 60

dove e come sostituire valori fissi in equazione simbolica

Answer 60

f.subs(var,num) UNO PER VOLTA

Question 61

valore input m a metodo corde?

Answer 61

df(x0)

Question 62

valore input xm1 in metodo secanti?

Answer 62

valore precedente a x0

Question 63

come introdurre stabilità in soluzione di equazione non lineare?

Answer 63

se funzione quadratica standard usare: x1new= c/a*x2_stabile altrimenti: cnew= 2*c / (-b+radice(delta))

Question 64

forma di fun,jacobiano e di gradiente,hessiana?

Answer 64

fun array monodimensionale jacobiano matrice gradiente array monodimensionale hessiana matrice

Question 64

come creare gradiente e hessiana

Answer 64

gradiente è ARRAY MONODIMENSIONALE. **funz_obb** è somma dei quadrati di tutte le funzioni F numeriche funz_obb= f1(x,y)^2 + f2(x,y)^2 gradiente è funzione(x) array monodimensionale delle derivate parziali della FUNZIONE OBBIETTIVO dObj_dx = 2 * f1(x, y) * df1_dx + 2 * f2(x, y) * df2_dx dObj_dy = 2 * f1(x, y) * df1_dy + 2 * f2(x, y) * df2_dy return np.array([dObj_dx, dObj_dy]) hessiana è MATRICE delle **derivate seconde e miste** della FUNZIONE OBBIETTIVO se è difficile si può usare: ( hess_f = sympy.hessian(f_obbiettivo_simbolica, [x1, x2]) # Calcola la matrice Hessiana Hess = sympy.lambdify((x1,x2), hess_f, np) )