Misura e integrazione

Question 1

Definisci un intervallo (pluri intervallo) e fai esempi e controesempi

Answer 1

pg 37 quaderno

Question 2

Definizione di volume e proposizione dell’additività del volume

Answer 2

pg 37 quaderno

Question 3

Definizione di ricoprimento di un insieme e del suo volume

Answer 3

pg 38

Question 4

Definizione di misura esterna di un insieme

Answer 4

pg 38

Question 5

Esempi e dimostrazioni di insiemi a misura nulla

Answer 5

pg 38

Question 6

Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante l’estensione del volume

Answer 6

pg 38-39

Question 7

Enuncia la proprietà della misura esterna riguardante la monotonia della misura esterna

Answer 7

pg 40

Question 8

Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante la misura di intervalli aperti e chiusi

Answer 8

pg 40

Question 9

Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante la sub-additività di m*

Answer 9

pg 40

Question 10

Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante l’approssimazioni con insiemi aperti

Answer 10

pg 41

Question 11

Enuncia e dimostra la proprietà della misura esterna riguardante l’additività finita sui separati

Answer 11

pg 41

Question 12

Definisci un insieme misurabile secondo Lebesgue.
Gli aperti lo sono? I chiusi?

Answer 12

pg 42-43

Question 13

Quando la misura di Lebesgue è uguale a quella esterna?
Perché un insieme di misura nulla è misurabile secondo Lebesgue?

Answer 13

pg 43

Question 14

Teorema sull’unione di un numero al più numerabile di insiemi misurabili e misurabilità secondo Lebesgue. Con dimostrazione

Answer 14

pg 43

Question 15

Teorema sulla misurabilità degli insiemi complementari. Intersezioni di misurabili NO DIM

Answer 15

pg 44

Question 16

Definizione alternativa di insiemi misurabili con i chiusi, con dim

Answer 16

pg 44

Question 17

Definizione ed esempi di sigma-algebra

Answer 17

pg 44-45

Question 18

Definizione di misura di Lebesgue

Answer 18

pg 45

Question 19

Teorema di additività delle misure di Lebesgue (CON DIM), con relativo corollario sulla sottrazione delle misure di Lebesgue

Answer 19

pg 45-46

Question 20

Definizioni di funzioni misurabili (con dominio in R e in R esteso)

Answer 20

Slide 1,2 lezione 10

Question 21

Misurabilità di funzioni con dominio ad infinito (incluso ed escluso)

Answer 21

Slide 1 Lezione 10

Question 22

Funzioni misurabili sono chiuse rispetto a somma e prodotto per scalare?

Answer 22

Slide 2 lezione 10

Question 23

Composizioni di funzioni continue e misurabili sono ancora misurabili? Se si in che ordine?

Answer 23

Slide 3 lezione 10

Question 24

Date f e g misurabili, fg, |f|, f^2, f^+, f^-, f/g e quindi (1/f)?
Se |f| è misurabile, lo sarà anche f?

Answer 24

Slide 4 lezione 10

Question 25

Data una successione di funzioni misurabili, il loro sup (inf) è misurabile? Il loro limsup (liminf) per n che va ad infinito? E il loro lim (se esiste) per n che va ad infinito? Dove?

Answer 25

inf e sup, liminf e limsup in R esteso, se la successione è definita in R comunque slide 5 lezione 10

Question 26

Cosa si intende per proprietà definite quasi ovunque? Fai esempi

Answer 26

Slide 6 lezione 10 o slide 1 lezione 11

Question 27

Definisci la funzione caratteristica, fai esempi e parla dell sua controimmagine in un intervallo (a,+infinito) al variare del parametro a

Answer 27

slide 2 lezione 11

Question 28

Definizione di funzione semplice e misurabilità di queste

Answer 28

slide 3 lezione 11

Question 29

Le funzioni semplici hanno un'unica rappresentazione? In che condizioni?

Answer 29

slide 3 lezione 11 o quaderno pg 47

Question 30

Definizione di integrale di Lebesgue di funzione semplice non negativa

Answer 30

slide 4 lezione 11 o pagina47 quaderno

Question 31

Approssimazione di una funzione misurabile ad una funzione semplice (con dim)

Answer 31

pg 48-49 o slide 5 lezione 11

Question 32

Definizione di integrale di Lebesgue di una funzione misurabile non negativa, tale definizione è compatibile con quella di integrale di Lebesgue di funzione semplice?

Answer 32

pg 49 o slide 7 lezione 11

Question 33

Enuncia e dimostra le proprietà dell'integrale secondo Lebesgue

Answer 33

pg 50 per gli enunciati, per enunciati con dimostrazioni si veda lezione 11 slide 8-9

Question 34

Definizione di grafico e sottografico di una funzione misurabile, dimostrazione che il sottografico di f sia misurabile

Answer 34

pg 50-51 (ma meglio sulle slide)

Question 35

Dimostra la relazione tra integrale di una funzione e la misura del suo sottografico

Answer 35

pagina 52-53 (ma meglio sulle slide)

Question 36

Additività dell'integrale

Answer 36

pg 53 ma meglio sulle slide

Question 37

Dimostra la disuguaglianza di Tchebychev

Answer 37

pg 53

Question 38

Proprietà dell'integrale di Lebesgue

Answer 38

pg 54-55 o slide 12-13 lezione 12

Question 39

Definizioni di integrabilità secondo Lebesgue e di funzione che ha integrale, dimostra che la definizione alternativa implica la definizione che abbiamo dato

Answer 39

pg 54

Question 40

Come faccio a definire l'integrale di lebesgue di una funzione negativa o non strettamente positiva?

Answer 40

pg 56 o slide 10 lezione 12

Question 41

Esempio che mostri la maggior inclusività della teoria di Lebesgue rispetto a quella di Riemann

Answer 41

La funzione di Dirichlet è integrabile secondo Lebesgue e fa 0 pg 56 o lezione 13 slide 3

Question 42

Metti a confronto la teoria di integrabilità di Lebesgue con quella di Riemann

Answer 42

lezione 13 slide 4 o pg 56

Question 43

Teorema di convergenza uniforme (con dim?), non è segnato CON CONTROESEMPI!!! QUELLI LI CHIEDE

Answer 43

pg 57 o lezione 13 slide 6

Question 44

Teoreme di convergenza monotona o di Beppo Levi con dim

Answer 44

pg 58-59 o lezione 13 slide 6

Question 45

Teorema di integrazione di serie a termini non negativi? con dim

Answer 45

slide 8 lezione13 o pg 59

Question 46

Lemma di Fatou, con esempi con dim

Answer 46

pg 60 o slide 10 lezione 13

Question 47

Teorema di convergenza dominata con dim

Answer 47

pg 61 o slide 12 lezione 13

Question 48

Teorema che mette in relazione l'integrale di Lebesgue con quello di Riemann

Answer 48

pg 62-63 o lezione 13 slide 14

Question 49

Teorema riguardante la continuità e la derivabilità di una funzione integrale (di lebesgue)

Answer 49

pg 64 o lezione 13 slide 16

Question 50

Che problemi si sollevano per integrare secondo lebesgue in due dimensioni o più? Che cosa posso fare in una dimensione? Come si pensa di risolvere tale problema?

Answer 50

slide 1-2 lezione 14

Question 51

Definizione di sezione e di proiezione di x? esempi

Answer 51

slide 2-3 lezione 14

Question 52

Teorema di fubini

Answer 52

slide 4 lezione 14

Question 53

Teorema di Tonelli

Answer 53

slide8 lezione 15

Question 54

Gli integrali iterati possono essere diversi? esempio

Answer 54

slide 9 lezione 15

Question 55

Definizione di cambiamento di variabili

Answer 55

slide 10 lezione 15

Question 56

Teorema di cambiamento delle variabili

Answer 56

slide 12 lezione 15

Question 57

Come si integra la gaussiana?

Answer 57

pg 65

Question 58

Definizione di insieme normali e dominio regolare su un piano

Answer 58

pg 66-67 o slide 1 lezione 16

Question 59

Vettore normale e tangente e orientazione del bordo

Answer 59

slide 2-3 lezione 16

Question 60

Formule di Gauss Green (senza dim?)

Answer 60

slide 4 lezione 16