Musteraufgsben 0 Flashcards
(28 cards)
Eine Serienproduktion von Glühbirnen hat einen Ausschussanteil von 13%.
#Aus der laufenden Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang 27
#entnommen.Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält diese Stichprobe 2
#oder mehr defekte Glühbirnen? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)
binom.test(2,27, p=0.13, alternative= “greater”)
#Antwort: P-value=0.8828 =88.28
Die Wahrscheinlichkeit eines schweren Unfalls betrage bei einem technischen Verfahren 1:5000
#im Laufe eines Jahres. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Betrieb von 28
#Anlagen im Laufe von 12 Jahren der Unfall mindestens einmal auftritt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)
2.1. Maximal einen Auftritt:
p1 <- 1/5000
n <- 28*12
binom.test(1, n, p1, alternative = “greater”)
#Antwort: p=value = 0.065 = 6.5%
binom.test(1,n, p1, alternative = “less”)
#Antwort: p=value = 0.9978 = 99.78%
Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit Mittelwert μ= −8.11 und Standardabweichung σ= 28.54.
#Berechnen Sie das 0.37-Quantil von X. (Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.)
Antwort: x1 = -17.581
mw <- -8.11
sa <- 28.54
z0.37 <- qnorm(0.37)
x1 <- mw + z0.37 * sa
x1
vDie Zufallsgröße Z ist standardnormalverteilt. Wie lautet c, wenn Z mit einer Wahrscheinlichkeit von
# 0.78c nicht unterschreitet. (Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.)
Antwort: -0.772
1 - 0.78 = 0.22
qnorm(0.22)
Der Intelligenzquotient sei normalverteilt mit μ= 100 und σ= 15.
#Ein Kind gilt als überdurchschnittlich intelligent, wenn es bei einem Test einen IQ von über 120 erzielt.
#Eine Schulklasse mit 10 Kindern wird getestet.
#Wie wahrscheinlich ist es, dass in dieser Klasse mehr als ein überdurchschnittlich intelligentes Kind zu finden ist?
Antwort: 1.333
soll <- 100
sd <- 15
n1 <- 10
IQ <- 120
((IQ - soll) / sd)
1 - pnorm(1.333)
# 0.0912
binom.test(1, 10, p= 0.0912, alternative = “less”)
# p-value = 0.77
1-0.77
Ein bestimmtes Merkmal wurde 19 Mal beobachtet. Dabei ergab sich ein arithmetisches Mittel von 9.11. Nun kommt eine neue Beobachtung mit dem Wert 22 hinzu.
#Bestimmen Sie das neue arithmetische Mittel.
Antwort: 9.75
n <- 19
x <- 9.11
n * x
# = 173.09
(173.09 + 22)/20
Wir betrachten einen kleinen Kiosk, der im Jahr 2010 vier Produktgruppen angeboten hat (Preise in Euro in Klammern):
#Zigaretten (3.40), Getränke (2.10), Rubbellose (0.90) und Süßigkeiten (1.10). Jeden Tag werden 180 Einheiten Zigaretten, 165 Einheiten Getränke,
#175 Einheiten Rubbellose und 70 Einheiten Süßigkeiten verkauft. Im Jahr 2011 ergaben sich folgende Preissteigerungen: Zigaretten wurden um 35% teurer,
#Getränke um 30%, Rubbellose um 5% und Süßigkeiten um 20%. Um wie viel Prozent stiegen die Preise 2011 im Vergleich zu 2010 im Durchschnitt?
Antwort: 1.28619 = 28.62%
(3.40 * 180 * 1.35 + 2.10 * 165 * 1.30 + 0.90 * 175 * 1.05 + 1.10 * 70 * 1.20) / (3.40 * 180 + 2.10 * 165 + 0.90 * 175 + 1.10 * 70)
22, 42, 23, 20, 6, 12, 15, 30, 23
Ein Einzelhändler verkauft an 9 aufeinanderfolgenden Tagen nachstehende Stückzahlen eines bestimmten Produktes:
#(Für den Fall, dass das gesuchte Quantil nicht eindeutig ist, d.h. dass das Quantil innerhalb eines Intervalles liegt, verwenden Sie bitte die Intervallmitte.)
6, 12, 15, 20, 22, 23, 23, 30, 42
0.49 * 9
# =4.41 d.h. -> 5 Zahl!!!
wenn ungerade % dann wir berechnen 2 Zahlen und dann addieren/2
22, 42, 23, 20, 6, 12, 15, 30, 23
Ein Einzelhändler verkauft an 9 aufeinanderfolgenden Tagen nachstehende Stückzahlen eines bestimmten Produktes:
#(Für den Fall, dass das gesuchte Quantil nicht eindeutig ist, d.h. dass das Quantil innerhalb eines Intervalles liegt, verwenden Sie bitte die Intervallmitte.)
6, 12, 15, 20, 22, 23, 23, 30, 42
0.49 * 9
# =4.41 d.h. -> 5 Zahl!!!
wenn ungerade % dann wir berechnen 2 Zahlen und dann addieren/2
An einem Pfadfinderlager nehmen 45 Jugendliche im Alter von 9 bis 15 Jahren teil. Das Alter der einzelnen Teilnehmer/innen beträgt:
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15.
#Geben Sie die absolute Häufigkeit der 11-Jährigen in diesem Pfadfinderlager an.
An einem Pfadfinderlager nehmen 45 Jugendliche im Alter von 9 bis 15 Jahren teil. Das Alter der einzelnen Teilnehmer/innen beträgt:
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15.
#Geben Sie die absolute Häufigkeit der 11-Jährigen in diesem Pfadfinderlager an.
Im Rahmen einer Klausur erreichten 5 Studierende folgende Punktezahl von 100 zu erreichenden Punkten:
96, 82, 89, 84, 90
#Wie groß ist die Stichprobenvarianz?
An einem Pfadfinderlager nehmen 45 Jugendliche im Alter von 9 bis 15 Jahren teil. Das Alter der einzelnen Teilnehmer/innen beträgt:
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15.
#Geben Sie die absolute Häufigkeit der 11-Jährigen in diesem Pfadfinderlager an.
11 jährigen =6
Im Rahmen einer Klausur erreichten 5 Studierende folgende Punktezahl von 100 zu erreichenden Punkten:
96, 82, 89, 84, 90
#Wie groß ist die Stichprobenvarianz?
var(c(82,84,89,90,96))
Geben Sie die Untergrenze des 95%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.
Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven. Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt
#1000g Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist mit einer Varianz von
#9604g2
#Eine Stichprobe der Größe 14 ergibt ein durchschnittliches Abfüllgewicht von 986 g.
s2 <- 9604 #varianz
n <-14 #stichprobe
x <- 986 #gewicht.
95% Konfidenyintervall
100 - 95 = 5% = 0.05
1 - 0.05/2 # koeffizient in tabelle
qnorm(0.975) # p suchen
p=1.96
x + p * sqrt((s2/n)) #obergrenze
x - p * sqrt((s2/n)) #untergrenze
986-1.95996*sqrt((9604/14))
Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven.
#Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt 1000g. Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist.
#Eine Stichprobe der Größe 22 ergibt ein durchschnittliches Gewicht der Konserven von 1010g und eine empirische Varianz von 8033g2
#Geben Sie die Untergrenze des 90%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.
n <- 20
x <- 1010
s2 <- 8033
#90%
100-90= 10 =0.1
1-0.10/2 = 0.95
qt(0.95,21) #22-1
p<- 1.7207
1010-1.7207 *sqrt ((8033/22))
# Antwort 977.12
Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven.
#Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt 1000g. Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist.
#Eine Stichprobe der Größe 162 ergibt ein durchschnittliches Gewicht der Konserven von 989g und eine empirische Varianz von
#14702g2. Geben Sie die Obergrenze des 90%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.
90% Konfidenzinterval
n <- 162
x<- 989
s2<- 14702
100-90 =10 = 0.10
1-0.10/2 =0.95
qt(0.95,161) #qt weil stichprobe n > 30 #161 weil n-1 in formel
p<-1.6544
x + p * sqrt((s2/n)) #Untergrenze
Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven.
#Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt 1000g. Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist.
#Eine Stichprobe der Größe 162 ergibt ein durchschnittliches Gewicht der Konserven von 989g und eine empirische Varianz von
#14702g2. Geben Sie die Obergrenze des 90%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.
90% Konfidenzinterval
n <- 162
x<- 989
s2<- 14702
100-90 =10 = 0.10
1-0.10/2 =0.95
qt(0.95,161) #qt weil stichprobe n > 30 #161 weil n-1 in formel
p<-1.6544
x + p * sqrt((s2/n)) #Untergrenze
Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven.
#Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt 1000g. Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist.
#Eine Stichprobe der Größe 162 ergibt ein durchschnittliches Gewicht der Konserven von 989g und eine empirische Varianz von
#14702g2. Geben Sie die Obergrenze des 90%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.
90% Konfidenzinterval
n <- 162
x<- 989
s2<- 14702
100-90 =10 = 0.10
1-0.10/2 =0.95
qt(0.95,161) #qt weil stichprobe n > 30 #161 weil n-1 in formel
p<-1.6544
x + p * sqrt((s2/n)) #Untergrenze
Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven.
#Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt 1000g. Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist.
#Eine Stichprobe der Größe 162 ergibt ein durchschnittliches Gewicht der Konserven von 989g und eine empirische Varianz von
#14702g2. Geben Sie die Obergrenze des 90%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.
90% Konfidenzinterval
n <- 162
x<- 989
s2<- 14702
100-90 =10 = 0.10
1-0.10/2 =0.95
qt(0.95,161) #qt weil stichprobe n > 30 #161 weil n-1 in formel
p<-1.6544
x + p * sqrt((s2/n)) #Untergrenze
Ein Getränkefabrikant besitzt mehrere Produktionslinien.
#Laut Hersteller der Getränke ist die Abfüllmenge normalverteilt und schwankt nur mit einer Standardabweichung von
# σ= 33.16ml. Der Getränkefabrikant beauftragt nun einen Werkstudenten, ein 96%-Konfidenzintervall für die erwartete Abfüllmenge zu berechnen.
#Allerdings soll das Konfidenzintervall nur maximal 15ml breit sein.
#Wie viele Getränkeflaschen muss der Werkstudent für seine Stichprobe mindestens verwenden? (Geben Sie Ihre Antwort ganzzahlig ein.)
Alternativhypothese:
Die Genauigkeit von Wettervorhersagen, ob es am nächsten Tag regnet, liegt derzeit bei
95%
#. Ein Team von Meteorologen hat ein neues Prognoseverfahren entwickelt und möchte nun testen,
#ob dieses Verfahren von den bisherigen Methoden abweicht. Dazu prüfen sie an
200
#Tagen unabhängig voneinander, ob ihre jeweilige Prognose eingetreten ist oder nicht. Die Prognosen der neuen Methode traten an
195
#Tagen ein. Die Meteorologen sind der Meinung, dass die neue Methode von den bisherigen abweicht.
#Versuchen Sie mithilfe eines approximativen Binomialtests nachzuweisen, dass die neue Methode signifikant von den bisherigen abweicht. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von
10%
#Wie lautet der Absolutbetrag der Teststatistik?
Po= 95%
n = 200
195 Tagen
Ho: p< 0.95 gegen H1: p > 0.95 (besser als bisher)
195/200 = 0.975
((0.975-0.95)/sqrt((0.950.05)) sqrt(200))
Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven.
#Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt 1000g. Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist.
#Eine Stichprobe der Größe 162 ergibt ein durchschnittliches Gewicht der Konserven von 989g und eine empirische Varianz von
#14702g2. Geben Sie die Obergrenze des 90%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.
90% Konfidenzinterval
n <- 162
x<- 989
s2<- 14702
100-90 =10 = 0.10
1-0.10/2 =0.95
qt(0.95,161) #qt weil stichprobe n > 30 #161 weil n-1 in formel
p<-1.6544
x + p * sqrt((s2/n)) #Untergrenze
Ein Getränkefabrikant besitzt mehrere Produktionslinien.
#Laut Hersteller der Getränke ist die Abfüllmenge normalverteilt und schwankt nur mit einer Standardabweichung von
# σ= 33.16ml. Der Getränkefabrikant beauftragt nun einen Werkstudenten, ein 96%-Konfidenzintervall für die erwartete Abfüllmenge zu berechnen.
#Allerdings soll das Konfidenzintervall nur maximal 15ml breit sein.
#Wie viele Getränkeflaschen muss der Werkstudent für seine Stichprobe mindestens verwenden? (Geben Sie Ihre Antwort ganzzahlig ein.)
Alternativhypothese:
Die Genauigkeit von Wettervorhersagen, ob es am nächsten Tag regnet, liegt derzeit bei
95%
#. Ein Team von Meteorologen hat ein neues Prognoseverfahren entwickelt und möchte nun testen,
#ob dieses Verfahren von den bisherigen Methoden abweicht. Dazu prüfen sie an
200
#Tagen unabhängig voneinander, ob ihre jeweilige Prognose eingetreten ist oder nicht. Die Prognosen der neuen Methode traten an
195
#Tagen ein. Die Meteorologen sind der Meinung, dass die neue Methode von den bisherigen abweicht.
#Versuchen Sie mithilfe eines approximativen Binomialtests nachzuweisen, dass die neue Methode signifikant von den bisherigen abweicht. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von
10%
#Wie lautet der Absolutbetrag der Teststatistik?
Po= 95%
n = 200
195 Tagen
Ho: p< 0.95 gegen H1: p > 0.95 (besser als bisher)
195/200 = 0.975
((0.975-0.95)/sqrt((0.950.05)) sqrt(200))
Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven.
#Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt 1000g. Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist.
#Eine Stichprobe der Größe 162 ergibt ein durchschnittliches Gewicht der Konserven von 989g und eine empirische Varianz von
#14702g2. Geben Sie die Obergrenze des 90%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.
90% Konfidenzinterval
n <- 162
x<- 989
s2<- 14702
100-90 =10 = 0.10
1-0.10/2 =0.95
qt(0.95,161) #qt weil stichprobe n > 30 #161 weil n-1 in formel
p<-1.6544
x + p * sqrt((s2/n)) #Untergrenze
