Operationer på komplexa tal med geometriska insikter Flashcards
(8 cards)
Vad är den geometriska tolkningen av multiplikation av komplexa tal?
Multiplikation av komplexa tal innebär en kombination av rotation och skalning i det komplexa planet. Magnituderna multipliceras och argumenten adderas, vilket innebär att vektorn roteras och skalan ändras.
Hur beräknas produkten av två komplexa tal i polär form?
Produkten av två komplexa tal z₁ = r₁(cos(θ₁) + i sin(θ₁)) och z₂ = r₂(cos(θ₂) + i sin(θ₂)) ges av:
z₁ ⋅ z₂ = r₁r₂(cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)).
Ge ett exempel på multiplikation av två komplexa tal och dess geometriska betydelse.
Om z₁ = 2(cos 30° + i sin 30°) och z₂ = 3(cos 45° + i sin 45°), så är:
z₁ ⋅ z₂ = 6(cos 75° + i sin 75°).
Geometriskt innebär detta att produkten resulterar i en vektor med en magnitud på 6 och en rotation på 75°.
Vad är den geometriska tolkningen av division av komplexa tal?
Division av komplexa tal innebär en invers rotation och en skalning i motsatt riktning. Magnituderna divideras och argumenten subtraheras.
Hur beräknas kvoten av två komplexa tal i polär form?
Kvoten av två komplexa tal z₁ = r₁(cos(θ₁) + i sin(θ₁)) och z₂ = r₂(cos(θ₂) + i sin(θ₂)) ges av:
z₁ / z₂ = (r₁ / r₂)(cos(θ₁ - θ₂) + i sin(θ₁ - θ₂)).
Ge ett exempel på division av komplexa tal och dess geometriska tolkning.
Om z₁ = 4(cos 120° + i sin 120°) och z₂ = 2(cos 60° + i sin 60°), så är:
z₁ / z₂ = 2(cos 60° + i sin 60°).
Geometriskt innebär detta att divisionen halverar både vinkeln och magnituden.
Vad sker när ett komplext tal multipliceras med i?
Multiplikation med i innebär en rotation på 90° moturs. Om ett komplext tal z = x + yi multipliceras med i, blir resultatet z ⋅ i = -y + xi, vilket roterar vektorn 90° runt origo.
Vad är en rotation med ett komplext tal av formen e^{iϕ}?
Multiplikation med e^{iϕ} resulterar i en rotation med vinkeln ϕ i det komplexa planet. Till exempel, multiplikation med e^{iπ} = -1 innebär en rotation med 180° och spegling över origo.
