Optimierung von Stromerzeugung und -hande Flashcards
Klassifizierung von Optimierungsaufgaben erfolgt nach…
- Wertebereich der Variablen
- Eigenschaften der ZF
- Eigenschaften der NB
Die Variablen einer Optimierungsaufgabe hat bentweder einen …. oder …. Charackter
kontunierlichen
diskreten
Hat eine Optimierungsaufgabe nur kontunierliche Variablen, liegt ein … Problem vor
Hat eine Optimierungsaufgabe nur diskrete Variablen, liegt ein …. Problem vor
Hat eine Optimierungsaufgabe sowohl ganzzahlige Variablen als auch kontunierliche Varibalen, liegt ein …. Problem vor
kontunierliches
diskretes
gemischt ganzzahliges
Kriterien zur Beschreibung einer Zielfunktion
- konvexität
- linearität nicht-linear (zB quadratisch)
- differenzierbarkeit
- separabelität
Wann ist ein
Zielfunktion konvex?
Funktionswerte zwischen zwei Werten x1 und x3 liegen unterhalb oder auf der Verbindungsgeraden der beiden Funktionswerte F(x1) und F(x3). Also F(x2) ist immer zw. Fx1 und Fx3. ein U ist Konvex
Minimum einer ….. Funktion ist immer das globale Minimum
konvexen
…. Funktionen sind auch unimodal
konvexe
Was ist eine unimodale funktion
Zielfunktion vom einzigen Minimum aus nur monoton steigend
sind unimodal.
unimodal= nur ein maximum oder minimum aber nicht zwingend konvex-konkav
Linerität Kriterium
F(x) = c_0 + SUMME(c_j * x_j) -> min
Optimierungsaufgabe lässt sich dann immer eindeutig und in akzeptabler Rechenzeit lösen
nichtlineare Funktionen oft stückweise linearisierbar, dann iterative Lösung
immer additiv separabel
Summe der Variablen=eindeutig lösbar, nicht-linear zb quadratisch
Ein Zielfunktion ist …. bzw. …. seperabel, wenn sie sich aus voneinander unabhängigen Beiträgen der Optimierungsvariablen zusammensetzen
additiv
multiplikativ
Immer dann wenn bei der Lösung einer Aufgabe keine NB eingehalten werden müssen, entspricht die zulässige Lösungsraum dem gesamten Lösungsraum. Man spricht von einem …. Opt.Problem
unbeschränktem
konvexer Lösungsraum
jeder Punkt auf der Verbindungslinie zwischen zwei beliebigen Punkten im Lösungsraum ist Teil des Lösungsraumes
2 beliebige Punkte werden verbunden, Verbindungsstrecke stets in der Menge
Ein Opt.Problem wird als konvex bezeichnet wenn sowohl die ….. als auch der …. konvex sind.
Zielfunktion
Lösungsraum
wann haben wir stets eine konvexe Lösungsraum?
wenn nur lineare Ungleichungsbedingungen geben,
dann immer konvexer Lösungsraum
g(x) = a_i0 + SUMME(a_ij * x_j) = 0
h(x) = b_i0 + SUMME(b_ij * x_j) <= 0
Da von vielen Lösunghsverfahren ein konvexer Lösungsraum vorausgesetzt ist es häufig zwingend, die …….. zu linearisieren.
nicht lineare NB
wie erfolgt die Änderung einer Ungleichheitsbedingung bei konvexer Lsgräume in die Gleichheitsbedingungen
h(x) <= 0 —-> h(x) + y = 0
y ist Schlupfvariable
Konvexe Optimierungsprobeleme mit Gleichheitsnebenbedingungen besitzen stets eine ….. Problem
duales Problem zu konvexem Optimierungsproblem mit Gleichheitsnebenbedingungen (Primales Problem)
max(min L(x, l)) mit L(x, l) = F(x) + l * g(x)
l = Lagrange Multiplikatoren
L(x, l) = Lagrange Funktion
Optimale ZFwert beim Primalen und Dualen Problem gleich
Welche Arten der Arten von Lösungsverfahren gibt es denn?
vollständige Enumeration
analytische Verfahren
numerisch-iterative Lösungsalgorithmen
heuristische Verfahren
vollständige Enumeration
Lösungsverfahren für Optimierungsaufgaben
- für sehr kleine diskrete Optimierungsprobleme
- aus allen möglichen Lösungen die beste Lösung ermitteln
analytische Lösung ist geeignet für …..
Lösungsverfahren für Optimierungsaufgaben
für differenzierbare Optimierungsaufgaben
meist keine geeignete Wahl
Numerisch-iterative Optimierungsverfahren (!)
Lösungsverfahren für Optimierungsaufgaben
Zahlreich einzusetzen in der Optimierung der Erzeugungsanlagen,
lineare Optimierungsverfahren
Gradientenverfahren
Simplex Verfahren
Network Flow Verfahren
Nichtlinearitäten
Sukzessiv Lineare Programmierung
Ganzzahligkeit
Branch & Bound Verfahren
Dynamische Programmierung
Umgang mit Nebenbedingugen
Lagrange Relaxation
heuristische Verfahren
Lösungsverfahren für Optimierungsaufgaben
mit Erfahrungswissen, Analogien und logischen Schlussfolgerungen den Suchprozess zum Optimum steuern
keine Optimalitätsgarantie
Vorteile bei der Rechenzeit
Gradientenverfahren
für konvexes Optimierungsproblem
von Startlösung ausgehend die Richtung des stärksten Abstiegs (minimalen Gradienten) der ZF bestimmen
iteratives Vorgehen
sukzessive Verkleinerung der Schrittweite
der Gradientenverfahren setzt ein … Optimierungsproblem voraus
konvexes
Simplex-Verfahren ist Grundlage für …
Network Flow Verfahren
Branch and Bound Verfahren
gradienten Verfahren
INFO
Simplex Verfahren eignet sich für die Lösung von … Aufgaben mit …. Variablen, bei denen Zielfunktion und Nebenbedingungen ….Funkt. der … Variablen** sind
konvexen
kontunierliehcen
lineare
unabhängigen
Simplex-Verfahren
…. Optimierungsproblem mit Ungleichheitsnebenbedingungen
Optimierungsvariablen nehmen nur …. Werte an
** Verfahren zur Lösung von ** Optimierungsproblemen mit ** Variablen
Ermittelt in endlich vielen Iterationen eine exakte Lösung des Optimierungsproblems oder stellt dessen Unlösbarkeit oder
Unbeschränktheit fest
Simplex verlangt, dass man nur eine Untergrenze hat
lineares Optimierungsproblem mit Ungleichheitsnebenbedingungen
Optimierungsvariablen nehmen nur positive Werte an
Numerisch iteratives Verfahren zur Lösung von linearen Optimierungsproblemen mit kontinuierlichen Variablen
Ermittelt in endlich vielen Iterationen eine exakte Lösung des Optimierungsproblems oder stellt dessen Unlösbarkeit oder
Unbeschränktheit fest
Simplex verlangt, dass man nur eine Untergrenze hat
Vorgehen von Simplex
Algorithmus um optimale Ecke zu finden
Beginn bei beliebiger Ecke
Nachbarecke mit geringstem Zielfunktionswert bestimmen
zu dieser Ecke gehen
Ecke ohne Nachbarecken mit geringerem Zielfunktionswert ist die optimale Lösung
Prinzip des Simplex Verfahrens
Wahl einer beliebigen Ecke des konvexen Polyeders als Startlösung
Bestimmung derjenigen Nachbarecke mit der größtmöglichen Verbesserung des Zielfunktionswertes und Wechsel zu dieser Ecke
- Diejenige Ecke, die keine weiteren Nachbarecken mit besseren Zielfunktionswerten hat, entspricht optimaler Lösung
Simplex Graphische Lsg.
Ein eindeutiges Optimum liegt vor, wenn die Isolinie im Optimum durch … des Lösungsbereiches läuft. Falls diese isolonie mit einer zusammenfällt, ist die optimale Lösung ….
Wenn eine NB Gerade keine neue Grenze miteinbringt und somit keine neue Information, bezeichnet man dies eine …. Lösung
genau eine Ecke
Kante
mehrdeutig
degenierte
Was gibt uns der Wert einer Schlupvariable an optimalen Lösung an ?
y = 0
y > 0
In Simplex Verfahren
Der Wert einer Schlupfvariable in der optimalen Lösung gibt an, ob eine Nebenbedingung voll ausgeschöpft ist oder wird (y = 0) oder noch Kapasitäten frei sind (y > 0).
Die koeffizienten der NBV im der Zielfunktion in der Endlösung können ökonomisch als …. der jeweiligen NB interpretiert werden.
Schattenpreise
Zulässige Lösungen des dualen Problems bilden eine obere
Schranke für zulässige Lösungen des primalen Problems
Satz der …. Dualitäts
schwachen
Besitzt das
primale /duale Problem eine eindeutige optimale Lösung, so
besitzt auch das duale/ primale Problem eine eindeutige optimale Lösung.
Dabei sind die optimalen Zielfunktionswerte gleich
Satz der …. Dualität
starken
Network Flow Verfahren
Optimierung der ….
Optimierung von Transportproblemen
nutzt **vereinfachtes …. **-Verfahren
einfacher Basistausch sowie Identifikation von BV und NBV
Network verlangt nicht nur eine Untergrenze, es gibt Unter und Obergrenze
Optimierung der linearen Programminerung
Optimierung von Transportproblemen
nutzt vereinfachtes Simplex-Verfahren
einfacher Basistausch sowie Identifikation von BV und NBV
Network verlangt nicht nur eine Untergrenze, es gibt Unter und Obergrenze
Bedingungen des Network Flows
Angebot muss der Nachfrage entsprechen:
SUMME (a_i) = 0
bei Angebotsknoten mit a_i > 0 und bei Bedarfsknoten mit a_i < 0
zusammenhängendes Netzwerk
keine parallelen Transportwege
untere Kapazitätsgrenze ist Null
unidirektionale Transportwege 𝑖𝑗 vom Knoten 𝑖 zum Knoten 𝑗 mit Kapazitätsschranken und Transportkosten pro Mengeneinheit 𝑐_𝑖𝑗
INFO Sukzessiv Lineare Programmierung
Optimierung …. mit Methoden der Linearen Programmierung
Zielfunktion und Gradient müssen nicht …. beschreibbar sein
aber Werte für gesamten Lösungsraum müssen berechenbar sein
Voraussetzung: …. Zielfunktion und …. Lösungsraum
Optimierung nicht-linearer Probleme mit Methoden der Linearen Programmierung
Zielfunktion und Gradient müssen nicht analytischbeschreibbar sein
aber Werte für gesamten Lösungsraum müssen berechenbar sein
Voraussetzung: **unimodale **Zielfunktion und **konvexer **Lösungsraum
Grundidee der Sukzessiven Linearen Programmierung
nicht-lineare Zielfunktion um Startlösung linearisieren
Optimum für dieses genäherte Optimierungsproblem bestimmen
iteratives Verfahren
für Konvergenz: in jedem Schritt Linearisierungsbereich verkleinern
Wann wird die dynamische Programmierung angewendet?
bei … mit …. Variablen deren ZF entweder … oder ….. …. ist
ZF ist nicht zwingend ….
vorteilhaft für Lösung
-abzählbar beschränkte diskrete Variablen vorteilhaft
-eine oder wenige integrale lineare Nebenbedingungen
zB Optimierung der Einschaltung eines KW über eine bestimmte Zeit
bei mehrstufigen Entscheidungsprozesse mit diskreten bzw. diskretisierbaren Variablen deren ZF entweder additiv oder multiplikativ seperabel ist
ZF ist nicht zwingend konvex
vorteilhaft für Lösung
-abzählbar beschränkte diskrete Variablen vorteilhaft
-eine oder wenige integrale lineare Nebenbedingungen
zB Optimierung der Einschaltung eines KW über eine bestimmte Zeit
Was besagt der Markov Bedingung
Dynamische Programmierung
Dass der Zielfunktionbeitrag Fj einer Entscheidungsstufe muss allein eine Funktion der diskreten xj sein und unabhängig von vorherigen Teilentscheiduungen sein soll.
