Optimisation non linéaire Flashcards
(28 cards)
Quel est le problème à résoudre pour optimiser une fonction à une variable ?
min f(x), x dans R
Que vérifie x^*, solution du problème d’optimisation à une variable ?
f(x^*) <= f(x)
Comment s’appelle x^*, solution du problème d’optimisation à une variable ?
Un optimum global
C’est quoi un voisinage ?
Le voisinage d’un point x^* est un intervalle (Peut importe les bornes) tel que x^* dans [a, b] mais x^* n’est pas une borne
Donner la condition pour que x^* soit un minimum local
x^* est un minimum local de f(x) s’il existe un voisinage V de x^* tel que f(x^*) <= f(x), pour x dans v
Donner le developpement de Tylor d’ordre 1 autour de x^*
f(x) = f(x^*) + f'(x^*)(x-x^*) + o(x - x^*)
Donner la condition nécessaire d’odre 1
f’(x^*) = 0
Si x^* est un minimum local alors …
x^* est un point stationaire
So x^* est un point stationaire alors …
il n’est pas forcément un minimum local
Donner la condition nécessaire du second ordre
f’‘(x^*) >= 0
Si f’(x^) = 0 et f’‘(x^) > 0 alors ..
x^* est un minimum local
Si f’(x^) = 0 et f’‘(x^) < 0 alors ..
x^* est un maximum local
(1er ordre) f est (stric.) convexe ssi …
f est (stric.) croissante
Si x^* est un minimum local …
il existe un voisinage de x^* où f(x) est convexe
(2eme ordre) f est (stric.) convexe ssi …
f’’>= 0
Si f est convexe sur tout R, alors tout point stationaire x^* …
est un minmum global.
Que vérifie un point stationaire x^*
f’(x*) = 0
A est orthogonale ssi :
-A ^T A = I
-A A^T = I
- Ses vecteurs colones / lignes sont orthonormé ( Ci T cj = , cT ci = )
- || Ax || = || x ||
Donner les propriété d’une matrice orthogonale :
A^-1 = A^T
A, B orthogonale => AB orthogonale
det(A) += 1
Les vp sont de module 1
Donner le quotient de Raylegt :
r(x) = (x^T ax) / (x T x)
Donner le lien entre Ax et le quotient de raylegt
Ax = r(x) * x si A est une vp associée à x
Que donne le quotient de Reylegt quand on lui donne un vecteur propre
Il vaut la valeur propre associé à x
Quel problème résout le quotient de Raylegt
r(x) = min || Ax - alpha*x|| (min de alpha)
Donner la suite de la puissance itérée
x_n+1 = A x_n
Plus simplement, en normalisant à chaque étape :
x_k+1 = Ax_k / || Ax_k+1||
