Összesített Flashcards
(27 cards)
Egymintás u próba
Egy ismert D(E) = q szórású, de ismeretlen M(E) = m várható értékű, normális eloszlású E valségi változó
várható értékére vonatkozó m0 hipotézis helyességének ellenőrzése.
A próba statisztika: u = (mn - m0) / ( q / sqrt(n))
u standard normális eloszlású valségi változó.
mn - a mintaátlag vagy empirikus közép
Nagy elemszám esetén, bármilyen eloszlású E valségi változó esetén akkor is alkalmazható, ha q nem is ismert.
Ekkor a szórás mintából történő becslésével helyettesíthető.
A próba statisztika: u = (mn - m0) / ( sn / sqrt(n))
Egymintás t próba
Egymintás t-próba:
Ismeretlen D(E) = q szórású és ismeretlen M(E) = m várható értékű normális eloszlású valségi változó
várható értékére vonatkozó m0 hipotézis helyességének ellenőrzése.
A próba statisztika:
t(n-1) = (mn - m0) / (sn/sqrt(n))
n-1 a minta szabadságfokát jelöli.
Student-eloszlású.e
Csak kis elemszámnál használjuk, mert nagy elemszámnál az u próba megfelelő alakját használjuk.
Kovariancia
Definíció. A ξ és η valószínűségi változókból képzett ξ − M ( ) ξ és
η − M ( ) η valószínűségi változók szorzatának várható értékét a ξ és η
valószínűségi változók kovarianciájának nevezzük és
cov( ξ,η) = M ((ξ − M (ξ))⋅(η − M (η)))
módon jelöljük, ha az itt szereplő várható értékek léteznek.
Eloszlásfüggvény és tulajdonságai
Eloszlásfüggvény:
Egy E valségi változó eloszlásfüggvénye, az a F függvény, mely hozzárendel minden valós x
értékhez annak a valószínűségét, hogy az E valségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel.
Tulajdonságai:
1. Értékkészlete: [0, 1]
2. F(a) < F(b), ha a < b, mivel monoton növekvő
3. lim F(X) = 0, lim F(x) = 1
x->-végtelen x->+végtelen
4. P(x >= a) = 1 - P(x < a) = 1 - F(a)
5. P(a <= x < b) = F(b) - F(a)
6. P(E = a) = lim F(x) - F(a)
x->a+0
Sűrűségfüggvény és tulajdonságai
Sűrűségfüggvény:
Egy E valségi változót folytonos eloszlásúnak mondunk, ha van sűrűségfüggvénye,
olyan függvény f:R->R+, hogy minden I részhalmaza R.
integrál I f(x)dx = P(E eleme I)
Tulajdonságai:
1. F’ = f
2. f(x) >= 0
3. integrál f(x)dx = 1
-végtelen +végtelen
4. P(E < a) = F(a) = integrál f(t)dt
-végtelen a
5. P(E >= a) = 1 - F(a) = 1 - integrál f(t)dt = integrál f(t)dt
-végtelen a a +végtelen
4. P(a <= E < b) = F(b) - F(a) = integrál f(t)dt
a b
Karakterisztikus eloszlás
- Karakterisztikus eloszlás:
Egy kísérlet valamely A eseményének a valsége P(A) = p és az ellentett pedig q.
Legyen E diszkrét valségi változó az A esemény indikátor változója. Ekkor E az xk = k
(k = 0 vagy 1) értékeket veszi fel.
P(E = 1) = p; P(E = 0) = q
Várható értéke p
szórása pedig sqrt(pq)
Binomiális eloszlás
- Binomiális eloszlás:
Egy kísérlet valamely A eseményének a valsége P(A) = p és ellentett pedig q.
A kísérletet egymástól függetlenül nszer megismételve legyen E diszkrét valségi változó
ami az A bekövetkezéseinek számát mutatja meg. Ekkor az E az xk = k (k = 0,1,…,n) értékeket
a következő valséggel veszi fel:
P(E = k) = pk = (n alatt a k) * p^k * q^n-k
A várható értéke: np
szórása: sqrt(npq)
Geometriai eloszlás
- Geometriai eloszlás:
Egy kísérlet valamely A eseményének a valsége P(A) = p és folytassuk addig amíg A be nem következik.
E a kíserletek száma: P(E = k) = p * (1-p)^(k-1)
várható értéke: 1/p
szórása: sqrt(1-p) / p
Hipergeometriai eloszlás
- Hipergeometriai eloszlás:
Legyen m elemünk, amelyből s darabot megkülönböztetünk, a többi m-s darabtól. Ezután kiválasztunk m darabból
n darabot, visszatevés nélkül, ahol n<=s és n<=m-s. Legyen E diszkrét valségi változó értéke n kiválatsztottból
a megkülönböztetett elemek száma. Ekkor az xk=k (k=0,1,…,n) értékeket a következő valséggel veszi fel:
P(E=k) = pk = ((s alatt a k) * (m-s alatt az n-k))/(m alatt az n)
várható érték: np
szórás: sqrt(np*(1-p)(1-(n-1)/(m-1)))
Poisson eloszlás
- Poisson eloszlás:
Diszkrét E valsegi változó lambda > 0 Poisson eloszlású xk = k (k = 0,1,…)
P(E = k) = pk = (lambda^k / k!)* e^-lambda
Várható érték: lambda
Szórás: sqrt(lambda)
Folytonos egyenletes eloszlás
- Folytonos egyenletes eloszlás:
Egy folytonos E valségi változó az (a,b) intervallumon egyenletes eloszlásnak nevezünk ha a sűrűségfüggvénye
f(x) = 0, ha x<=a
1/(b-a), ha a<x<=b
0, ha x>b
az eloszlásfüggvénye
F(x) = P(E < x) = 0, ha x<=a
(x-a)/(b-a), ha a<x<=b
1, ha x>b
Várható értéke: (a+b)/2
szórása (b-a)/2*sqrt3
Exponenciális eloszlás
- Exponenciális eloszlás:
Egy folytonos E valségi változó lambda>0 paraméterű exponenciális eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye
f(x)= 0 , ha x<=0
lambdae^(-xlambda), ha x>0
Az eloszlásfüggvénye
F(x) = P(E < x) = 0 , ha x<=0
1-e^(-x*lambda), ha x>0
Várható értéke: 1/lambda
Szórása: 1/lambda
Normális eloszlás
- Normális eloszlás:
Egy folytonos E valségi változót (m, q) paraméterű normális eloszlásúnak nevezünk (q > 0), ha a sűrűségfüggvénye
f(x) = (1 / (qsqrt(2pi))*e^(- (x-m)^2 / 2q^2)
várható értéke: m
szórása: q
Standard normális eloszlás: N(0,1)
Várható érték, szórásnégyzet, szórás
Várható érték: summa valségérték
Szórásnégyzet: Variancia: summa valség(érték - várható érték)^2
Szórás: sqrt(szórásnégyzet)
Várható érték, szórásnégyzet, szórás
Várható érték: summa valségérték
Szórásnégyzet: Variancia: summa valség(érték - várható érték)^2
Szórás: sqrt(szórásnégyzet)
Markov egyenlőtlenség
Markov-Egyenlőtlenség
Ha egy E valségi változó sokkal nagyobb a várható értéknél, az nem valószínű.
Ha egy valségi változó nagyobb mint a várható érték kszorosa, annak a valsége kisebb mint a k inverze.
P(E >= t*E(E)) <= 1/t
Csebisev egyenlőtlenség
Csebisev-Egyenlőtlenség
Ha egy E valségi változónak van várható értéke, szórása és lambda tetszőleges pozitív valós szám, akkor
A csebisev azt mondja ki, hogy a várható értéktől való nagy eltérésnek kicsi a valsége, még a kicsi eltérésnek
nagy a valsége
P(|E - E(E)| >= lambda*D(E)) <= 1/lambda^2
P(|E - E(E)| < lambda*D(E)) <= 1 - 1/lambda^2
Nagy számok gyenge Bernoulli törvénye
Nagy számok törvénye:
(Bernoulli)-gyenge
ha egy esemény elméleti valsége p, akkor minél többször végezzük el a kísérletet, a relatív gyakoriság és
az elméleti valség eltérése annál kisebb lesz.
|X/n - p| < E
P(|X/n - p| < E) >= 1 - P(1-p)/n*E^2
P(|X/n - p| > E) < P(1-p)/n*E^2
Nagy számok erős Kolmogorov törvénye
Nagy számok törvénye
Kolmogorov-erős
Legyen x1, x2, …, xn független azonos eloszlású valségi változók
Legyen E|xi| < végtelen és m = Exi
Ekkor (x1 + x2 + … + xn)/n ->m 1 valséggel lim n->végtelen Sn/n = m majdnem biztos
Azaz P((x1 + x2 + … + xn)/n ->m) = 1
Etemadi bebizonyította, hogy teljesen biztos ha páronként függetlenek.
Statisztikai minta
n számú független E1, E2, …, En, a megfigyelt E valségi változóval megegyező eloszlás valségi változó összessége.
Empirikus közép/mintaátlag
Empirikus közép:
Mintaátlag:
A mintaelemek számtani közepép mintaátlagnak vagy empirikus középnek nevezünk.
mn: mn(E) = mn(E1, E2, …, En) = 1/n * summa(Ei)
Empirikus szórásnégyzet
Empirikus szórásnégyzet:
Minta szórásnégyzet:
A mintaelemek a közepüktől való négyzeteinek átlagát empirikus szórásnégyzetnek vagy minta szórásnégyzetnek nevezzük.
q2n: q2n(E) = q2n(E1, E2, …, En) = 1/n * summa(Ei - mn)^2
(delta jel, 2es fent, n lent)
Korrigált szórásnégyzet
Korrigált szórásnégyzet:
S2n = n/(n - 1) * q2n
Minta középpontja
Minta középpontja:
A minta legkisebb és legnagyobb elemének számtani közepe.
