Révision examen 3

Question 1

Comment une fonction peut être vu en tant que relation?

Answer 1

On considère deux ensembles, soit A et B. Puis, on considère une relation binaire F de A vers B. Donc F est un sous-ensemble du produit cartésien de A et B. La relation F est une fonction si et seulement si elle satisfait la condition suivante:
Pour tout « a » élément de A, il existe un unique « b » élément de B tel que « a » est en relation avec « b ».

Question 2

Quels sont les deux critères qu’une relation doit respectée pour qu’elle soit considérée comme une fonction?

Answer 2

1. Existence (Pour tout élément « a » de A, il EXISTE un élément « b » tel que « a » est en relation avec « b »)
2. Unicité (Il existe qu’un seul élément « b » tel que « a » est en relation avec « b » )

Question 3

Autre qu’une relation, de quelle manière peut-on voir une fonction?

Answer 3

Une fonction peut être abordé comme une règle d’association.

Question 4

Comment une fonction peut être traité comme une règle d’association?

Answer 4

Soit A et B, deux ensembles. On appelle fonction de F de A (ensemble de départ) vers B (ensemble d’arrivée) une règle d’association qui, à tout élément de A, fait correspondre exactement un élément de B.

Question 5

Qu’est-ce qui est considéré comme l’image d’un élément.

Answer 5

Un élément de l’ensemble d’arrivée est appelé image de l’élément de l’ensemble de départ auquel il est associé.

Question 6

Qu’est-ce que le domaine d’une fonction?

Answer 6

C’est l’ensemble de départ.

Question 7

Qu’est-ce que le codomaine d’une fonction?

Answer 7

C’est l’ensemble d’arrivée.

Question 8

Quelle implication découle des critères d’une fonction, soit l’existence et l’unicité?
Quelle est la contraposée de cette implication?

Answer 8

Pour x,y qui appartiennent à l’ensemble A on a l’implication suivante:
f(x) =/ f(y) —> x =/y

La contraposée:
x = y —> f(x) = f(y)

Question 9

Qu’est-ce qu’on appelle image d’une fonction?

Answer 9

C’est le sous-ensemble de B formé des images des éléments de A.
On le note im(f).

Question 10

Qu’est-ce que l’image réciproque ou préimage de F?

Answer 10

On considère une fonction qui envoie l’ensemble A sur l’ensemble B où F est un sous-ensemble de B. L’image réciproque de l’ensemble F est le sous-ensemble de A formé de tous les points qui sont préimages aux images de l’ensemble F.
On le note f-1(F).

Question 11

Qu’est-ce qu’une fonction constante?

Answer 11

C’est une fonction dont tous les éléments de l’ensemble de départ ont tous la même image dans l’ensemble d’arrivée.

Question 12

Qu’est-ce qu’une fonction identité?

Answer 12

C’est une fonction qui a le même ensemble de départ et d’arrivée, puis chaque préimage à lui-même comme image.
On le note idA(a) = a.

Question 13

Comme la fonction identité agit dans l’opération de composition de fonctions?

Answer 13

Elle agit comme une sorte d’élément neutre.

Question 14

Quelle propriété de l’opération fonctionne aussi avec la composition de fonctions?

Answer 14

La composition de fonction est associative.
Donc:
h ° (g ° f) = (h ° g) ° f

Question 15

Qu’est-ce qu’une fonction itérée?

Answer 15

Soit une fonction de A vers A. Étant donné « k » qui appartient aux naturels non-nul, on appelle fonction itérée d’ordre k de f la fonction f^(k): A —> A.
Cela correspond à ces deux égalités:
f^1 = f et f^(k) = f ° f^(k-1).
En d’autres mots, on répète la fonction f un nombre k de fois.

Question 16

Quelle est l’idée derrière l’inversion d’une fonction?

Answer 16

On doit se demander s’il est possible d’annuler l’action de f.

Question 17

Qu’est-ce que l’inverse à gauche d’une fonction?

Answer 17

Soit la fonction f qui envoie A sur B. Si on a une fonction g qui envoie B sur A, on dira que g est l’inverse à gauche de f si :
g ° f = idA (sur le graphique g est à droite)

Question 18

Qu’est-ce que l’inverse à droite d’une fonction?

Answer 18

Soit la fonction f de A vers B. Une fonction h de B vers A est un inverse à droite de la fonction f si :
f ° h = idB

Question 19

Comment une fonction peut-elle être inversible?

Answer 19

Une fonction est inversible lorsqu’elle admet un inverse à gauche et un inverse à droite et que ceux-ci sont égaux.

Question 20

Si une fonction admet à la fois un inverse à gauche et un inverse à droite qu’est-ce que ça signifie?

Answer 20

L’inverse à gauche est unique et l’inverse à droite est aussi unique.

Question 21

Qu’est-ce qu’une fonction injective?

Answer 21

Chaque élément de l’ensemble d’arrivée qui est une image n’a qu’une seule préimage, donc il sert d’image qu’une seule fois.
Cela revient à dire ceci:
Pour tout x,y qui appartiennent à A, on a
f(x) = f(y) —> x = y
ou par contraposition:
x =/ y —> f(x) =/ f(y)

Question 22

Soit la fonction injective f de A vers B et la fonction injective g de B vers C, que peut-on affirmer à propos de la composée g ° f de A vers C.

Answer 22

Elle est aussi injective.
Démonstration:
Considérant x, y ∈ A tels que (g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(y), il s’agit alors de
montrer que cette supposition mène à l’égalité x = y.
L’hypothèse sur x et y revient au fait que g(f(x)) = g(f(y)). Puisque g est injective, il s’ensuit
que f(x) = f(y). Mais f étant elle aussi injective, on en conclut que x = y, montrant ainsi
que la composée g ◦ f est injective.

Question 23

Un inverse à gauche admet quel type de fonction?

Answer 23

Si une fonction admet un inverse à gauche alors elle est injective.

Question 24

Un fonction injective admet un inverse de quel côté?

Answer 24

Elle admet un inverse à gauche.

Question 25

Qu'est-ce qu'une fonction surjective?

Answer 25

C'est une fonction où tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sert d'image. Cela revient à dire que: Pour tout « b » élément de B, il existe un élément « a » qui appartient à A tel que f(a) = b

Question 26

Soit la fonction surjective f de A vers B et la fonction surjective g de B vers C, que peut-on affirmer à propos de la composée g ° f de A vers C.

Answer 26

La composée est aussi une fonction surjective.

Question 27

Un inverse à droite admet quel type de fonction?

Answer 27

Une fonction qui admet un inverse à droite est surjective.

Question 28

Si une fonction est surjective elle admet un inverse de quel côté?

Answer 28

Elle admet un inverse du côté droit.

Question 29

Qu'est-ce qu'une fonction bijective?

Answer 29

C'est une fonction qui est à la fois injective et surjective. Donc, tous les éléments de l'ensemble d'arrivée servent d'image. et ce une seule et unique fois.

Question 30

Une fonction est bijective si et seulement si...

Answer 30

la fonction est inversible.

Question 31

Vrai ou faux. Soit une fonction bijective f, l'inverse de f est elle aussi bijective.

Answer 31

Vrai.

Question 32

Qu'est-ce qu'on veut dire lorsqu'on dit que deux ensembles sont équipotents?

Answer 32

Deux ensembles sont équipotents lorsqu'il existe une bijection entre eux. Cela signifie que les deux ensembles sont de même cardinalité.

Question 33

À quel moment dit-on qu'un ensemble est fini?

Answer 33

Un ensemble est fini lorsque ce dernier est équipotent à l'ensemble {1,2,...,n}. Donc, la cardinalité de l'ensemble correspond à n.

Question 34

Soit deux ensembles finis avec #A = n et #B = m alors combien y'a t'il de fonctions possibles entre A et B.

Answer 34

Il y a m^n possibilités.

Question 35

Généralement quel calcul doit-on faire pour connaître le nombre de fonctions qu'il y a entre deux ensembles?

Answer 35

Nombre de fonctions = #B^#A

Question 36

Si #A = n, il y a combien de relations binaires sur A?

Answer 36

il y a 2^(n^2) relations binaires sur A.

Question 37

Soit deux ensembles finis A et B, où #A = n et #B = m. Comment trouve t-on le nombre de fonctions injectives f de A vers B?

Answer 37

m(m-1)*(m-2)*...*(m-(n-1)) nous permet de trouver le nombre de fonctions injectives.

Question 38

Soit A et B, deux ensembles finis de même cardinalité n. Comment trouve t-on le nombre de bijections de A dans B?

Answer 38

n! nous permet de trouver le nombre de bijections de A dans B.

Question 39

Quand est-ce qu'une ensemble E non vide est dénombrable?

Answer 39

On dit que E est dénombrable si E est équipotent aux naturels.

Question 40

Si A et B sont deux ensembles dénombrables, qu'en est-il de leur réunion?

Answer 40

A U B est aussi dénombrable.

Question 41

Si A et B sont deux ensembles dénombrables, qu'en est-il de leur produit cartésien?

Answer 41

Le produit cartésien A x B est aussi dénombrable.

Question 42

Qu'est-ce qu'une opération n-aire sur A?

Answer 42

C'est une fonction f : A^n ---> A Si n = 1 alors opération unaire et si n = 2 opération binaire.

Question 43

Soit *, une opération binaire sur un ensemble A. Si elle est associative cela signifie quoi?

Answer 43

Soient a, b, c qui appartiennent à A. * est dite associative si: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

Question 44

Soit *, une opération binaire sur un ensemble A. Si elle est commutative cela signifie quoi?

Answer 44

a ∗ b = b ∗ a, quels que soient a, b ∈ A

Question 45

Qu'est-ce qu'un élément neutre pour l'opération binaire *?

Answer 45

e ∈ A est neutre pour ∗ si e ∗ a = a ∗ e = a, quel que soit a ∈ A.

Question 46

Quand est-ce qu'un élément est l'inverse d'un autre pour un opération binaire?

Answer 46

Supposons que e est un élément neutre pour ∗ et soit a ∈ A ; alors un élément b ∈ A est appelé inverse de a pour l’opération ∗ si a ∗ b = b ∗ a = e

Question 47

Si on a deux opérations binaires, soit * et  sur un ensemble A. Qu'est-ce que ça signifie que l'opération  est distributive sur *?

Answer 47

On dit que l’opération  est dite distributive par rapport à l’opération ∗ si a  (b ∗ c) = (a  b) ∗ (a  c), quels que soient a, b, c ∈ A

Question 48

Qu'est-ce que l'élément neutre de l'opération binaire sur A a de particulier?

Answer 48

L'élément neutre est unique.

Question 49

Qu'est-ce que l'inverse d'un élément par rapport à une opération binaire sur un ensemble quelconque a de particulier?

Answer 49

L'inverse est unique.

Question 50

Qu'est-ce que l'associativité dans l'addition?

Answer 50

pour tout a, b, c ∈ Z, (a + b) + c = a + (b + c)

Question 51

Qu'est-ce que la commutativité dans l'addition?

Answer 51

pour tout a, b ∈ Z, a + b = b + a

Question 52

Qu'est-ce que l'élément neutre de l'addition? Et que fait-il?

Answer 52

0 est l'élément neutre de l'addition. l’élément 0 ∈ Z est tel que, pour tout a ∈ Z, a + 0 = 0 + a = a

Question 53

Qu'est-ce qu'un inverse additif?

Answer 53

pour tout a ∈ Z, il existe ˜a ∈ Z tel que a + ˜a = ˜a + a = 0

Question 54

Qu'est-ce que l'élément neutre pour la multiplication?

Answer 54

Le chiffre 1 est l'élément neutre de la multiplication.

Question 55

Qu'est-ce que la distributivité de la multiplication sur l'addition?

Answer 55

pour tout a, b, c ∈ Z, a · (b + c) = a · b + a · c

Question 56

Qu'est-ce que la simplification de l'égalité pour l'addition?

Answer 56

Soit a, b, c ∈ Z; si a + b = a + c, on a alors b = c.

Question 57

Quels sont les seuls entiers inversibles?

Answer 57

Il y a -1 et 1.

Question 58

À quelle condition peut-on dire que deux entiers sont égaux?

Answer 58

on dit que a = b si et seulement si a - b = 0

Question 59

Qu'est-ce qu'un entier idempotent pour l'addition?

Answer 59

Un entier a tel que a + a = a est dit idempotent pour l'addition.

Question 60

Pour l'addition quel est le seul entier idempotent?

Answer 60

0 est le seul entier idempotent pour l'addition.

Question 61

Quel est l'entier absorbant pour la multiplication et que fait-il?

Answer 61

0 est l'absorbant pour la multiplication. Voici ce que cela signifie: Soit un entier a. Alors a * 0 = 0

Question 62

Qu'est-ce que l'opposé d'une somme?

Answer 62

Quels que soient les entiers a et b, −(a + b) = −a + −b

Question 63

Qu'est-ce que l'opposé d'une différence?

Answer 63

Quels que soient les entiers a et b, −(a − b) = −a − −b = b − a

Question 64

Qu'est-ce que l'opposé d'un produit?

Answer 64

Quels que soient les entiers a et b, −(a · b) = −a · b = a · −b

Question 65

Qu'est-ce que l'intégrité des entiers?

Answer 65

Soit deux entiers a et b tels que ab = 0 ; alors a = 0 ou b = 0

Question 66

Si a|b et a|c que pouvez-vous dire?

Answer 66

a|(xb + yc)

Question 67

Qu'est-ce que le théorème de la division euclidienne stipule?

Answer 67

Soit a, b ∈ N, avec b 6= 0. Il existe alors des entiers naturels q et r tels que a = q · b + r, où 0 ≤ r < b

Question 68

Si « d » est le PGCD de « a » et « b » que peut-on dire à propos de celui-ci?

Answer 68

l’entier positif d satisfaisant aux deux conditions suivantes : (i) d | a et d | b (d est un diviseur commun de a et b) ; (ii) c | a et c | b ⇒ c ≤ d (où c ∈ Z∗+) (et c’est le plus grand des diviseurs communs)

Question 69

Qu'est-ce que ça veut dire deux entiers qui sont copremiers?

Answer 69

Deux entiers sont copremiers si ceux-ci ont un PGCD égal à 1. On dit aussi qu'ils sont premiers entre eux.

Question 70

Quel algorithme permet de calculer le PGCD de deux entiers?

Answer 70

L'algorithme d'Euclide. Celui-ci consiste en un enchaînement de divisions euclidiennes.

Question 71

Qu'est-ce que la relation de Bézout?

Answer 71

Soit a, b ∈ Z, deux entiers (qui ne sont pas tous les deux nuls). Alors il existe x, y ∈ Z tels que pgcd(a, b) = xa + yb Donc, le PGCD(a,b) peut s'écrire comme une combinaison linéaire des deux entiers a et b.

Question 72

Comment trouve t-on une autre combinaison linéaire du PGCD(a,b)?

Answer 72

pgcd(a, b) = xa + yb = xa + ab − ab + yb = (x + b)a + (y − a)b

Question 73

Qu'est-ce qu'un nombre premier?

Answer 73

C'est un entier naturel ayant exactement deux diviseurs. (donc 1 n'est pas premier)

Question 74

Soit p et q, deux nombres premiers tels que p|q. Que peut-on dire sur ces deux nombres?

Answer 74

Il s'ensuit que p = q

Question 75

Soit a un entier et p un nombre premier. Si p ne divise pas a, que peut-on dire sur leur PGCD?

Answer 75

Le PGCD(p,a) = 1.

Question 76

Qu'est-ce que le théorème fondamental de l'arithmétique stipule?

Answer 76

Tous les entiers peuvent être écrit sous forme d'un produit de nombre premier. (La factorisation première)

Answer 77

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