Section C Flashcards

(45 cards)

1
Q

Qu’est-ce qu’une courbe?

A

La trajectoire décrite par une particule qui se déplace

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Q

Qu’est-ce qu’une courbe paramétrée?

A

Une fonction continue alpha : I –> Reels ^n, n=2, 3

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3
Q

L’image de alpha(I)

A

Trajectoire ou la trace de alpha

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4
Q

Trace de alpha

A

L’image de alpha(I)

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5
Q

alpha est un paramétrage de C

A

lorsque sa trace est égale à C

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6
Q

Vrai ou faux

une courbe dans R^2 peut etre vue comme une courbe dans R^3

A

Vrai avec z = 0

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7
Q

Une courbe est simple si

A

alpha est injective

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8
Q

Une courbe est fermée si

A

I = [a, b] et alpha(a) = alpha(b)

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9
Q

Si alpha est fermée, peut-elle être simple?

A

oui, elle est simple si alpha est injective sur [a, b)

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10
Q

Courbe de Jordan

A

Fermée et simple

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11
Q

Droite

A

La droite passant par deux points de R^3 est

a (t) = p + t(q-p) avec t un réel

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12
Q

Vecteur directeur d’une droite passant par p et q

A

u := q - p est ce vecteur

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13
Q

Trace d’une droite passant par p et q

A

D:= alpha(Reel) est la trace

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14
Q

Qu’elle est le segment pq d’une droite passant par p et q

A

alpha([1, 0])

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15
Q

Deux paramétrages de D := alpha(réel)

Droite

A

a(t) := p + t(q-p)

B(s) := q + 2s(p-q)

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16
Q

Paramétrage d’un cercle

A

a(t) := (cost, sint) où t est entre 0 et 2 pi

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17
Q

Paramétrage d’une ellipse de centre c et de demi-axes u et v

A

α(t) − c = (|u| cost)f1 + (|v|sin t)f2.

f1 = u/|u| et f2 = v/|v|

IL FAUT QUE u prod. scal. v = 0

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18
Q

Équation de la courbe dont le paramétrage est

a(t) = c + ucost + vsint

A

x^2/ |u|^2 + y^2/|v|^2 = 1 où x:= |u| cost et y:= |v| sint

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19
Q

Qu’est-ce qu’un cycloïde

A

trajectoire d’un point sur un cercle qui roule en ligne droite

20
Q

Centre du cercle d’un cycloide

21
Q

Forme paramétrée d’un cycloide

A

alpha(t) = a(t-sint, 1-cost)

où a est le rayon du cercle et t est entre 0 et 2 pi

22
Q

lim alpha(t)

A

limite des composantes

23
Q

alpha’(t)

A

= (x’(t), y’(t), z’(t))

24
Q

(alpha + beta)’

A

alpha’ + beta’

25
(falpha)'=
f'alpha + falpha'
26
(alpha(g(t)))'=
g'(t)alpha'(g(t))
27
(alpha produit vectoriel beta)' =
alpha' prod. vect beta + alpha prod. vect beta'
28
(alpha x beta)' =
alpha' x beta + alpha x beta'
29
Interprétation géométrique de alpha'(t)
C'est la tangente à la courbe en alpha(t)
30
Interprétation cinématique de alpha'(t)
``` C'est la vitesse vectorielle si alpha(t) représente la position au temps t ```
31
Vitesse curviligne
|alpha'(t)| | déplacement par unité de temps
32
Qu'est-ce que alpha'
vecteur tangent à alpha ou le vecteur vitesse de alpha
33
alpha régulière en t
si alpha'(t) != 0
34
alpha singulière en t
alpha'(t) = 0 en t
35
alpha régulière
si alpha' != 0 sur tout le domaine de definition de alpha
36
Condition pour la droite tangente à alpha en t
alpha est régulière en t
37
droite tangente à alpha en t est
Δ(λ) := alpha(t) + λalpha'(t) où λ est un réel
38
Vecteur tangent unitaire à alpha en t
T(t) := alpha'(t) / |alpha'(t)|
39
Condition pour le vecteur tangent unitaire à alpha en t
alpha est régulière en t
40
Point de rebroussement en t
``` lim T(s) = -lim T(s) s→t− s→t+ ```
41
Courbe paramétrée d'une hélice
alpha(t) = (acost, asint, bt)
42
alpha est rectifiable
l(alpha) < infini
43
longueur de alpha
= b l(alpha) ∫ |alpha'(t)| dt a
44
Interprétation de b l(alpha) ∫ |alpha'(t)| dt a
distance parcourue entre t = a et t = b
45
L'abscisse curviligne ou la longueur d'arc d'origine t0 est définie par
. t s(t):= ∫ |alpha'(t)| dt t0