Sequências de Funções

Question 1

Enuncie o teorema 2.1.

Answer 1

Sejam Fn, F : X -> R, com Fn -> F pontualmente em X. Se existe (An) contida em X tal que a sequência (Fn - F)(An) não converge para zero, então (Fn) não converge uniformemente para F em X.

Question 2

Enuncie o teorema 2.2.

Answer 2

Uma sequência de funções Fn : X -> R converge uniformemente em X se, e só se, (Fn) é uma sequência de Cauchy em X.

Question 3

Enuncie o teorema da continuidade.

Answer 3

Seja Fn : X -> R uma sequência de funções satisfazendo:
1) Contínuas em X, para cada n natural.
2) Fn -> F uniformemente em X.
Então f é contínua em X.

Question 4

Enuncie o teorema da integral.

Answer 4

Seja Fn : [a, b] -> R uma sequência de funções satisfazendo:
1) Fn é integrável em [a, b], para cada n.
2) Fn -> F uniformemente em [a, b].
Então F é integrável em [a, b] e lim int(Fn) = int(F) = int(lim Fn).

Question 5

Enuncie o teorema da derivada.

Answer 5

Seja Fn : [a, b] -> R tal que:
1) Fn é de classe C1 em [a, b].
2) Existe Xo em [a, b] tal que Fn(Xo) -> Yo = F(Xo).
3) Fn’ -> G uniformemente em [a, b].
Então existe F : [a, b] -> R com Fn -> F uniformemente em [a, b] e F’ = G.