Sistemi dinamici a tempo continuo: funzione di trasferimento Flashcards
(32 cards)
Trasformata di Laplace
- Permette di trasformare una funzione del tempo, di variabile reale f(t) in una funzione complessa di variabile complessa F(s), s=σ+jω
- Permette di operare con equazioni algebriche lineari anziché con equazioni differenziali
- F(s) è la trasformata di Laplace di f(t) se esiste per qualche valore di s:
int(0, +inf) e^-st*f(t)dt
Segnali canonici a tempo continuo
0) Impulso: 0, t ! = 0; int(-inf +inf) imp(t)dt = 1
1) Scalino (unitario): 1, t > = 0
2) Rampa: t, t > = 0
3) Parabola: t^2/2, t > = 0
Proprietà della trasformata di Laplace
1) Linearità
2) Traslazione nel dominio del tempo:
L[f(t-a)]=e^-asF(s)
3) Traslazione nel dominio della frequenza:
L[e^atf(t)]=F(s-a), a app C
4) Derivazione nel dominio della frequenza:
L[tf(t)]=-dF(s)/ds
5) Derivazione nel dominio del tempo:
L[f’(t)]=sF(s)-f(0-)
L[f’‘(t)]=s^2F(s)-sf(0)-f’(0)
6) Integrazione nel dominio del tempo:
L[int(0,t)f(τ)dτ]=F(s)/s
Caratteristiche trasformate
- In generale, funzioni razionali di s: F(s)=N(s)/D(s)
- Zeri di F(s): m radici di N(s)
- Poli di F(s): n radici di D(s)
- Singolarità di F(s): unione di zeri e poli
- Grado relativo: r=m-n
Antitrasformata di Laplace
- Esiste una definizione
- Esiste corrispondenza biunivoca tra f(t) e F(s)
Teorema del valore iniziale
Se L[f(t)]=F(s) e F(s) è razionale e ha grado relativo r > 0, allora f(0) = lim(s - > +inf) sF(s)
Teorema del valore finale
Se L[f(t)]=F(s) e F(s) è razionale e ha poli tutti con Re < 0 o nulli, allora finf = lim(s - > 0) sF(s)
Trasformate notevoli
L[imp(t)] = 1 L[sca(t)] = 1/s L[ramp(t)] = 1/s^2 L[par(t)] = 1/s^3 L[sin(t)*sca(t)] = ω/s^2+ω^2 L[cos(t)*sca(t)] = s/s^2+ω ^2
Funzione di trasferimento
Rapporto tra trasformata di Laplace dell’uscita e dell’ingresso per condizioni iniziali nulle
G(s)=Y(s)/U(s)=C(sI-A)^-1B+D
La FdT è la trasformata di Laplace della risposta forzata del sistema con u(t)=imp(t), o equivalentemente la risposta all’impulso con condizioni iniziali nulle
Risposta all’impulso sistemi as. stabili
Y(s)=G(s)*1=G(s)
yf(t)=L^-1[G(s)]
Se un sistema è as. st. , la sua risposta all’impulso a regime tende a 0 (nella risposta all’impulso si vedono i modi)
Grado relativo della FdT
Se D=0, sistemi strettamente propri, grado relativo r > 0
Se D ! = 0, sistemi propri, grado relativo r = 0
Relazione poli di G(s) e autovalori, e studio della stabilità dalla G(s)
- Nel calcolo della G(s) possono avvenire delle cancellazioni polo/zero
- Non sempre quindi i poli di G(s) coincidono con i poli del sistema
- per studiare la stabilità del sistema dalla sola G(s) occorre, in generale, che il grado del denominatore di G(s) sia pari all’ordine del sistema. Questa è una condizione necessaria e sufficiente affinché i poli siano tutti e soli gli autovalori
- Se, dopo eventuali cancellazioni, G(s) ha ancora poli con Re(pi) > 0, allora esiste un autovalore con parte reale positiva, e si può quindi concludere che il sistema è instabile
Cause delle cancellazioni
Le cancellazioni sono il risultato di proprietà strutturali del sistema, che determinano l’effetto che le variabili di stato hanno sul legame I/O
I due motivi che portano ad avere cancellazioni nella FdT sono :
1) il sistema non è completamente raggiungibile: non tutte le variabili di stato sono influenzate dall’ingresso
2) il sistema non è completamente osservabile: non tutte le variabili di stato sono visibili dall’uscita
Tipi di cancellazioni
Se una cancellazione riguarda una coppia zero/polo con Re > = 0, si dice cancellazione critica; viceversa si dice non critica
Rappresentazione FdT con numeratore e denominatore
G(s) = N(s)/D(s) = …
Rappresentazione della FdT con poli e zeri
G(s)=…
zi e pi sono zeri e poli cambiati di segno
ρ è la costante di trasferimento
FdT con guadagno e costanti di tempo, smorzamenti e pulsazioni naturali
G(s)=…
g = numero di poli in s=0 - numero di zeri in s=0, tipo della FdT
τi = 1/zi costanti di tempo degli zeri Ti = 1/pi costanti di tempo dei poli
μ = ρ* Πzi/Πpi guadagno della FdT
ζi e ξi smorzamento di zeri e poli
αni e ωni pulsazione naturale di zeri e poli
Guadagno
- se g=0: μ = G(0) (coincide con il guadagno statico)
Se g ! = 0: si chiama guadagno generalizzato la quantità μgen = lim(s - > 0) s^g*G(s)
Tipo e risposta allo scalino
- se un sistema as. St. Ha tipo g=0, la risposta allo scalino tende al guadagno a regime
- se un sistema as. St. Ha guadagno g < 0, la risposta allo scalino a regime tende a 0: il sistema ha un comportamento derivativo
Risposta allo scalino per sistemi asintoticamente stabili: sistemi del primo ordine
Risposta esponenziale, valore iniziale nullo, derivata prima in 0 diversa da 0, valore a regime pari al guadagno, tempo di assestamento pari a circa 5 volte la costante di tempo dell’unico polo
Presenza dello zero:
- modifica valore iniziale
- se coincide col polo: uscita costante pari al guadagno
- se minore del polo: valore iniziale minore del guadagno
- se maggiore del polo e minore di zero: valore iniziale maggiore del guadagno
- se maggiore di zero: valore iniziale di segno opposto al guadagno, risposta inversa
Risposta allo scalino per sistemi asintoticamente stabili: sistemi del secondo ordine con poli coincidenti
Risposta simile a quella del primo ordine, cambia derivata prima in 0, che in questo caso è pari a 0
Grado relativo della FdT e derivata nell’origine
Per un sistema LTI con FdT G(s), la prima derivata della risposta allo scalino non nulla nell’origine è quella di ordine r, dove r è il grado relativo di G(s)
Risposta allo scalino per sistemi asintoticamente stabili: sistemi del secondo ordine con poli distinti
- se un polo è molto minore dell’altro, la risposta è molto simile a quella del primo ordine, con costante di tempo pari a quella dominante (maggiore)
- se i poli sono vicini, il sistema è analogo a quello con due poli coincidenti
Presenza di uno zero:
- derivata prima diversa da 0
- se zero positivo: risposta inversa
- zero vicino all’asse immaginario, lontano dai poli: sovraelongazione
- zero vicino a un polo: deriva, simile al primo ordine
- zero tra i poli: derivata prima nell’origine diversa da zero, crescita più veloce
Risposta allo scalino per sistemi asintoticamente stabili: sistemi del secondo ordine, con poli complessi coniugati
Risposta sinusoidale, governata da smorzamento e pulsazione naturale dei poli
Ta=51/xiomegan
Tosc=2pi/omegan*rad(1-xi^2)
Sovraelongazione massima percentuale, dipende solo dallo smorzamento xi
Presenza di uno zero:
- derivata prima nell’origine diversa da zero
- zero positivo: risposta inversa
- zero negativo: salita più veloce, sovraelongazione
