Symmetrien

Question 1

Definition:

Symmetrien…

Answer 1

beschreiben Ordnungsstrukuren bestimmter Art auf mathematische Weise

Question 2

Der Bereich Symmetrie zeichnet sich aus durch:

Answer 2

• starker Bezug zur Wirklichkeit
• verschiedene mögliche Zugänge
• hoher innerer Beziehungsreichtum

Question 3

Zentrale Aspekte der Geometrie

Answer 3

• Formaspekt
• arithmetischer Aspekt
• ökonomisch-technischer Aspekt
• ästhetischer Aspekt
• algebraischer Aspekt

Question 4

Formaspekt

Answer 4

Wie lassen sich symmetrische Formen charakterisieren?

Question 5

Arithmetischer Aspekt

Answer 5

Zahlen und Operationen lassen sich durch symmetrische Punktmuster darstellen (Punktefelder, gerade-ungerade Zahlen, …)

Question 6

ökonomisch-technischer Aspekt

Answer 6

Symmetrische Strukturen als Möglichkeit zur Reduktion von Kraft und (Denk-)Aufwand

Question 7

Ästhetischer Aspekt

Answer 7

Regelmäßigkeit, Fast-Achsensymmetrie in der Natur

Question 8

Algebraischer Aspekt

Answer 8

Durch Kombination der zugehörigen Abbildungen lassen sich aus
zwei Symmetrien weitere ableiten (Dreispiegelungssatz)

Question 9

Intuitives Symmetrieverständnis

Answer 9

• intuitives Verständnis für Symmetrie (meisten Kinder)
  
  • > wird im Unterricht strukturiert, vertieft und präzisiert
• besseres und detailgetreueres Merken symmetrischer Bilder und Figuren
• ggf. bei Nutzung von Arbeitsmitteln hilfreich

Question 10

Symmetrie und Analogie

Answer 10

• Erkennen von Analogien
  -> Strukturgleichheit als Form der Symmetrie/Regelmäßigkeit
  Bsp: Hundertertafel, Tausenderbuch

Question 11

Ziele des Begriffserwerbs bei Symmetrie

- achsensymmetrisch

Answer 11

Umfang des Begriffs erfassen:
- Beispiele (nicht nur Prototypen):
verschiedene achsensymmetrische Figuren
- Gegenbeispiel
Inhalt des Begriffs verstehen: -> Eigenschaften
- eine Beschreibung kennen
- Eigenschaften von achsensymmetrischen Figuren kennen
- Achsensymmetrie konstruieren
Über ein Begriffsnetz verfügen:
- Überbegriff: symmetrisch
- Nebenbegriffe: drehsymmetrisch, translationssymmetrisch
Anwendungen des Begriffs kennen:
- Symmetrieeigenschaften zum Problemlösen nutzen

Question 12

Symmetrie - Definition

- Feyman nach Herman Weyl

Answer 12

„Ein Ding ist symmetrisch, wenn man es einer bestimmten Operation aussetzen kann und es danach als genau das
gleiche erscheint wie vor der Operation.“
-> Symmetrie: Eigenschaft einer Figur!

Question 13

Definition - Symmetrie

-> mathematisch

Answer 13

Eine Figur heißt symmetrisch, wenn es eine nichtidentische Kongruenzabbildung gibt, unter der die Figur auf sich selbst abgebildet wird (d.h. invariant ist).
-> Zu klären: nichtidentische Kongruenzabbildung/ kongruent

Question 14

Kongruent - Definition

Answer 14

• zwei Figuren sind bis auf ihre Lage im Raum gleich
• eine Figur kann durch eine Kombination von Verschieben, Drehen und Spiegeln an einer Achse (also durch eine Kongruenzabbildung) in die andere überführt werden

-> NICHT Eigenschaft einer Figur! -> Vergleich zweier Figuren!

Question 15

Geometrische Abbildungen (informell)

Answer 15

• mathematische Beschreibung von (mentalen) Operationen mit Objekten

Question 16

Kongruenzabbildungen

Answer 16

• Abbildungen (Operationen), die Geraden in Geraden abbilden und die Größe von Längen und Winkeln unverändert lassen
• > sind geraden-, längen- und winkeltreu
• > sind Achsenspiegelungen, Drehungen, Verschiebungen (und Punktspiegelungen, Schubspiegelungen)

Question 17

Typen von Kongruenzabbildungen

Answer 17

In GS:

• Achsenspiegelung
• Verschiebung

Weitere:

• Drehung
• Punktspiegelung (Drehung um 180°)
• Schubspiegelung (Kombination einer Verschiebung mit einer Achsenspiegelung)

Question 18

„Sorten“ von Kongruenzabbildungen

Answer 18

• orientierungserhaltend
• orientierungsumkehrend (Achsenspiegelungen)

=> kongruente Figuren sind entweder gleich oder umgekehrt orientiert

Question 19

Charakterisierung der Kongruenzabbildungen

Answer 19

• Achsenspiegelung
• Drehung
• Verschiebung
• Punktspiegelung

Question 20

Achsenspiegelung

Answer 20

• festgelegt durch eine Gerade (Symmetrieachse)

- > Orientierung ändert sich

Question 21

Drehung

Answer 21

• festgelegt durch ein Drehzentrum und einen Drehwinkel (gegen den Uhrzeigersinn)

Question 22

Verschiebung

Answer 22

(Translation)

• bestimmt durch einen Verschiebevektor
  
  • > legt Richtung und Länge der Verschiebung fest
• wird oft in Koordinatendarstellung angegeben (2 Kästchen hoch, eines nach rechts)

Question 23

Punktespiegelung

Answer 23

• definiert durch einen Spiegelpunkt (Zentrum = Drehzentrum der 180°- Drehung)
• Punkt und Bildpunkt:
  … liegen auf einer Geraden durch den Spiegelpunkt
  … haben jeweils denselben Abstand zum Spiegelpunkt

Question 24

Definition - symmetrisch

2

Answer 24

Eine Figur heißt symmetrisch, wenn sie invariant unter einer (nichtidentischen) Kongruenzabbildung ist.

Question 25

Merkmale einer achsensymmetrischen Figur

Answer 25

- mind. eine Symmetrieachse - zu jedem Punkt gibt es einen Bildpunkt - Punkt und Symmetriepunkt haben den gleichen Abstand zur Symmetrieachse - die Figur ist invariant unter der Spiegelung an der Achse - die Figur zerfällt auf natürliche Weise in zwei deckungsgleiche Teile - alle Punkte der Figur, die auf der Symmetrieachse liegen, werden auf sich selbst abgebildet

Question 26

Merkmale einer drehsymmetrischen Figur

Answer 26

- es gibt ein Drehzentrum und einen Drehwinkel -> unter der Drehung um diesen Drehwinkel ist die Figur invariant (Drehwinkel <360° gegen den Uhrzeigersinn, keine ganze Drehung!) => mehrere Bildpunkte pro Punkt - jeder Punkt hat denselben Abstand vom Zentrum wie die Bildpunkte - maximal ein Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird (das Drehzentrum)

Question 27

Merkmale einer translationssymmetrischen Figur

Answer 27

- Verschiebevektor (Richtung und Länge) - unendlich viele Bildpunkte pro Punkt => eine translationssymmetrische Figur muss automatisch eine unendliche Ausdehnung parallel zum Verschiebevektor haben (könnte sonst nicht invariant unter der Verschiebung sein) - kein Punkt wird auf sich selbst abgebildet

Question 28

Vorkenntnisse zur Symmetrie

Answer 28

- grundlegendes Verständnis zur Achsensymmetrie meist zu Beginn der Grundschulzeit !typische Schwächen und Begriffsbeschränkungen zu beobachten! - Alltagserfahrungen mit Bauwerken, Tieren, Pflanzen, anderen Gegenständen und dem eigenen Körper

Question 29

Studie mit Schulanfängern

Answer 29

- Figuren können in der Regel achsensymmetrisch ergänzt werden, wenn die Gesamtfigur erkannt wird - das Bild wird aus der Vorstellung heraus ergänzt, weniger auf Basis der Symmetrie - erkennen Kinder die Gesamtfigur nicht oder falsch, so ergeben sich nicht korrekte Lösungen => die Fähigkeit zur Vorstellung der Figur ist notwendig, wenn keine systematischen Kenntnisse zur Achsensymmetrie vorhanden sind

Question 30

Studie am Ende der Grundschulzeit

Answer 30

- elaboriertere Symmetriekenntnisse - das Erkennen von Symmetrieachsen hängt von der Lage der Symmetrieachsen ab (Schrägliegendes Dreieck ist schwieriger - nur 1/3) - SuS lassen sich noch oft von einer (wahrgenommenen) Regelmäßigkeit von Figuren täuschen (1/3 richtig)

Question 31

Studie

Answer 31

- richtig / falsch gespiegelt Figuren erkennen leichter (90%) als Figuren mit Symmetrieachse ankreuzen (34%)