Tarski Flashcards
(15 cards)
Qual è l’obiettivo principale di Tarski in Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen?
(1933) è fornire una definizione rigorosa del concetto di verità per i linguaggi formali,
Caratteristiche fondamentali della definizione tarskiana:
1. Materialmente adeguata:
La definizione deve corrispondere all’uso intuitivo del concetto di verità, soddisfacendo lo Schema T:
“s è vero se e solo se p”, dove s è il nome di un enunciato e p l’enunciato stesso.
2. Formalmente corretta:
• Deve evitare l’autoreferenzialità attraverso la distinzione tra linguaggio oggetto (di cui si definisce la verità) e metalinguaggio (usato per la definizione).
• Utilizza solo concetti strutturali e insiemistici, senza ricorrere a nozioni semantiche non definite.
Implicazioni filosofiche e logiche:
• Superamento dei paradossi:
La separazione tra linguaggio e metalinguaggio evita l’autoreferenzialità all’origine dei paradossi semantici.
• Fondazione matematica:
La verità viene definita attraverso il concetto di soddisfacimento in strutture matematiche, riducendo la semantica a relazioni insiemistiche.
• Limitazioni dimostrative:
Il teorema di indefinibilità (correlato al lavoro) mostra che nessun linguaggio formalmente coerente può contenere la propria definizione di verità
Cosa sono “linguaggio oggetto” e “meta-linguaggio”?
Linguaggio oggetto (L): Linguaggio di cui si parla (es. inglese).
Meta-linguaggio (ML): Linguaggio usato per parlare di L (es. italiano + simboli logici).
Esempio: Dire “La frase ‘The snow is white’ è vera in inglese” richiede l’italiano come ML.
Perché Tarski sostiene che la verità è relativa al linguaggio?
Una proposizione è vera solo relativamente al linguaggio in cui è formulata.
Esempio: “Schnee ist weiß” è vera in tedesco ↔ la neve è bianca. La verità dipende dalle regole semantiche del tedesco.
Cos’è il T-schema (Convenzione T)?
Il T-schema (o Convenzione T) è il criterio proposto da Alfred Tarski per definire una nozione di verità materialmente adeguata in un linguaggio formalizzato. Costituisce il cuore della sua teoria semantica della verità e si articola in due elementi chiave:
1. Struttura del T-schema
Ogni definizione di verità per un linguaggio deve generare, per ogni enunciato di , un T-enunciato della forma:
dove:
• è il nome dell’enunciato nel metalinguaggio (es. una citazione o descrizione strutturale);
• è la traduzione dell’enunciato nel metalinguaggio.
- Funzioni della Convenzione T
• Adeguatezza materiale: Garantisce che la definizione di verità catturi correttamente l’estensione del predicato “vero” per , evitando contraddizioni.
• Separazione linguaggio-oggetto/metalinguaggio: Impone che la verità sia definita in un metalinguaggio più espressivo del linguaggio-oggetto, evitando paradossi autoreferenziali come quello del mentitore.
• Composizionalità: La verità degli enunciati complessi (es. con connettivi logici) è determinata ricorsivamente dalla verità delle loro componenti atomiche.
Cosa significa “materialmente adeguata” e “formalmente corretta”?
Materialmente adeguata: La definizione genera tutte le istanze del T-schema.
Formalmente corretta: Evita paradossi e usa solo nozioni logiche/insiemistiche.
Come definisce Tarski la verità per enunciati complessi?
Tarski definisce la verità per enunciati complessi attraverso un approccio ricorsivo basato sulla struttura logica degli enunciati, applicando due principi fondamentali:
1. Composizionalità semantica
La verità di un enunciato complesso dipende dalla verità degli enunciati componenti e dai connettivi logici utilizzati. Ad esempio:
• Per la congiunzione (⌈e₁ & e₂⌉): vero se e solo se entrambi e₁ ed e₂ sono veri.
• Per la negazione (⌈¬e⌉): vero se e solo se e non è vero.
2. Soddisfacimento di sequenze
Per enunciati quantificati (es. ∀x), Tarski introduce il concetto di soddisfacimento da parte di sequenze di oggetti:
• Un enunciato complesso come ⌈∀x P(x)⌉ è vero se tutte le sequenze di oggetti soddisfano la funzione proposizionale P(x).
Questa definizione ricorsiva presuppone:
• Una clausola base per enunciati atomici (es. “La neve è bianca”), la cui verità è determinata dalla corrispondenza con la realtà.
• Regole di costruzione per connettivi e quantificatori, che preservano la coerenza logica evitando paradossi semantici.
La strategia di Tarski evita l’autoreferenzialità limitando la definizione di verità a linguaggi formalmente chiusi, dove metalinguaggio e linguaggio-oggetto sono rigorosamente separati
Cos’è la soddisfazione per Tarski?
Una formula con variabili libere è soddisfatta da un’assegnazione di valori alle variabili.
Esempio: x è rosso è soddisfatto se assegnamo a x una mela rossa.
Come si gestiscono i quantificatori (∀, ∃)?
∀xP(x) è vero in L ↔ per ogni oggetto d nel dominio, P(d) è vero.
∃xP(x) è vero in L ↔ esiste almeno un oggetto d nel dominio per cui P(d) è vero.
Esempio: “∀x(Uomo(x) → Mortale(x))” è vero ↔ ogni uomo è mortale.
Secondo Tarski, “∀x(Uomo(x) → Mortale(x))” è vera se e solo se, per ogni oggetto del dominio, se quell’oggetto è un uomo allora è anche mortale; cioè, l’enunciato è vero se ogni possibile sostituzione della variabile x rende vera l’implicazione “Uomo(x) → Mortale(x)”.
Cos’è un modello per Tarski?
Una struttura che assegna significato ai simboli di L:
Dominio: Insieme di oggetti (es. {Socrate, Platone}).
Interpretazione: Funzione che associa simboli a oggetti/relazioni (es. “Uomo” → {Socrate, Platone}).
Cosa significa “verità in un modello”?
Un enunciato è vero in un modello specifico se è soddisfatto da tutte le assegnazioni di valori alle variabili.
Esempio:
Modello M: dominio = numeri naturali, “P(x)” = “x è pari”.
“∀xP(x)” è falso in M (non tutti i numeri sono pari).
Qual è la differenza tra verità logica e conseguenza logica?
La verità logica è una proprietà di un enunciato che è vero in tutte le interpretazioni possibili.
La conseguenza logica è una relazione: un enunciato è conseguenza logica di un insieme di premesse se, in ogni interpretazione in cui le premesse sono vere, anche la conclusione è vera
Perché Tarski evita di definire la verità per il linguaggio ordinario?
Il linguaggio naturale è universale (può parlare di se stesso) e genera paradossi (es. “Questa frase è falsa”).
Soluzione: Separare rigorosamente linguaggio oggetto e meta-linguaggio.
Quali sono i limiti della teoria di Tarski?
La teoria della verità di Tarski, pur rivoluzionaria, presenta limiti significativi nell’applicazione ai linguaggi naturali e nella risoluzione di paradossi semantici:
1. Incompatibilità con la chiusura semantica
• I linguaggi naturali sono “semanticamente chiusi”: consentono l’uso di predicati come “vero” riferiti agli enunciati dello stesso linguaggio.
• La soluzione di Tarski richiede una rigida separazione tra linguaggio-oggetto (dove si formulano enunciati) e metalinguaggio (dove si definisce la verità). Questa divisione è artificiale nei linguaggi quotidiani.
2. Fallimento nel risolvere paradossi autoreferenziali
• Il paradosso del mentitore (“Questa frase è falsa”) emerge proprio nei linguaggi chiusi, dove autoriferimento e verità coesistono.
• Tarski evita il paradosso solo escludendo a priori la possibilità di definire la verità nello stesso linguaggio, ma ciò non è applicabile ai sistemi linguistici naturali.
3. Gerarchia infinita di metalinguaggi
• Per definire la verità in un linguaggio L, serve un metalinguaggio L₁, poi un meta-metalinguaggio L₂, e così via.
• Questa gerarchia è impraticabile nei contesti comunicativi ordinari, dove si utilizza un unico livello linguistico.
4. Limitazioni espressive
• Il teorema di indefinibilità mostra che nessun sistema formale sufficientemente potente può contenere il proprio predicato di verità.
• Nei linguaggi naturali, questa restrizione viene costantemente violata, rendendo la teoria inapplicabile alla semantica quotidiana.
Qual è il legame tra Tarski e Frege?
Entrambi cercano una definizione rigorosa di verità.
Tarski rifiuta il Sinn fregeano come non formalizzabile, mantenendo solo il riferimento (Bedeutung).
Come si rapporta Tarski a Wittgenstein?
Condivide l’attenzione alla forma logica.
Rifiuta la teoria pittografica (“immagine del mondo”) come troppo vaga.
