Teoría

Question 1

Descomposición de una matriz en una simétrica y una antisimétrica

Answer 1

• Simétrica: (M + M^T)/2
• Antisimétrica: (M -M^T)/2

Question 2

Rouché

Answer 2

Sea AX=B y A* = (A|B)

r(A) ~= r(A*) >> SI

r(A) = r(A*) = n >> SCD

r(A) = r(A*) < n >> SCI

Question 3

Probar que A^T+B^T = (A+B)^T

Answer 3

Poner a₁₁ … y sale

Question 4

Espacio Vectorial

+axiomas

Answer 4

Sea V un conjunto de vectores se dice que tiene estructura de espacio vectorial sobre R (escalares) si cumple que:

• x + y = y + x
• x + (y + z) = (x + y) + z
• x + 0 = 0 + x = x Elemento neutro
• x’ + x = x + x’ = 0 Elementp opuesto
• a * (x + y) = a*x + a*y
• (a + b) * x = a*x + b*x
• (a*b)*x = a*(b*x) Pseudoasociativa
• 1*x=x Elemento unidad

Question 5

Variedad lineal

Answer 5

Se denomina varedad lineal de W L(W) al conjunto que contiene todas las combiaciones lineales posibles de W.

Toda variedad lineal es un subespacio vectorial.

Question 6

Subespacio vectorial

Answer 6

Se denomina subespacio vectorial S de V a aque conjunto contenido en éste que tiene estructura de espacio ectorial con las mismas operaciones que V. Cumple que:

• x, y € S >> (x + y) € S
• x € S, a € R >> a*x € S

Question 7

Sistema libre/ligado

Answer 7

Libre si ninguno de sus vectores es combinación lineal de los demás.

Question 8

Equipotencia de bases

Answer 8

B1 = {u1, u2, … u_n} B2 = {v1, v2, … v_m}

Al ser el sistema {u1, u2, … un} combinación lineal de {v1, v2, … vm} (puesto que {v1, v2, … vm} es base de U) concluimos que n <= m (ya que en caso contrario {u1, u2, … un} sería ligado en cntradicción con que sea base).

Y biceversa.

Consecuentemente m = n.

Question 9

Suma e intersección de subespacios

Answer 9

• Suma: L + H = {v = v1 + v2 / v1 € L, v2 € H}
• Intersección: L ^ H = {v € V / v € L y v € H}

Question 10

Teorema de Grassmann

Answer 10

dim(S1 +S2) + dim(S1 ^S2) = dim (S1) + dim(S2)

La suma y la intersección de subespacios vectoriales son subespacios vectoriales, la unión no tiene por qué.

Question 11

Matriz de Gram

Answer 11

• G = diagonal => Base ortogonal
• G = I => Base ortonormal
• Simétrica y definida positiva
• Cambio de base: G’ = C^T * G * C

Question 12

Desigualdad de cauchy swartz

Answer 12

Demostración:

1. Despejamos coseno
2. Elevamos al cudrado
3. cos² E [0,1] => <= 1
4. || x * y || <= ||x|| * ||y||

Question 13

Subespacios ortogonales

Answer 13

Aquellos cuyos vectores (todos los vectores) son ortogonales a todos los del otro.

S1_i * S2_j = 0

Question 14

Teorema espectral

Answer 14

Dada una matriz simétrica A, si existeuna matriz ortogonal P tal que:

P^T * A * P = P^-1 * A * P = D

siendo D una matriz diagonal; podremos afirmar que A admite diagonalización por semejanza ortogonal, es decir que se diagonaliza simultáneamente por congruencia.

Question 15

Demostrar que tres vectores ortogonales dos a dos son LI

Answer 15

a + %b + &c = 0 => # = % = & = 0

a * b = 0 a * c = 0 b * c = 0

Multiplico por a #a² + %0 + &0 = 0 => # = 0

Lo mismo con b y solo queda & = 0

Question 16

Vectores ortogonales

Answer 16

x * y = 0

Question 17

Base ortogonal y ortonormal

Answer 17

Ortogonal: vectores perperndiculares dos a dos.

Ortonormal; base ortogonal de vectores unitarios.

Question 18

Transformación ortogonal.

Answer 18

Endomorfismo que conserva el pproducto escalar.

x * y = f(x) * f(y)

• A * A^T = I
• Conserva módulos y ángulos.
• Autovalores: 1 y -1
• Det = 1 directa
• Det = -1 inversa

Question 19

Demostrar que los únicos autovalores reales de una transformación ortogonal son 1 y -1

Answer 19

T * u = ¬ u

Como en las TO se conserva el módulo

| u | = ¬ | u |

¬ = +- 1

T * u | = | u |

Question 20

Demostrar que el determinante de una transformación ortogonal vale 1 o -1

Answer 20

Todas las landas valen o 1 o -1

los múltiplos de 1 y -1 son 1 y -1.

Question 21

Teorema de inercia / sylvester

Answer 21

Sean M y N dos matrices diagonales que representan a una misma forma cuadrátic, q, en distintas bases. Si en la diagonal de M hay r términos positivos y s términos negativos, en la de N también.

Las matrices simétricas congruentes entre sí tienen la misma signatura.

Question 22

Clasificación de las formas cuadráticas

Answer 22

• Definida Positiva: q(x) > 0 x ~=0
• Definida Negativa: q(x) < 0 x~=0
• Semidefinida positiva: x puede ser 0
• Semidefinida negativa: x puede ser 0
• Indefinida: tiene elementos positivos y negativos

Question 23

Forma polar de una forma cuadrática

Answer 23

Aquella forma bilineal asociada a ésta que además es simétrica.

Question 24

Signatura

Answer 24

Par (r , s) que recoge las cantidades de términos positivos y negativos en la matriz diagonal D congruente con lla matriz Q asociada a la forma cuadrática.

Question 25

Congruencia entre matrices

Answer 25

Sí y solo si tienen la misma signatura.

Question 26

Cónicas degeneradas

Answer 26

A quellas cuya matriz asociada tiene determinanate 0.

• Si el determinante de la partecuadrática:

1. Es 0 –> Rectas paralelas (PARABÓLICO)
2. <0 –> Rectas secantes (HIPERBOLICO)
3. >0 –> Punt (ELÍPTICO)