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TEORÍA DE CONJUNTOS Flashcards

(70 cards)

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1
Q

¿Qué es un conjunto?

A

Un grupo o colección de objetos, cosas, números, elementos, etc.

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2
Q

Cómo se denomina a cada objeto que pertenece a un conjunto?

A

Se le donomina elemento o miembro.

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3
Q

¿Qué es importante para que un conjunto sea útil?

A

Que esté bien definido.
“Los números enteros entre -3 y 5”, está bien definido.
“Los pollos de mi granja que son gordos”, no está bien definido, ya que no se establece claramente el criterio para declarar que un pollo es gordo.

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4
Q

Cuatro formas de expresar un conjunto.

A
  1. Descripción verbal.
  2. Enumeración o listado
  3. Notación de construcción de conjuntos
  4. Diagrama de Venn
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5
Q

¿Cuál es una de las maneras de definir un conjunto utilizando una frase o propiedad?

A

Por descripción verbal. Se utiliza una característica o frase que permite identificar los elementos del conjunto sin dudar.

“Conjunto de números pares menores que 10”

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6
Q

¿Cuál es una de las maneras de definir un conjunto listando todos sus elementos?

A

Por enumeración. Se listan todos los elementos que forman dicho conjunto (generalmente no importa el orden) dentro de llaves, separados por comas. Se evita la repetición de elementos.

{2, 4, 6, 8}

úmeros naturales pares menores que 10,

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7
Q

Si son muchos elementos y siguen un patrón, ¿se puede abreviar la enumeración?

A

Sí se pueden utilizar los tres puntos para indicar que el patrón continúa:
Ej. Las letras del alfabeto; el conjunto puede ser escrito así: {a, b, c, d, … , x, y, z }, o así: {a, b, c, … z}

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8
Q

¿Cuál es otra forma de definir un conjunto?

A

Por la notación de construcción de conjuntos.

{x | x es un número par menor que 10}

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9
Q

¿Qué es la idea de “variable” en la notación por construcción?

A

Para la notación de construcción de conjuntos elegimos una letra o símbolo, por lo general la letra x, ésta es la variable. que representa el elemento general, seguido de una línea vertical, luego de ella establecemos los criterios que determinan a los elementos del conjunto.

{x | x es un número par menor que 10}

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10
Q

¿Cuál es la manera gráfica de definir un conjunto?

A

Utilizando diagramas de Venn. Se dibuja una figura cerrada (recinto) y dentro se colocan los elementos.

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11
Q

¿Cómo se nombran los conjuntos?

A

Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas, por ejemplo, A, B, etc.

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12
Q

¿Qué tipo de paréntesis se usan en la notación de enumeración y construcción?

A

Los paréntesis de corchetes, que abren y cierran indican un conjunto.
{2, 4, 6, 8} = {x|x ∈ N y x < 10}

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13
Q

¿Qué relación existe entre un elemento y un conjunto?

A

La relación de pertenencia. O el elemento pertenece al conjunto o no pertenece.

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14
Q

¿Cuál es el símbolo que significa que un elemento “pertenece” a un conjunto?

A

∈: Un símbolo similar a una ‘e’ redondeada o como el símbolo del euro pero con una sola raya en medio.

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15
Q

¿Cuál es el símbolo que significa que un elemento “no pertenece” a un conjunto?

A

El mismo símbolo de pertenencia, pero tachado.

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16
Q

¿Qué relación principal existe entre dos conjuntos?

A

La relación de inclusión. Un conjunto está dentro de otro conjunto o no lo está.

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17
Q

¿Cuál es el símbolo que significa que un conjunto “está incluido en” o “es subconjunto de” otro conjunto?

A

⊂: Un símbolo similar a una ‘c’ achatada.

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18
Q

Menciona al menos dos formas de leer la expresión “A está incluido en B”.

A

“A es subconjunto de B”,
“A es una parte de B”,
“B contiene a A”.

A⊂B: A es subconjunto de B; A está incluído en B; B contiene a A.

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19
Q

¿Cuándo se dice que un conjunto A está incluido en un conjunto B?

A

Cuando todos los elementos de A pertenecen a B.

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20
Q

¿Cuál es el símbolo que significa que un conjunto “no está incluido en” otro conjunto?

A

⊄: El mismo símbolo de inclusión, pero tachado.

A ⊄ B

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21
Q

¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto de n elementos?

A

2^n

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22
Q

¿Qué establece la propiedad reflexiva de la inclusión?

A

Todo conjunto está incluido dentro de sí mismo.

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23
Q

¿Qué establece la propiedad transitiva de la inclusión?

A

Si un conjunto A está incluido en un conjunto B, y B está incluido en un conjunto C, entonces A está incluido en C.

A ⊂ B ⊂ C → A ⊂ C

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24
Q

¿Qué es el conjunto universal?

A

Es el conjunto que tiene absolutamente todos los elementos según el contexto dado.

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25
¿Cuál es el símbolo común para representar el conjunto universal?
La letra 'U' (a menudo una '*U*' gótica cuando se escribe a mano).
26
¿Cómo se representa el conjunto universal en un diagrama de Venn?
Con un recinto rectangular cerrado (un cuadrado o rectángulo).
27
Si U es el conjunto Universal de un contexto dado, ¿se verifica siempre que cualquier conjunto A de dicho contexto es subconjunto del universo? ¿Por qué?
Sí, se verifica siempre que A es un conjunto del universo o A es subconjunto del universo (A ⊆ U). Esto se sabe que es cierto; cualquier conjunto está dentro del universo
28
Si U es el conjunto Universal de un contexto dado y A es un conjunto de dicho contexto, ¿por qué la afirmación "A pertenece al universo" (A ∈ U) queda descartada como una propiedad que siempre se verifica?
Queda descartada por lo mismo que con el conjunto vacío: la pertenencia es una relación entre elemento y conjunto, y en esta afirmación, A se está tratando como si fuera un elemento, pero la relación de pertenencia no se aplica entre dos conjuntos como tal; la relación correcta entre conjuntos es la inclusión
29
¿Qué es el conjunto vacío?
Es el conjunto que no tiene elementos. | Un número natural entre 8 y 9 es un conjunto vacío, no tiene elementos.
30
¿Cuál es el símbolo común para representar el conjunto vacío?
La letra griega "phi" mayúscula, ∅. (Parece un círculo tachado). | También: { }. Paréntesis de llave sin contenido en su interior.
31
¿Por qué la afirmación "el vacío pertenece al conjunto A" (∅ ∈ A) queda automáticamente descartada como una propiedad que siempre se verifica?
Queda descartada porque la relación de pertenencia es entre un elemento y un conjunto, y en esta afirmación, el conjunto vacío (∅) se está tratando como si fuera un elemento, no un conjunto.
32
¿Cómo se representa el conjunto vacío en un diagrama de Venn?
No se dibuja nada, ya que cualquier recinto cerrado en un diagrama de Venn se asume que contiene elementos.
33
¿Cuándo se dice que dos conjuntos A y B son iguales?
Cuando se cumple que A está incluido en B y, además, B está incluido en A. Esto significa que tienen exactamente los mismos elementos. | **A ⊂ B ∧ B ⊂ A**
34
¿El conjunto A = {2, 4, 6} es igual al conjunto B = {6, 6, 2, 2, 2, 4}?
Sí son iguales, ya que la repetición no añade elementos nuevos y el orden no importa.
35
El conjunto, {x | x es un número natural negativo} y el conjunto {y | y es un número racional e irracional al mismo tiempo}, ¿son iguales?
Sí son iguales, ya que ambos son conjuntos vacíos.
36
¿Cómo se llama la estrategia para comprobar si operaciones con conjuntos dan el mismo resultado, basada en diagramas de Venn?
La estrategia del puzzle
37
Al usar la estrategia del puzzle con un solo conjunto (A) dentro del universo, ¿cuántas "piezas" hay y cómo se suelen enumerar?
Hay 2 piezas. La pieza exterior (fuera de A) se numera como 1, y la pieza interior (dentro de A) se numera como 2.
38
Al usar la estrategia del puzzle con dos conjuntos genéricos (A y B) dentro del universo, ¿cuántas "piezas" hay y cómo se suelen enumerar?
Hay 4 piezas. La pieza exterior se numera como 1, la medialuna de la izquierda (solo A) como 2, el "ojo" (intersección) como 3, y la medialuna de la derecha (solo B) como 4.
39
¿Qué es la unión de conjuntos (A ∪ B)?
Un nuevo conjunto formado por todos los elementos de ambos conjuntos (A y B).
40
¿Qué es la intersección de conjuntos (A ∩ B)?
Un nuevo conjunto formado por los elementos que están repetidos o que son comunes en ambos conjuntos, es decir, los elementos que que están compartidos por los dos conjuntos, (A y B).
41
¿Qué es el complemento de un conjunto (Aᶜ)?
Un nuevo conjunto formado por los elementos que faltan para tener todo el universo. Son los elementos del universo que no pertenecen al conjunto original.
42
¿Qué es la diferencia de conjuntos (A - B)?
Un conjunto formado por los elementos que están en el primer conjunto (A) pero que no están en el segundo conjunto (B); parto de A y le quito lo que es de B.
43
¿Qué es la diferencia simétrica de conjuntos (A Δ B)?
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B, pero no a ambos a la vez.
44
Usando la estrategia del puzzle de 2 conjuntos genéricos (piezas 1-4), ¿qué piezas representan la operación A ∪ B (Unión)?
Las piezas 2, 3 y 4 (los "anteojos")
45
Usando la estrategia del puzzle de 2 conjuntos genéricos (piezas 1-4), ¿qué pieza representa la operación A ∩ B (Intersección)?
La pieza 3 (el "ojo"), la parte compartida.
46
Usando la estrategia del puzzle de 2 conjuntos genéricos (piezas 1-4), ¿qué piezas representan la operación Aᶜ (Complementario de A)?
Las piezas 1 y 4 (lo que no está en A).
47
Usando la estrategia del puzzle de 2 conjuntos genéricos (piezas 1-4), ¿qué pieza representa la operación A - B (Diferencia)?
La pieza 2 (la medialuna de la izquierda), lo que está en A pero no en B.
48
Usando la estrategia del puzzle de 2 conjuntos genéricos (piezas 1-4), ¿qué pieza representa la operación (A Δ B) (Diferencia simétrica)?
Las piezas 2 y 4 (las medialuna de la izquierda y derecha).
49
Usando unión o intersección y la operación diferencia, como se podría calcular (A Δ B) (Diferencia simétrica)?
A Δ B = (A - B) ∪ (B - A) A Δ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
50
Además del caso de dos conjuntos genéricos, menciona otras posibles configuraciones de puzzle para dos conjuntos.
Dos conjuntos disjuntos (intersección vacía), que resultan en 3 piezas (exterior, conjunto A, conjunto B). Un conjunto incluido en otro (subconjunto), que también resulta en 3 piezas (exterior, la "clara del huevo", y la "yema del huevo")
51
¿Qué es la cardinalidad de un conjunto?
Es su número de elementos.
52
¿Cómo se representa la cardinalidad de un conjunto, por ejemplo el conjunto A?
Con el símbolo de almohadilla (#) antes del nombre del conjunto entre paréntesis: # (A). TAmbién n(A) O las iniciales "card(A)".
53
¿Qué es un conjunto finito?
Un conjunto finito es aquel que tiene un número determinado y contable de elementos. Es decir, se puede contar cuántos elementos tiene, y al contar, la lista termina.
54
¿Qué es un conjunto infinito?
Un conjunto es infinito o no finito si no se puede emparejar uno a uno con ningún conjunto de la forma {1, 2, 3. . . ,𝑛} para algún número natural 𝑛.
55
¿Cuál es la otra fórmula para calcular el cardinal de la unión de dos conjuntos A y B (#(A ∪ B)), utilizando las piezas del puzzle (A-B, B-A, A∩B)?
La suma del cardinal de A menos B, más el cardinal de la intersección, más el cardinal de B menos A: #(A ∪ B) = #(A - B) + #(A ∩ B) + #(B - A). Esta fórmula suma el número de elementos en cada una de las "piezas" que forman la unión.
56
¿Qué es el conjunto de partes de un conjunto, por ejemplo el conjunto A?
Es un nuevo conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos del conjunto original (A).
57
¿Cómo se representa el conjunto de partes de un conjunto, por ejemplo el conjunto A?
Con una P gótica (𝒫) y el nombre del conjunto entre paréntesis: 𝒫(A).
58
Si un conjunto A tiene 'm' elementos, ¿cuántos elementos (subconjuntos) tiene su conjunto de partes (𝒫(A))?
Tiene 2 elevado a 'm' elementos (2ᵐ).
59
¿Qué relación(es) especial(es) tiene el conjunto vacío (∅) con el conjunto de partes de cualquier conjunto (𝒫(A))?
El conjunto vacío pertenece a 𝒫(A) (ya que el vacío es un subconjunto de cualquier conjunto y los elementos de 𝒫(A) son los subconjuntos). El conjunto vacío también está incluido en (es subconjunto de) 𝒫(A) (por la propiedad general de que el vacío es subconjunto de cualquier conjunto).
60
¿Cómo se define formalmente la intersección de dos conjuntos A y B utilizando notación de construcción de conjuntos (con 'x' y la barra inclinada)?
La intersección de A y B se define como: A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A y x ∈ B} Se lee: A intersección B está formada por los elementos del universo (U) tal que esos elementos son de A y a la vez esos elementos son de B.
61
Si el conjunto A está formado por los elementos {1, 2, 3, 4} y el conjunto B por los elementos {1, 3, 5, 6}, ¿cuál es la intersección de A y B?
La intersección está formada por los elementos que están repetidos. En este caso, los elementos repetidos son el 1 y el 3. Por lo tanto, la intersección sería el conjunto {1, 3}.
62
Al dibujar conjuntos A y B en un diagrama de Venn y colocar sus elementos, ¿dónde se ubican los elementos que pertenecen a la intersección (A ∩ B)?
Se colocan en el trocito que forma parte de ambos conjuntos, la parte compartida, el "ojo" central si los conjuntos son genéricos y se solapan.
63
¿Qué significa que dos conjuntos se dice que son "disjuntos"?
Significa que no tienen elementos comunes o compartidos. No tienen ningún elemento que esté en A y B a la vez.
64
¿Cómo se expresa formalmente la condición de que dos conjuntos A y B son disjuntos?
Se expresa diciendo que la intersección de A y B es exactamente el conjunto vacío: A ∩ B = ∅
65
¿Cómo se visualizan con diagramas de Venn dos conjuntos que son disjuntos?
Se dibujan los conjuntos separados, sin que haya una parte repetida o común. En el puzzle no existe el "ojo" (la pieza 3)
66
Si el conjunto A está formado por los elementos {a, e, i} y el conjunto B por los elementos {a, b, c}, ¿cuál es la unión de esos dos conjuntos?
Se toman todos los elementos de A {a, e, i} y se añaden los de B que no estén repetidos. Los elementos de B son {a, b, c}. La 'a' ya está, la 'b' y la 'c' no están. Por lo tanto, la unión sería el conjunto {a, e, i, b, c}
67
Al dibujar conjuntos A y B en un diagrama de Venn y colocar sus elementos, ¿dónde se ubican los elementos que pertenecen a la unión (A ∪ B)?
Se colocan todos los elementos que están en A, todos los que están en B, incluyendo los que están en la parte compartida (la intersección). Gráficamente, son todas las piezas que forman los círculos de A y B, (los "anteojos", piezas 2, 3 y 4 del puazzle)
68
¿Qué son las Leyes de Morgan en teoría de conjuntos?
Son propiedades que relacionan las operaciones de complementario con la unión y la intersección de conjuntos. Se parecen mucho a leyes vistas en lógica.
69
¿Cuál es la primera Ley de Morgan en teoría de conjuntos?
El complementario de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus complementarios. Formalmente: **(A ∪ B)' = A' ∩ B'**.
70
¿Cuál es la segunda Ley de Morgan en teoría de conjuntos?
El complementario de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de sus complementarios. Formalmente: **(A ∩ B)' = A' ∪ B'**.

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