Valores y vectores propias. Diagonalización. Flashcards
valores propios (y)
det(A-yI)=0
vectores propios (X)
AX=YX
Multiplicidad geométrica
dimensión del espacio característico, grados de libertad
Mgeo(y)=g=dim(Ey)
Multiplicidad algebraica
n° de veces que se repite un y
Malg(y)=n
Espacio característico
contiene a los X que corresponden a un y
E(y)={X pertenece a los R/ (A-yI)X=0}
sea y un valor propio de A entonces…
y es valor propio de A^t tr(A)=sumatoria de los y y^-1 es valor propio de A^-1 ky es valor propio de kA y^p es valor propio de A^p
en una matriz triangular …
los y son los componentes de la diagonal principal
si A es simétrica entonces …
sus y son n°R y sus X son ortogonales
si A tiene todos sus y distintos ….
los X son linealmente independiente
Diagonalización
DEMOSTRAR
An es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que:
P^-1.A.P=D A=P.D.P-1
P esta compuesta por los X de A
D matriz diagonal compuesta por los Y de A
A y D son matrices semejantes
Sea An si y solo si…
A es inversible
A es producto de matrices elementales
A es equivalente por filas a I
su forma escalonada reducida es I
p(A)=n
det(A) es distinto de cero
AX=B es compatible determinado
AX=O tiene como solución única la trivial
sus vectores filas o columnas son LI, generan a Rn y forman una base de Rn
el operador T es un isomorfismo, p(T)=n y nul(T)=0
Endomorfismo
V=W
Monomorfismo
T es inyectiva (cada valor de x tiene una y distinta)
Epimorfismo
T es sobreyectiva (cada valor de y tiene al menos un valor en x)
Isomorfismo
T es biyectiva (todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.)
