Variables aléatoires, lois de probabilité discrètes et continues

Question 1

Quelles sont les limites des modèles aléatoires (E, P) créés à partir des événements ?

Answer 1

• Pour les expériences à valeurs qualitatives, les événements (succès, échec, pile, face, etc.) sont difficiles à manipuler
• Ce ne sont pas des nombres

Question 2

Quel intérêt émerge alors de ce problème ?

Answer 2

Intérêt de développer une variable aléatoire (R, PX) à partir d’un un modèle aléatoire

Question 3

Que permet la variable aléatoire ?

Answer 3

De transformer tout évènement en un nombre

Question 4

Quel est le but d’une statistique descriptive ?

Answer 4

Question 5

Quel est le but de la variable aléatoire, X ?

Answer 5

Question 6

Qu’est-ce qu’une variable aléatoire ?

Answer 6

C’est une fonction à valeurs réelles définie sur l’ensemble des évènements

Question 7

Quels sont les différents types de variables aléatoires ?

Answer 7

Elles sont de deux types selon l’espace des observations :

Question 8

Quels sont les différents moyens d’obtenir la variable aléatoire discrète X si R, l’espace des obsevation est un ensemble fini ou au moins dénombrable ?

Answer 8

Question 9

Comment pouvons-nous obtenir la variable aléatoire continue X ?

Answer 9

Question 10

Quel est l’autre but d’une variable aléatoire ?

Answer 10

Aussi de simplifier un modèle aléatoire (E, P)

Question 11

Que pouvons-nous donc définir à partir de l’ensemble des évènements ?

Answer 11

A partir de l’ensemble des événements, on a défini l’ensemble des observations

Question 12

Quelle est la formule de la loi de probabilité de X, Px ?

Answer 12

Question 13

De quoi va dépendre son expression ?

Answer 13

Du type de variable aléatoire

Question 14

Quelles sont les caractéristiques de la loi de probabilité de X ?>

Answer 14

Question 15

Comment se trace la loi de probabilité de X ?

Answer 15

Elle se trace par un diagramme en bâtons dont les hauteurs somment sur 1

Question 16

Que permet de modéliser la loi de Jacob Bernoulli B(π) ?

Answer 16

Elle permet de modéliser les expériences “en tout ou rien” (avec deux résultats possibles)

Question 17

Quelles sont les deux conditions de la loi de Jacob Bernoulli ?

Answer 17

Question 18

Que vaut la probabilité d’un évènement pour X en tant que variable aléatoire continue ?

Answer 18

Elle vaut 0 car E n’est donc pas dénombrable

Question 19

Comment décrit-on la variabilité des données dans une loi de X comme variable aléatoire continue ?

Answer 19

Question 20

Que se passe-t-il si on diminue la largeur des intervalles ?

Answer 20

Question 21

Que vaut la probabilité de X dans un intervalle de [a,b] d’une variable aléatoire continue décrite par sa densité de probabilité ?

Answer 21

Question 22

Quelles sont les caractéristiques de la loi de probabilité de X, variable aléatoire continue ?

Answer 22

Question 23

Quelles sont les caractéristiques d’une telle loi ?

Answer 23

Question 24

Quelles sont les caractéristiques de la densité de probabilité ?

Answer 24

Question 25

Que transforme le passage du discret au continu ?

Answer 25

- les sommes Σ en intégrales - Les pi en f(x)dx

Question 26

Quelles sont les différences entre une variable aléatoire discrète et une variable aléatoire continue ?

Answer 26

Question 27

Que permet la loi uniforme [0,1] ?

Answer 27

Elle modélise les "nombres au hasard"

Question 28

Quelles sont les caractéristiques de cette loi uniforme sur [0,1] ?

Answer 28

Question 29

Quelles sont les caractéristiques de la loi uniforme sur [a,b] ? (écriture, formule de la loi de probabilité, valeur de constante...)

Answer 29

Question 30

Quelles sont les caractéristiques de la loi exponentielle ? (ensemble de définition, formule de la densité, écriture...)

Answer 30

Question 31

Que vaut la médiane d'une loi exponentielle ?

Answer 31

Elle vaut : ln(2)*E(x)

Question 32

Quelle est la caractéristique commune du fonctionnement d'une variable aléatoire X discrète et continue ?

Answer 32

Question 33

Quelles sont les caractéristiques de la fonction de répartition d'une variable aléatoire X ?

Answer 33

Question 34

Quelle est la formule de la fonction de répartition pour variable aléatoire discrète ?

Answer 34

Question 35

Quelles sont les caractéristiques de la répartition graphique d'une variable aléatoire discrète d'une fonction de répartition par rapport à une loi de probabilité ?

Answer 35

Question 36

Que vaut la fonction de répartition d'une variable aléatoire continue ?

Answer 36

Question 37

Quelles sont les caractéristiques d'une fonction de répartition d'une variable aléatoire continue X ?

Answer 37

Question 38

Quelles sont les différences entre une fonction de répartition d'une variable aléatoire X discrète et continue ?

Answer 38

Question 39

Comment s'applique la loi uniforme sur [a,b] sur la fonction de répartition d'une variable aléatoire continue ?

Answer 39

Question 40

Comment s'applique la loi exponentielle sur la fonction de répartition ?

Answer 40

Question 41

Quelle est la propriété de la loi exponentielle ?

Answer 41

C'est une loi "sans mémoire" avec | : sachant que, et aussi a et c sont des entiers positifs

Question 42

Quel est le but des moments d'une variable aléatoire X ?

Answer 42

C'est de synthétiser la loi de probabilité de X (par analogie avec les caractéristiques de position et dispersion d’une distribution expérimentale)

Question 43

En quoi consiste les moments d'ordre 1 et 2 ?

Answer 43

Ils consistent en une description de la position pour le moment d'ordre 1 grâce à l'espérance et en une description de la dispersion pour le moment d'ordre 2 grâce à la variance et l'écart-type

Question 44

Comment s'interprète une loi de probabilité ?

Answer 44

Comme une répartition de masse

Question 45

Qu'est-ce que l'espérance ou moyenne d'une valeur aléatoire X ?

Answer 45

C'est le barycentre de cette répartition de masse dite aussi valeur attendue de X, notée souvent µx ou µ et s'exprime différemment selon le type de variable aléatoire

Question 46

Quelle est la formule de l'espérance de la variable aléatoire X discrète ?

Answer 46

Question 47

Que vaut l'espérance de la loi de Bernoulli ?

Answer 47

Question 48

Quelle est la formule de l'espérance de la variable aléatoire X continue ?

Answer 48

Question 49

Que vaut l'espérance de la loi uniforme sur [0,1] ?

Answer 49

Question 50

Que vaut l'espérance de la loi uniforme sur [a,b] ?

Answer 50

Question 51

Que vaut l'espérance d'une loi exponentielle ?

Answer 51

Question 52

Quelles sont les différentes opérations sur les espérances ?

Answer 52

Question 53

Que vaut l'espérance d'une fonction quelconque de g de X ? (selon si X est discrète ou continue)

Answer 53

Question 54

Que mesure la variance de X ?

Answer 54

Elle mesure la dispersion de la densité

Question 55

Que vaut la variance de X ?

Answer 55

Question 56

Que vaut l'écart-type de X ?

Answer 56

Question 57

Quel est le cas particulier où la variance est l'espérance d'une fonction de X ?

Answer 57

Question 58

Quelle est la différence de la variance entre la statistique descriptive et la loi de probabilité de X ?

Answer 58

Question 59

Que valent l'espérance de X et X² d'une variable aléatoire discrète X ?

Answer 59

Question 60

Que vaut la variance de la loi de Bernoulli ?

Answer 60

Question 61

Que valent l'espérance de X et de X² d'une variable aléatoire continue X ?

Answer 61

Question 62

Que vaut la variance sur une loi uniforme sur [0,1] ?

Answer 62

Question 63

Que vaut la variance sur une loi uniforme sur [a,b] ?

Answer 63

Question 64

Que vaut la variance sur une loi exponentielle ?

Answer 64

Question 65

Quelles sont les opérations sur les variances ?

Answer 65