Vecteurs Flashcards
Quelques notions sur les vecteurs, les espaces vectoriels et autres (27 cards)
Qu’est-ce qu’un vecteur ?
Objet mathématique avec une direction, une norme (longueur) et un sens.
Peut être représenté :
Géométriquement : une flèche 🠒 dans l’espace.
Algébriquement : une liste de nombres [x, y, z].
Exemple : [3, -2] = déplacement de 3 unités à droite, 2 vers le bas.
⚠️ Piège : Un point a des coordonnées mais pas de direction/norme !
Bonus: En algèbre, un vecteur est un élément d’un espace vectoriel, muni de règles d’addition et de multiplication par un scalaire.
Quelle est la différence entre un vecteur et un scalaire ?
Scalaire : Nombre seul (ex : 5, -3.2).
Utilisé pour mettre à l’échelle un vecteur (3 × [1, 2] = [3, 6]).
Vecteur : Déplacement avec direction/norme (ex : [1, 2]).
Analogie :
Scalaire = température (25°C).
Vecteur = vitesse du vent (25 km/h vers le nord).
En résumé :
“Scalaire = le nombre de base qui mesure ou redimensionne.”
Quelles sont les 3 opérations de base sur les vecteurs ?
Addition : [1, 2] + [3, 4] = [4, 6] (concaténer les déplacements).
Multiplication par scalaire : 2 × [1, 2] = [2, 4] (zoomer/dézoomer). Produit scalaire : [1,2] * [3,4] = 1*3 + 2*4 = 11 (mesure l'alignement).
Peut-on dire qu’un objet mathématique est un vecteur ? Quand?
Oui, si on définit :
Addition : (x² + 1) + (2x + 3) = x² + 2x + 4.
Multiplication scalaire : 3 × (x²) = 3x².
Base canonique : {1, x, x²} → x² + 1 = [1, 0, 1].
Pourquoi ? Car ça obéit aux mêmes règles qu’un vecteur géométrique.
Comment représenter un objet complexe (ex : polynôme, image) comme un vecteur ?
Attributs → Composantes :
On isole des attributs mesurables de l’objet (ex : coefficients du polynôme, pixels de l’image).
Chaque attribut devient une composante du vecteur.
Exemple :
Polynôme 3x² + 1 → [3, 0, 1] (coefficients de x², x, terme constant).
Image 2x2 pixels → [255, 0, 128, 64] (valeurs RGB flatten).
Règles obligatoires :
Les attributs doivent être additifs et multiplicables par un nombre.
Interdit : Attributs non-numériques (ex : couleur "rouge" sans encodage).
Pourquoi ?
Permet d’appliquer l’algèbre linéaire à des problèmes concrets (IA, physique, etc.).
⚠️ Piège : Bien choisir les attributs pour que les opérations aient un sens !
Donne un exemple d’espace vectoriel “bizarre” et explique.
Exemple : L’espace des fonctions sinusoïdales (ex : a·sin(x) + b·cos(x)).
Addition : sin(x) + cos(x) = nouvelle fonction.
Multiplication scalaire : 2 × sin(x) = fonction amplifiée.
Base : {sin(x), cos(x)} → Toute sinusoïde s’écrit comme combinaison de ces deux "vecteurs de base".
💡 Intuition :
Les fonctions sont des vecteurs en dimension infinie (car une infinité de points les définissent). On travaille avec des sous-espaces (ex : polynômes de degré ≤ 3) pour simplifier.
Analogies :
Une famille de fonctions = un "nuage de points" dans un espace abstrait. L’intégrale du produit (∫f(x)g(x)dx) = généralisation du produit scalaire.
Un espace vectoriel, c’est juste un cadre où des objets “bizarres” (fonctions, polynômes) obéissent aux mêmes règles que les vecteurs géométriques.
Pourquoi dit-on qu’une fonction est un vecteur de dimension infinie ?
Car on peut la voir comme une infinité de valeurs (f(x)) pour chaque x ∈ ℝ. Chaque “composante” est la valeur en un point, donc infinie.
Que signifie faire le produit scalaire de deux fonctions ?
C’est intégrer le produit des deux fonctions sur un intervalle donné : ∫f(x)g(x)dx. Cela mesure leur “ressemblance” comme le produit scalaire le fait pour les vecteurs classiques.
Quand utilise-t-on l’intégrale pour le produit scalaire ?
Quand les vecteurs ont une infinité de composantes (comme les fonctions continues). L’intégrale joue alors le rôle de somme infinie.
Que représente le produit scalaire entre deux vecteurs ?
Une mesure de leur similarité ou de leur “alignement”. Plus le produit scalaire est grand, plus ils pointent dans la même direction.
Pourquoi représente-t-on une fonction par une expression (genre x²) ?
Pour la manipuler plus facilement. Mais même les fonctions simples ont en réalité une infinité de composantes ; les autres sont juste nulles.
Quelle est la vraie nature d’une fonction (dans l’optique de l’algèbre linéaire) ?
Un objet abstrait qu’on peut manipuler comme un vecteur. Elle transforme des réels (ou autres) en réels, mais ce n’est qu’une de ses représentations concrètes.
Comment représente-t-on un polynôme f(x)=2+3x+5x2f(x)=2+3x+5x2 comme un vecteur ?
On associe chaque coefficient à une base (1,x,x2)(1,x,x2) pour obtenir le vecteur (2,3,5)(2,3,5). C’est une représentation dans un espace vectoriel fini
Dans quel cas une fonction est vue comme un vecteur de dimension infinie ?
Quand elle ne peut pas être exprimée simplement par une base finie (ex: sin(x),exsin(x),ex). On la représente alors comme une infinité de valeurs (f(0),f(0.001),f(0.002),… )(f(0),f(0.001),f(0.002),…).
Pourquoi certaines fonctions sont représentées par un vecteur infini de composantes ?
Parce qu’on associe à chaque réel une valeur f(x)f(x), donc il y a une infinité de “dimensions”, chaque dimension étant liée à une valeur de xx.
Quelle opération remplace la somme dans les produits scalaires pour fonctions continues ?
L’intégrale ∫f(x)g(x)dx∫f(x)g(x)dx, qui est l’analogue continu du produit scalaire discret.
Quelle est la différence entre représenter une fonction par ses coefficients ou ses valeurs ?
Coefficients = représentation dans une base finie (ex: pour polynômes).
Valeurs = représentation infinie (fonction définie point par point sur un intervalle).
Pourquoi utilise-t-on la 2e représentation (valeurs de la fonction) pour les fonctions générales ?
Car toutes les fonctions n’ont pas une expression simple avec un nombre fini de termes. La 2e représentation est plus générale.
Le produit scalaire est-il toujours le même pour deux objets donnés ?
Non. Le produit scalaire dépend de l’espace vectoriel choisi et de la définition du produit scalaire dans cet espace. Deux mêmes objets peuvent avoir des produits scalaires différents selon qu’on les considère comme vecteurs finis, fonctions continues, polynômes, etc. C’est le cadre (type d’espace et base choisie) qui détermine le sens et la valeur du produit scalaire.
Qu’est-ce qu’un espace vectoriel ?
Un espace vectoriel est un ensemble d’objets (comme des vecteurs, fonctions, polynômes, etc.) sur lequel on peut faire deux opérations : l’addition et la multiplication par un scalaire, tout en respectant des règles précises (comme la distributivité, l’associativité, etc.). Chaque espace vectoriel contient des objets du même type et permet de faire des combinaisons linéaires entre eux.
Que signifie vect(a, b) en algèbre linéaire ?
vect(a, b) (ou parfois noté Vect{a, b}) désigne le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs a et b.
Autrement dit, c’est l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles de a et b.
Formellement :
vect(a,b)={λa+μb∣λ,μ∈R}
vect(a,b)={λa+μb∣λ,μ∈R}
Ce que ça veut dire : on prend a et b, on les étire, on les inverse, on les combine avec n’importe quels réels λ et μ → ça donne un espace vectoriel qui contient toutes ces combinaisons.
Exemple concret :
Si a = (1, 0) et b = (0, 1) dans ℝ², alors vect(a, b) = ℝ² tout entier.
NB: On peut faire le vect avec un seul vect ou plus de 2 vecteurs
Qu’est-ce que des vecteurs linéairement dépendants ?
Ce sont des vecteurs pour lesquels il existe une combinaison linéaire non triviale (au moins un coefficient ≠ 0) qui donne le vecteur nul. En gros, l’un des vecteurs peut être exprimé comme une combinaison linéaire des autres.
Qu’est-ce que des vecteurs linéairement indépendants ?
Ce sont des vecteurs pour lesquels la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont égaux à zéro. Aucun vecteur ne peut être obtenu à partir des autres.
Qu’est-ce qu’une famille de vecteurs liée ?
Une famille (v1,…,vk) est liée s’il existe des scalaires λi, pas tous nuls, tels que
λ1v1+⋯+λkvk=0. Cela signifie qu’au moins un vecteur de la famille dépend linéairement des autres.
