Wahrscheinlichkeitsrechnung Flashcards
(38 cards)
Wie werden in der wahrscheinlichkeitstheorie jeder vorgang der beobachtung oder messung bezeichnet
Expiriement
Zufallsvariable Aufgabe
verhält sich wie Funktion und ordnet den ergebnissen eines statischen expiriements werte zu und hat eine Verteilungsfunktion, wodurch Vorhersagen über das Auftreten emp. Ereignisse möglich sind
statisches Experiment
in der mathematischen Statistik jeder Prozess der Beobachtungen oder Messungen als Experiment bezeichnet
Grundgesamtheut Omega bezeichnet…
Menge aller möglichen Ergebnisse eines statischen Experiments (Stichprobenraum)
2 Arten von Stichprobenräumen
diskret, kontinuierlich
diskret, wenn
Ergebnisse eines statistischen Experiements endlich sind
stetig, wenn
Omega ein Kontinuum beschreibt
Postulate der Wahrscheinlichkeit
P(A)≥0 für jedes A
P(Omega)= 1
P(A∪B)=P(A)+P(B)fallsA∩B=∅ (wenn A und B sich ausschließen)
Wenn∅ eine leere Menge ohne Elemente aus Ω ist, erklären Sie, dass die
Wahrscheinlichkeit P ∅ ) = 0 ist
Wählen wir A = Ω und B = ∅, dann gilt:
𝑃(ΩU∅) = P(Ω) + P(∅)
Da Ω U ∅ = Ω ist und nach dem Normierungsaxiom
P(Ω)=1 gilt, erhalten wir:
1=1+P(∅).
Umstellen ergibt:
P(∅)=0.
was ist und was macht die zufallsvariable X
Die Zufallsvariable X ist eine Funktion, die einer Teilmenge des Stichprobenraums
einen numerischen Wert x zuordnet, wobei X je nach Ω entweder diskret oder
kontinuierlich sein kann
Wann ist X eine diskrete Zufallsvariable ? (Formel)
f (x)= P (X= x)
was beschreibt Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
für eine kontinuirliche Zufallsvariable X kann eine Wahrscheinlichkeit ungleich 0 für einen Wertebereich definiert werden. dabei ist dann f(x) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, wobei die fläche unter der kurve zwischen 2 werten a und b die wahrscheinlichkeit für jeden Wert zwischen a und b definiert
was beschreibt die Verteilungsfunktion F(x) = P(X<=x)
bestimmt die wahrscheinlichkeit , dass X einen wert von höchstens x annimmt. dabei ist F(x)= P(X<=x) = Integral von -oo bis x für f(t)dt
Mittelwert X drückt den Erwartungswert E für eine funktion aus. (Formel)?
µ = Integral(-00 bis oo) von f(x)dx
Varianz von X ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichung vom Mittelwert E(X-µ)^2 und wird mit sigma^2 bezeichnet. Varianz gibt an wie weit de werte von X vom mittelwert abweichen (Formel)
σ^2= E[(X− µ)^2] = Integral(-oo bis oo) (x-µ)^2 -f(x) dx
Normalverteilung Formel
f(x)= 1 / (sigma * sqrt(2pi)) * exp(-(x-µ)^2/ 2sigma^2)
gemiensame Dichtefunktion g(x,y). Für kontinuiriche zufallsvariable ist dieses Paar (x,y) ein Punkt auf der xy Ebene (Formel)
∫ ∫ g(x,y)dxdy=1. (Integrale jweiles von -oo bis oo)
Randdichte von X Formel
f X (x)=∫ g(x,y)dy ( von -oo bis oo)
gibt an wie wahrscheinlich es ist, dass
X einen bestimmten Wert x annimmt, unabhängig von 𝑌
Bedingte Dichte Erklärung und formel
Die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschreibt die Verteilung einer Zufallsvariablen
𝑋, gegeben, dass eine andere Zufallsvariable
𝑌 einen bestimmten Wert annimmt (oder umgekehrt). Sie gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten ändern, wenn eine Information über eine der Variablen bekannt ist.
Die bedingte Dichtefunktion von
𝑋 gegeben dass 𝑌=𝑦, wird durch die folgende Formel definiert:
𝑓X|Y(𝑥∣𝑦)=𝑔(𝑥,𝑦) / f𝑌(𝑦)
und anders herum für Y
f X∣Y(x∣y) = Bedingte Dichte von X, wenn Y=y.
𝑔(𝑥,𝑦) = Gemeinsame Dichtefunktion von
𝑋 und 𝑌
𝑓𝑌(𝑦) Randdichte von 𝑌 ( marginale Dichte von Y)
𝑓𝑋(𝑥) Randdichte von 𝑋 marginale Dichte von
𝑋
Zufallsvariablen X und Y unabhängig, wenn (formeln)
g(x,y) = f(x) * f(y) ( wenn gemeinsame dichte das produkt der 2 randdichten ist)
oder h(x|y) = f(x)
Was ist eine Zufallsprobe
Nachdem eine zufallsvariable X mit einer verteilung definiert wurde, kann der erwartungswert von X als die durchschnittliche Lage der Verteilung von X über eine zufallsstichprobe interpretiert werden
Tschebyscheffsche Ungleichung (beschreibung)
dient als Maßstab dafür, wie nahe am Mittelwert ein Wert der Zufallsvariable X liegen kann. Sie gibt an wie eine Zufallsvariable von ihrem Mittelwert um mehr als eine bestimmte Anzahl von Standardabweichungen abweicht.
Tschebyscheff Ungleichung (Formel)
P(∣X−μ∣≥kσ)≤ 1/k^2 Die untere
Schranke, die sich aus der Tschebyscheffschen Ungleichung ergibt, gilt jedoch für jede
Verteilung, die eine Zufallsvariable haben kann, nicht nur für eine Normalverteilung
Zufallsstichprobe (Beschreibung)
Wenn X1, X2, . . . , Xn unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen sind,
sagt man, dass die Zufallsvariablen eine Stichprobe aus einer gemeinsamen
Verteilung darstellen.
