Warscheinlichkeitsrechnung

Question 1

Zufallsexperiment (Definition)

Answer 1

Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang mit folgenden Eigenschaften:

• Es wird nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführt.
• Es lässt sich beliebig oft wiederholen.
• Mehrere Ergebnisse sind möglich.
• Ein Ergebnis lässt sich nicht mit Sicherheit vorhersagen.

Question 2

Ereignisraum Ω (Erklärung)

Answer 2

Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments bildet den Ereignisraum Ω.

Question 3

Ereignis (Definition)

Answer 3

Jede Teilmenge A des Ereignisraumes Ω eines Zufallsexperiment heißt Ereignis (A ⊆ Ω).
Ein Ereignis A tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments aus dieser Teilmenge ist.

Question 4

Elementarereignis (Erklärung)

Answer 4

Ein Ereignis mit genau einem Element heißt Elementarereignis.

Question 5

Sicheres Ereignis (Erklärung)

Answer 5

Ein Ereignis, das bei jeder Durchführung des Zufallsexperiments eintritt, heißt sicheres Ereignis. Das sichere Ereignis entspricht dem Ereignisraum Ω.

Question 6

Unmögliches Ereignis { } (Erklärung)

Answer 6

Ein Ereignis, das nie eintreten kann, heißt unmögliches Ereignis { } (Bezeichnung mit leerer Menge)

Question 7

Komplementärereignis oder Gegenereignis (Erklärung)

Answer 7

Das Komplementärereignis oder Gegenereignis von A ist jenes Ereignis A¯, das eintritt, wenn A nicht eintrifft (A¯ = Ω \ A).

Question 8

Und-Ereignis (Erklärung)

Answer 8

Das Und-Ereignis von A und B ist das Ereignis, dass A und B eintritt (A ∩ B). “Und” wird verwendet im Sinne von “sowohl als auch”.

Question 9

Unvereinbare Ereignisse (Erklärung)

Answer 9

A und B sind unvereinbare Ereignisse, einander ausschließende Ereignisse, wenn die Teilmengen A und B kein Element gemeinsam haben (A ∩ B) = { }.

Question 10

Oder-Ereignis (Erklärung)

Answer 10

Das Oder-Ereignis von A und B ist das Ereignis, dass entweder A oder B eintritt oder beide zugleich eintreten (A ∪ B).

Question 11

A ∩ A¯ = ?

Answer 11

A ∩ A¯ = { }

A und A¯ sind unvereinbar

Question 12

A ∪ A¯ = ?

Answer 12

A ∪ A¯ = Ω

A und A¯ ergänzen sich zum Ereignisraum Ω.

Question 13

Darstellungsformen von Wahrscheinlichkeiten (Veranschaulichung)

Answer 13

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A (z.B. P(A) = 0,4) kann auf verschiedene Arten angegeben werden:

• als Dezimalzahl, P(A) = 0,4
• als Prozentzahl, P(A) = 40 %
• als Bruchzahl, P(A) = 2/5
• als Häufigkeit, 4 von 10
• als Chance, 2 : 3

Question 14

(1 von 3)
Satz: Eigenschaften der klassischen Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit von Ereignissen:

• Sicheres Ereignis (Formel)
• Unmögliches Ereignis (Formel)
• ({ } ⊆ A ⊆ Ω) (Formel)

Answer 14

P(Ω) = 1
sicheres Ereignis

P({ }) = 0
unmögliches Ereignis

0 ≤ P(A) ≤ 1 = ({ } ⊆ A ⊆ Ω)

Question 15

(2 von 3)
Satz: Eigenschaften der klassischen Wahrscheinlichkeit

Additionssätze:

falls A und B unvereinbar, d. h. A ∩ B = { } (Formel)

für beliebige Ereignisse (Formel)

Answer 15

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
  falls A und B unvereinbar, d. h. A ∩ B = { }
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
  für beliebige Ereignisse

Question 16

(3 von 3)
Satz: Eigenschaften der klassischen Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses:

(da A¯ ∪ A = Ω und A¯ ∩ A = { })

Answer 16

• P(A¯) = 1 - P(A)

da A¯ ∪ A = Ω und A¯ ∩ A = { }

Question 17

Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit (Laplace-Wahrscheinlichkeit)

(+ Formel)

Answer 17

• Ω sei ein endlicher Ereignisraum mit gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen, A sei ein Ereignis.
• Die Anzahl der in A enthaltenen Ergebnisse ist die Anzahl der für A günstigen Ergebnisse, die Anzahl der im Ereignisraum Ω enthaltenen Ergebnisse ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse.
• P(A) = Anzahl der für A günstigen Ergebnisse/ Anzahl der möglichen Ergebnisse = g/m
• P(A) heißt Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A.