YO Flashcards

Question

paloittain määritelty funktio

Answer 1

funktio, jolla on määrittelyjoukkonsa eri osissa eri lauseke. kohdissa, joissa funktion lauseke vaihtuu, funktio voi olla epäjatkuva, vaikka kaikki määrittelyssä käytetyt lausekkeet vastaisivat jatkuvia funktioita. Sama pätee derivoituvuuteen.

Answer 2

vaan sellaisissa kohdissa, joissa funktio on määritelty

Answer 3

jatkuvuus tarkoittaa jatkuvuutta määrittelyjoukossa. Jatkuvuus kaikkialla sisältää lisävaatimuksen, että määrittelyjoukko on reaalilukujen joukko

Answer 4

jos funktio derivoituva, se on myös jatkuva, mutta jatkuvuus ei takaa derivoituvuutta

Answer 5

kaikki polynomi-, rationaali-, potenssi-, eksponentti-, logaritmi- ja trigonometriset funktiot sekä näiden yhdistelmät. Juurifunktiot ovat määrittelyjoukossaan derivoituvia lukuun ottamatta kohtaa x = 0. Samoin itseisarvofunktio |x| on derivoituva lukuun ottamatta kohtaa x = 0. Kun tutuista funktioista kootaan funktio paloittain määrittelemällä, derivoituvuutta tarvitsee yleensä tutkia erotusosamäärän avulla ainoastaan kohdissa, joissa funktion lauseke vaihtuu.

Answer 6

paloittain määritellyn funktion määrätty integraali lasketaan osissa, ajatellen funktion f olevan osaväleillä jatkuva päätepisteisiin saakka (vaikka päätepisteessä olisikin epäjatkuvuus). Tämä määritelmän laajennus on toimiva, jos funktiolla f on lausekkeenvaihtumiskohdissa toispuoliset raja-arvot.

Answer 7

jollakin välillä jatkuvalla funktiolla on aina integraalifunktio kyseisellä välillä, mutta epäjatkuvalla funktiolla ei sellaista välttämättä ole. Paloittain määritellyn, jatkuvan funktion f integraalifunktio F löydetään integroimalla palaset ja valitsemalla integroimisvakiot siten, että lopputulos on jatkuva. Jatkuvuuden varmistaminen riittää: integraalifunktio (jonka olemassaolo siis tiedetään) ei voi olla muukaan kuin sellainen funktio, joka saadaan liittämällä osaväleillä muodostetut integraalifunktiot jatkuvilla liitoksilla toisiinsa.

Answer 8

Jos funktion f arvo kasvaa rajatta kun x lähestyy a. Funktion arvon rajattomalla kasvamisella (vastaavasti pienenemisellä) tarkoitetaan sitä, että arvo ylittää (alittaa) jokaisen ennalta asetetun rajan, kunhan x valitaan riittävän läheltä kohtaa a.

Answer 9

Osamäärällä ei ole raja-arvoa, mutta sillä on ainakin toispuoliset epäoleelliset raja-arvot, mikäli osamääräfunktio on jatkuva tarkastelukohdan läheisyydessä (itse kohdan ulkopuolella). Epäoleellisten raja-arvojen tyyppi pitää selvittää funktion merkin perusteella.

Answer 10

jos funktiolla f on kohdassa a epäoleellinen raja-arvo, funktion kuvaaja kääntyy kohtaa lähestyttäessä yhä enemmän suoran x = a suuntaiseksi. Suoraa x = a sanotaan tällöin kuvaajan pystysuoraksi asymptootiksi. Nimitystä käytetään, vaikka funktiolla olisi vain toispuolinen epäoleellinen raja-arvo kohdassa a.

Answer 11

on b, jos funktion arvo lähestyy lukua b, kun x kasvaa rajatta.

Answer 12

jos funktiolla on raja-arvo b äärettömyydessä, funktion kuvaaja kääntyy yhä enemmän suoran y = b suuntaiseksi. Suoraa y = b sanotaan tällöin kuvaajan vaakasuoraksi asymptootiksi.

Answer 13

Jos funktion f arvo kasvaa rajatta, kun x kasvaa rajatta, funktiolla f on äärettömyydessä epäoleellinen raja-arvo ääretön.

Answer 14

kun a>1, x:n lähestyessä ääretöntä funktion arvo lähestyy ääretöntä ja kun x lähestyy miinus ääretöntä funktion arvo lähestyy nollaa. toisin päin jos 0

Answer 15

kun x lähestyy ääretöntä, arvo lähestyy ääretöntä

Answer 16

kun x lähestyy ääretöntä, arvo lähestyy ääretöntä. kun x lähestyy nollaa oikealta, arvo lähestyy miinus ääretöntä

Answer 17

se joko suppenee, jos kyseinen raja-arvo on olemassa tai hajaantuu (ei äärellistä raja-arvoa)

Answer 18

määrätyn integraalin raja-arvo, kun x lähestyy ala- tai ylärajaa

Answer 19

integraali lasketaan summana jakokohtaa käyttäen. integraali suppenee vaan jos molemmat suppenee. vastaava jako jos integroimisväli äärettömät tai väli a:sta äärettömään(tai miinus äärettömään) ja integroitava funktio on rajoittamaton päätepisteen a läheisyydessä. Integroimisväli on jaettava osiin myös silloin, kun integroitava funktio on rajoittamaton integroimisvälin jonkin sisäpisteen läheisyydessä.

Answer 20

jos se on jatkuva mahdollisia yksittäisiä kohtia lukuun ottamatta ja jos f(x)>=0 kaikilla x ja P(A<=X<=B) on määrätty integraali b yli a:n, kun a<=b

Answer 21

Satunnaismuuttuja, jolla on tiheysfunktio.

Answer 22

joo, tiheysfunktioksi kutsutaan jokaista funktiota, joka on jatkuva mahdollisia yksittäisiä kohtia lukuun ottamatta ja johon pätee f(x)>=0 kaikilla x ja kuvaajan ja x-akselin välinen pinta-ala on 1

Answer 23

F on kasvava ja jatkuva.

Answer 24

integroimalla

Answer 25

Tiheysfunktion arvoa epäjatkuvuuskohdissa ei saada selville kertymäfunktion perusteella, mutta arvolla ei ole merkitystäkään. Yksittäinen arvo ei vaikuta tiheysfunktion kuvaajan ja x-akselin välisen alueen pinta-alaan, joten tiheysfunktiolle voidaan valita mikä tahansa ei-negatiivinen arvo.

Answer 26

jakauman tiheysfunktio on symmetrinen. kuvaa hyvin esimerkiksi mittausvirheitä ja vaihteluita luonnonilmiöissä. Normaalijakauma on keskeisessä roolissa myös tilastollisessa päättelyssä, kuten mielipidetutkimusten luotettavuuden arvioinnissa. tiheysfunktion kuvaajan yksityiskohdat määrää odotusarvo (symmetrinen sen suhteen) ja keskihajonta (jakauman leveys). normaalijakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan arvoista noin 68% korkeintaan yhden keskihajonnan päässä odotusarvosta, 95% kahden ja 99,7% kolmen

Answer 27

ei pystytä muodostamaan. integraalia arvioidaan numeerisesti

Answer 28

jos ln X on normaalisti jakautunut. Tiheysfunktio on tällöin positiivinen kaikilla x > 0 ja nolla kaikilla x ≤ 0.

Answer 29

Funktio g on funktion f käänteisfunktio, jos g( f(x)) = x kaikilla x, joilla f on määritelty, f( g( y)) = y kaikilla y, joilla g on määritelty. käänteisfunktiot kumoavat toisensa. merkitään usein f^-1

Answer 30

Funktiolla on käänteisfunktio täsmälleen silloin, kun funktio saa jokaisen arvonsa vain kerran. b) Jos funktion määrittelyjoukko on jokin väli ja funktio on aidosti monotoninen tällä välillä, funktiolla on käänteisfunktio.

Answer 31

toistensa peilikuvat suoran y=x suhteen

Answer 32

määrittelyjoukko on funktion f arvojoukko (luvut y) arvojoukko on funktion f määrittelyjoukko (luvut x).

Answer 33

jos funktion kuvaajalla on pisteessä (a,b) vaakasuora tangentti, käänteisfunktion kuvaajalla on pisteessä (b,a) pystysuora tangentti -> ei derivaattaa

Answer 34

Vaikka funktiolla f ei olisi käänteisfunktiota, määrittelyjoukkoa rajoittamalla saatetaan pystyä muodostamaan funktio, jolla on käänteisfunktio. Määrittelyjoukon rajoittamisen jälkeen kyseessä on eri funktio (vaikka lauseke on sama), joten on parempi merkitä funktiota eri kirjaimella.

Answer 35

Funktiomerkinnässä voi olla arvojoukon Af tilalla jokin arvojoukkoa suurempi maalijoukko B ( f: Mf → B). Usein maalijoukoksi merkitään ℝ , etenkin jos arvojoukkoa ei tunneta.

Answer 36

y-akselin suhteen symmetrinen yhtenäinen käyrä

Answer 37

origon suhteen symmetrinen yhtenäinen nouseva käyrä

Answer 38

enintään n − 1 kertaa. Parilliset kääntyvät vähintään kerran, parittomat eivät välttämättä kertaakaan.

Answer 39

kun sillä ei ole nollakohtia

Answer 40

Monet ohjelmat eivät huomioi moninkertaisia nollakohtia sovittaessaan polynomifunktiota annettuihin pisteisiin.

Answer 41

kaikki lausekkeet, jotka voidaan muodostaa polynomeista yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskuilla. voidaan aina saattaa kahden polynomin osamäärän muotoon.

Answer 42

Ellei toisin mainita, määrittelyjoukko on koko se joukko, jossa funktion lausekkeella on jokin yksiselitteinen reaalilukuarvo. määrittelyjoukon määrää alkuperäinen lauseke

Answer 43

täytyy varmistaa, että toinenkin lauseke on ei-negatiivinen

Answer 44

muodostuvat, kun kaksi suoraa leikkaa. Ristikulmat 𝛼 ja 𝛽 ovat yhtä suuret

Answer 45

muodostuvat suoran leikatessa kahta muuta suoraa. Leikkauspisteisiin syntyneet kulmat ovat samankohtaiset, jos leikkaava suora on molemmissa oikea tai molemmissa vasen kylki. yhtä suuret täsmälleen silloin, kun suorat a ja b ovat yhdensuuntaiset.

Answer 46

Kulma voidaan nimetä ilmoittamalla ensin sen oikealla kyljellä oleva piste, sitten kulman kärki ja viimeisenä vasemmalla kyljellä oleva piste.

Answer 47

aloitetaan yleensä vasemmasta alakulmasta ja edetään vastapäivään.

Answer 48

jos murtoviiva on suljettu eli sen alku- ja loppupisteet ovat samat ja jos viiva ei leikkaa itseään

Answer 49

nelikulmio, jonka yhdet vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset

Answer 50

nelikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä

Answer 51

kaikki sivut ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat yhtä suuria.

Answer 52

Monikulmion, jossa on n kärkeä, kulmien summa on (n − 2) ⋅ 180°.

Answer 53

jana, joka yhdistää monikulmion ei-vierekkäiset kärjet

Answer 54

- vastakkaiset kulmat ovat pareittain yhtä suuret. - vastakkaiset sivut ovat pareittain yhtä pitkät. - lävistäjät puolittavat toisensa

Answer 55

vastakkaiset kärjet yhdistävät lävistäjät leikkaavat keskipisteessä

Answer 56

Kaksi kuviota ovat yhdenmuotoiset, jos niiden pisteet voidaan saattaa vastaamaan toisiaan siten, että kuvioissa toisiaan vastaavien pituuksien suhde on aina sama ja toisiaan vastaavat kulmat ovat aina yhtä suuria. kuviot ovat yhdenmuotoiset täsmälleen silloin, kun toinen kuvio saadaan toisesta suurentamalla, pienentämällä, siirtämällä, kiertämällä, peilaamalla tai yhdistämällä edellisiä.

Answer 57

yhdenmuotoisten kuvioiden vastinpituuksien suhde.

Answer 58

yhdenmuotoiset ja samankokoiset

Answer 59

Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuret kuin vastaavat kulmat toisessa kolmiossa, kolmiot ovat yhdenmuotoiset

Answer 60

mittakaavan neliö

Answer 61

sama kuin kulmien vastaisten sivujen suuruusjärjestys

Answer 62

origokeskinen1-säteinen ympyrä. kun p on kulmaa alfa vastaava kehäpiste, kulman alfa sini on kehäpisteen y-koordinaatti ja kosini x-koordinaatti

Answer 63

niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana kiinteästä tason pisteestä. Kiinteää pistettä kutsutaan ympyrän keskipisteeksi ja etäisyyttä keskipisteestä ympyrän säteeksi.

Answer 64

ympyrän kehän pituuden ja halkaisijan suhde

Answer 65

Kaarta vastaava, kahden säteen väliin muodostuva kulma

Answer 66

kahden ympyrän kehän pisteen välinen jana

Answer 67

kaarta vastaavan keskuskulman suuruus

Answer 68

kulma, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kyljet ovat ympyrän jänteitä. puolet samaa kaarta vastaavasta keskuskulmasta. Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuria. Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora.

Answer 69

suora, joka sivuaa ympyrää yhdessä pisteessä. Tangentti on kohtisuorassa ympyrän sivuamispisteeseen piirrettyä sädettä vastaan.

Answer 70

Tangenttien leikkauspisteeseen muodostuva ympyrän sisältävä kulma. Tangenttikulman 𝛽 ja sitä vastaavan keskuskulman 𝛼 summa on 180°

Answer 71

janan keskipisteen kautta kulkeva normaali. Piste on janan keskinormaalilla täsmälleen silloin, kun se on yhtä kaukana janan päätepisteistä.

Answer 72

kulman kahtia jakava puolisuora. Piste on alle 180°:n kulman kulmanpuolittajalla täsmälleen silloin, kun se on kulman sisäpuolella ja yhtä kaukana kulman kyljistä.

Answer 73

Ympyrän keskipiste sijaitsee kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspisteessä.

Answer 74

ympyrän keskipiste sijaitsee kulmanpuolittajien leikkauspisteessä.

Answer 75

keskinormaalien, mediaanien ja kulmanpuolittajien leikkauspisteet

Answer 76

avaruuskappale, jota rajoittavat tasokuviot eli tahkot ovat monikulmioita

Answer 77

piirtotasoa vastaan kohtisuorat janat piirretään 45°:n kulmaan ja puolet lyhyemmiksi. Ruudukossa voidaan käyttää sääntöä, että ruudun lävistäjä on noin puolet kolmesta ruudun sivusta

Answer 78

Monitahokas on kupera, jos mikään sen kahta pinnan pistettä yhdistävä jana ei käy monitahokkaan ulkopuolella.

Answer 79

kupera monitahokas, jonka tahkot ovat yhteneviä, säännöllisiä monikulmiota ja jonka jokaisesta kärjestä lähtee yhtä monta särmää.

Answer 80

muodostuu, kun suora liikkuu avaruudessa suuntansa säilyttäen pitkin itseään leikkaamatonta, suljettua tason käyrää.

Answer 81

lieriöpinnan ja kahden sitä leikkaavan yhdensuuntaisen tason väliin jäävä avaruuden osa. pohjat yhteneviä

Answer 82

lieriö, jonka pohjat ovat monikulmioita.

Answer 83

kohtisuorassa pohjia vastaan.

Answer 84

muodostuu kiinteän pisteen kautta kulkevan suoran liikkuessa pitkin itseään leikkaamatonta, suljettua tason käyrää.

Answer 85

kartiopinnan ja tason rajaama avaruuden osa

Answer 86

pohjan keskipisteessä

Answer 87

kartio, jonka pohja on monikulmio. säännöllinen, jos se on suora ja sen pohja on säännöllinen monikulmio

Answer 88

Kun kartio leikataan pohjan suuntaisella tasolla, muodostuu pienempi kartio, joka on yhdenmuotoinen alkuperäisen kartion kanssa. jäljelle jäävä osa on katkaistu kartio

Answer 89

eli pallopinta on niiden avaruuden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä kiinteästä pisteestä, keskipisteestä.

Answer 90

syntyy, kun pallo leikataan tasolla, joka ei kulje sen keskipisteen kautta

Answer 91

Keskipisteen kautta kulkevien tasojen leikkaukset ovat isoympyröitä

Answer 92

asteen kuudeskymmenesosa

Answer 93

kulmaminuutin kuudeskymmenesosa

Answer 94

sijainniksi ilmoitetaan 0°–180° Lontoon kautta kulkevan Greenwichin pituuspiiristä itään (E) tai länteen (W)

Answer 95

sijainniksi ilmoitetaan 0°–90° päiväntasaajasta pohjoiseen (N) tai etelään (S)

Answer 96

yhtälöiden kaikki termit sisältävät korkeintaan yhden tuntemattoman ja ovat korkeintaan ensimmäistä astetta

Answer 97

tason pisteiden joukko, joka voidaan ajatella koordinaatistossa liikkuvan pisteen radaksi.

Answer 98

yhtälö, jonka käyrän pisteet, ja vain ne, toteuttavat.

Answer 99

usean käyrän muodostama joukko. muodostetaan usein yhden yhtälön avulla, jossa on yksi tai useampia parametreja. Eri parametrin arvot vastaavat eri käyriä.

Answer 100

Suorat ovat yhdensuuntaiset, jos ja vain jos niillä on sama kulmakerroin tai molemmat suorat ovat y-akselin suuntaisia.

Answer 101

suoran ja x-akselin positiivisen suunnan välinen kulma

Answer 102

kertoimiksi a, b ja c on tapana muokata kokonaisluvut

Answer 103

pienempi suorien leikkauspisteeseen muodostuvista kulmista

Answer 104

tan 90° ei ole määritelty

Answer 105

jos kulmakertoimien tulo on -1 tai suorat eri koordinaattiakselien suuntaiset

Answer 106

sen lyhin eli kohtisuora etäisyys suorasta

Answer 107

Suora on ympyrän tangentti, jos ja vain jos sen etäisyys ympyrän keskipisteestä on sama kuin ympyrän säde.

Answer 108

suoralla ja ympyrällä on kaksi yhteistä pistettä

Answer 109

Jos ympyröillä on vain yksi leikkauspiste. Leikkauspiste on tällöin ympyröiden keskipisteiden kautta kulkevalla suoralla.

Answer 110

niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä kiinteästä suorasta (johtosuorasta) ja yksittäisestä pisteestä (polttopisteestä), joka ei ole suoralla. Paraabeli on symmetrinen polttopisteen kautta kulkevan johtosuoran normaalin eli paraabelin akselin suhteen.

Answer 111

linssi- tai peilijärjestelmän akselin piste, jossa akselin suuntaisina järjestelmään tulevat valonsäteet kohtaavat

Answer 112

jana, jolla on suunta

Answer 113

vektoreiden suuntaiset suorat ovat yhdensuuntaiset. Yhdensuuntaiset vektorit ovat joko samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset. Vektorit 𝑢¯ ja 𝑣¯, joista kumpikaan ei ole nollavektori, ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin kun 𝑢¯=𝑡𝑣¯ jollakin luvulla t. t ei saa olla nolla

Answer 114

yhtä pitkä mutta vastakkaissuuntainen vektori

Answer 115

Reaalilukujen ja vektoreiden välisissä laskutoimituksissa voidaan käyttää samoja laskulakeja kuin polynomeja sievennettäessä. Vektoria käsitellään laskutoimituksissa kuten polynomin termin muuttujaosaa.

Answer 116

sanotaan, että piste P jakaa janan AB suhteessa a : b. jos AP/PB=a/b. koko janan pituus a+b

Answer 117

pituus yksi ja suunta akselin positiivinen suunta

Answer 118

Origosta alkavan vektorin komponentit ovat samat kuin vektorin loppupisteen koordinaatit. Paikkavektori on OP kun P on kyseinen piste

Answer 119

vektori, jonka pituus on 1. vektorin 𝑢¯kanssa samansuuntainen yksikkövektori, lyhyesti vektorin 𝑢¯ yksikkövektori, saadaan jakamalla 𝑢¯ pituudellaan. merkitään u^0

Answer 120

jos avaruuden kaksi suoraa leikkaa toisensa, suorat sijaitsevat samassa tasossa.

Answer 121

täsmälleen silloin, kun se voidaan lausua suuntavektoreiden 𝑢¯ ja 𝑣¯ avulla eli kun 𝑤¯=𝑟𝑢¯+𝑠𝑣¯ joillain reaaliluvuilla r ja s. vektori ei saa olla nollavektori

Answer 122

Kulman suuruus radiaaneina on kulmaa vastaavan kaaren pituus, kun ympyrän säde on 1 ja keskipiste kulman kärki.

Answer 123

syntyy, kun puolisuoraa kierretään päätepisteensä ympäri. Puolisuoran alkuasema on suunnatun kulman alkukylki ja loppuasema kulman loppukylki. Kiertosuunta ilmaistaan kulman etumerkillä: kierrettäessä vastapäivään kulma on positiivinen ja myötäpäivään negatiivinen. Kulman suuruus saadaan laskemalla yhteen täydet kierrokset ja yli jäävä osuus.

Answer 124

Kulman loppukyljen ja yksikköympyrän leikkauspistettä kutsutaan kulman kehäpisteeksi.

Answer 125

määritelty kaikilla muuttujan x arvoilla. Sinifunktion kuvaaja on katkeamaton käyrä, koska kehäpisteen y-koordinaatti muuttuu ilman hyppäyksiä kulman muuttuessa.

Answer 126

kosinifunktio on kaikkialla määritelty funktio, jonka arvot toistuvat 2pi välein

Answer 127

Funktio f on jaksollinen, jos sen arvot toistuvat samoina jonkin tietyn jakson a ≠ 0 välein eli jos f(x) = f(x + a) kaikilla x. Jaksollisen funktion pienin positiivinen jakso on sen perusjakso.

Answer 128

Funktion A ⋅ p(x) arvot ovat A-kertaiset funktioon p verrattuna, joten sen kuvaaja saadaan venyttämällä funktion p kuvaajaa pystysuunnassa x-akselin suhteen kertoimella A. Negatiivisilla A funktion arvojen merkki vaihtuu eli kuvaaja peilautuu x-akselin suhteen. kun A:n itseisarvo on pienempi kuin yksi, kuvaaja kutistuu pystysuunnassa. arvovälin pituus on pystyvenytyksen seurauksena 2*|A|

Answer 129

Funktion p(x) + B arvot eroavat B:n verran funktion p arvoista, joten sen kuvaaja saadaan siirtämällä funktion p kuvaajaa pystysuunnassa B yksikköä. b>0, ylös. arvovälin keskikohta on pystysiirron seurauksena B

Answer 130

Funktion p(C ⋅ x) kuvaaja saadaan venyttämällä funktion p kuvaajaa vaakasuunnassa y-akselin suhteen kertoimella 1/𝐶. Tämä johtuu siitä, että funktion p(C ⋅ x) arvo kohdassa (1/C)*x on p(x). kun C:n itseisarvo on pienempi kuin 1, kuvaaja laajenee vaakasuunnassa. perusjakso on vaakavenytyksen seurauksena (2*pi)/C. kuinka monta jaksoa välillä 2pi on

Answer 131

Funktion p(x + D) kuvaaja saadaan siirtämällä funktion p kuvaajaa vaakasuunnassa D yksikköä. Tämä johtuu siitä, että funktion p(x + D) arvo kohdassa x − D on p(x − D + D) = p(x) eli sama kuin funktion p arvo kohdassa x. D>0-> siirto vasemmalle. kuvaajien vaakasuuntainen sijainti riippuu vakiosta D.

Answer 132

0^(m/n)=0, kun m/n>0 a^(m/n)=n. juuri a^m, kun a<0 ja n pariton

Answer 133

m: reaaliluvut a: ]0,ääretön[

Answer 134

Kun eksponenttina on irrationaaliluku, potenssin määritellään tarkoittavan sitä lukua, jota lähestytään, kun eksponentti korvataan yhä tarkemmilla rationaalisilla likiarvoilla. Potenssin laskusäännöt pätevät irrationaalisillakin eksponenteilla

Answer 135

jos muuttujan x kasvaessa myös funktion arvo f(x) kasvaa eli jos ehdosta x1 < x2 seuraa aina f(x1) < f(x2).

Answer 136

jos muuttujan x kasvaessa funktion arvo f(x) pienenee eli jos ehdosta x1 < x2 seuraa aina f(x1) > f(x2).

Answer 137

Jos funktio on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. . Aidosti monotoninen funktio saa jokaisen arvonsa vain kerran eli vain yhdellä muuttujan arvolla. Tarkenteella "aidosti" korostetaan sitä, että funktion arvojen on toteutettava "aito" epäyhtälö < tai >. jos yhtäsuuruus sallitaan, vain kasvava tai vähenevä

Answer 138

kuvaa suhteellisesti eli prosentuaalisesti tasaista kasvua tai vähenemistä

Answer 139

kuvaa tasaista kasvua tai vähenemistä.

Answer 140

10-kantainen logaritmi

Answer 141

a^x ja log_a x kuvaajat ovat toistensa peilikuvat suoran y = x suhteen. johtuu tästä symmetriasta

Answer 142

m: x>0 a: R

Answer 143

Funktion f raja-arvo kohdassa a on luku b, jos funktion arvo lähestyy lukua b, kun x lähestyy kohtaa a. Funktion arvo kohdassa x = a ei vaikuta raja-arvoon; funktion ei tarvitse olla edes määritelty kohdassa x = a.

Answer 144

jos jaettava ja jakaja ovat polynomeja ja kummankin raja-arvo on nolla, supistuu yhteistä nollakohtaa vastaava yhteinen tekijä. Sieventäminen ei muuta raja-arvoa, sillä se ei vaikuta funktion arvoihin funktion määrittelyjoukossa.

Answer 145

jos osoittaja lähestyy nollasta poikkeavaa lukua ja nimittäjä lähestyy nollaa, osamäärällä ei ole raja-arvoa.

Answer 146

kuvaaja voi katketa sellaisessakin kohdassa, jossa funktio on määritelty. oletetaan kuitenkin ettei niin käy. kuvaajan katkeamattomuusolettama määrittelyjoukossa. funktio on jatkuva, jos sen raja-arvo ja arvo tietyssä kohdassa ovat samat. funktion f on oltava määritelty kohdassa x = a, jotta jatkuvuutta kyseisessä kohdassa voidaan tarkastella. Jos funktio on määritelty muttei jatkuva kohdassa x = a, sen sanotaan olevan epäjatkuva kohdassa x = a.

Answer 147

funktio on jatkuva määrittelyjoukkonsa jokaisessa kohdassa. polynomi-, rationaali-,juuri-,potenssi-, eksponentti-, logaritmi-, sini- ja kosinifunktiot ja näistä yhdistelemällä saadut funktiot

Answer 148

Funktiolla on ainakin yksi nollakohta avoimella välillä ]a, b[, jos funktio on jatkuva suljetulla välillä [a, b] ja funktion arvot välin päätepisteissä ovat erimerkkiset.

Answer 149

funktion keskimääräinen muutosnopeus välillä [a,b] (f(b)-f(a))/b-a

Answer 150

suora, joka kohtaa funktion kuvaajan vähintään kahdessa eri pisteessä

Answer 151

Jos f′(x) > 0 kaikissa välin kohdissa x lukuun ottamatta yksittäisiä kohtia, joissa f′(x) = 0, niin f on aidosti kasvava tällä välillä.

Answer 152

Jos f′(x) = 0 kaikissa välin kohdissa x, niin f on vakio tällä välillä.

Answer 153

Kohta a on funktion f paikallinen maksimikohta, jos f(a) on funktion f suurin arvo jollakin kohdan a sisältävällä avoimella välillä.

Answer 154

Kohta a on funktion f paikallinen minimikohta, jos f(a) on funktion f pienin arvo jollakin kohdan a sisältävällä avoimella välillä.

Answer 155

Jos funktio f on derivoituva paikallisessa ääriarvokohdassa x0, joka on määrittelyvälin sisäpiste, niin f′(x0) = 0.

Answer 156

Derivaatan nollakohtaa, joka ei ole ääriarvokohta, sanotaan terassikohdaksi.

Answer 157

erotusosamäärällä ei ole raja-arvoa: kun lähestytään kohtaa x = 0, sekantit kääntyvät pystysuoriksi eli erotusosamäärä kasvaa rajatta

Answer 158

Funktion f derivaatan merkki voi vaihtua vain derivaattafunktion f′ nollakohdassa tai kohdassa, joissa derivaattafunktiota f′ei ole määritelty.

Answer 159

jos on olemassa avoin väli, johon x_0 kuuluu ja avoin väli johon y_0 kuuluu, siten, että kun x ja y ovat näillä väleillä, on voimassa f(x_0,y_0)<= f(x,y)

Answer 160

jos on olemassa avoin väli, johon x_0 kuuluu ja avoin väli johon y_0 kuuluu, siten, että kun x ja y ovat näillä väleillä, on voimassa f(x_0,y_0)>= f(x,y)

Answer 161

pisteet, joissa funktion molemmat osittaisderivaatat ovat nollia. kaikki ääriarvokohdat ovat kriittisiä pisteitä (oletetaan, että molemmat osittaisderivaatat löytyy). ääriarvokohtien lisäksi kriittisiä pisteitä satulapisteet (osittaisderivaattojen merkki ei vaihdu samaan suuntaan vrt. terassikohta)

Answer 162

jos se on molempien osittaisderivaattojen nollakohta (eli kriittinen piste) ja molemmat osittaisderivaatat vaihtaa merkkinsä siinä samaan suuntaan

Answer 163

Jos funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], sillä on tällä välillä suurin ja pienin arvo. Jos funktio f on lisäksi derivoituva välillä ]a, b[, niin suurin ja pienin arvo välillä [a, b] saavutetaan välin päätepisteessä tai derivaatan nollakohdassa.

Answer 164

Lopputulos on jaksollinen silloinkin, kun yhdistellään peruslaskutoimituksilla funktioita, joilla on jokin yhteinen jakso. Yhdisteltävien funktioiden yhteiset jaksot ovat myös yhdistelmän jaksoja.

Answer 165

Jaksollisen funktion suurin ja pienin arvo jakson pituisella suljetulla välillä ovat suurin ja pienin arvo koko määrittelyjoukossa.

Answer 166

Kahden käyrän välinen kulma on käyrien leikkauspisteeseen piirrettyjen tangenttien välinen kulma (pienempi näistä). Jos käyrillä on niiden leikkauspisteessä yhteinen tangentti, käyrien välinen kulma on 0° ja käyrät sivuavat toisiaan kyseisessä pisteessä.

Answer 167

integraalifunktio ei ole vakiota vaille yksikäsitteinen koko määrittelyjoukossa jos määrittelyjoukko ei ole väli vaan välien yhdiste

Answer 168

Olkoon f välillä [a, b] jatkuva ja ei-negatiivinen funktio, ja olkoon A(x) funktion f kuvaajan ja x-akselin välillä [a, x] rajoittaman alueen pinta-ala. Tällöin välillä [a, b] pätee A′(x) = f(x) eli pinta-alafunktio A on funktion f eräs integraalifunktio.

Answer 169

Kun f on jatkuva välillä [a, b], integraalifunktio F on aina olemassa (vaikka sen lauseketta ei osattaisikaan määrittää)

Answer 170

laskemalla muutosnopeuden määrätty integraali

Answer 171

"nettopinta-ala" eli x-akselin ylä- ja alapuolisten pinta-alojen erotus

Answer 172

integroitava funktio itseisarvona

Answer 173

Symbolisen laskennan ohjelmaa käytettäessä ei tarvitse selvittää kuvaajien järjestystä, vaan kuvaajien välisen alueen pinta-ala saadaan ottamalla kuvaajien erotuksen itseisarvo

Answer 174

pinta-alaa arvioidaan suorakulmioiden avulla, joiden korkeudet ovat funktion pienimpiä arvoja osaväleillä eli jotka jäävät kokonaisuudessaan kuvaajan alapuolelle. pinta-alojen summa, nimeltään alasumma, on korkeintaan yhtä suuri kuin tarkasteltava pinta-ala.

Answer 175

pinta-alaa arvioidaan suorakulmioiden avulla, joiden korkeudet ovat funktion suurimpia arvoja osaväleillä, eli suorakulmiot peittävät koko tarkasteltavan alueen. Suorakulmioiden pinta-alojen summa, yläsumma, on siis vähintään yhtä suuri kuin tarkasteltava pinta-ala.

Answer 176

Ala- ja yläsumman laskemista hankaloittaa käytännössä se, että täytyy tietää funktion pienin ja suurin arvo kullakin osavälillä. Monotonisen funktion tapauksessa ääriarvot löytyvät päätepisteistä (kuten johdannossa), mutta yleisesti ne voidaan saada muuallakin

Answer 177

Olkoon funktio f välillä [a, b] jatkuva ja ei-negatiivinen. Jaetaan väli [a, b] n:ään yhtä pitkään osaväliin, joiden pituus on ℎ=(𝑏−𝑎)/𝑛. Olkoot osavälien keskipisteet x1, x2, …, xn. Funktion f kuvaajan ja x-akselin välillä [a, b] rajoittaman alueen pinta-alaa A arvioidaan seuraavasti: A on noin h(f(x_1)+..+f(x_n))

Answer 178

Jos funktio f on määritelty vain kohdan a toisella puolella, toinen toispuolisista raja-arvoista jää lauseesta pois.

Answer 179

Aiemmista opinnoista tutut, yhdellä lausekkeella määritellyt funktiot ovat jatkuvia. Näihin lukeutuvat myös |x| ja |f(x)|, kun f on jatkuva. Tällaisten funktioiden jatkuvuutta ei tarvitse enää perustella raja-arvotarkastelujen kautta.

Answer 180

Jos f′(a) = 0, funktion f kuvaajalla on pisteessä (a, b) vaakasuora tangentti. Käänteisfunktion kuvaajalla on tällöin pisteessä (b, a) pystysuora tangentti, joten derivaattaa f−1(b) ei ole.

Answer 181

vähintään toinen tosi

Answer 182

molemmat tosia

Answer 183

Logiikassa väitelauseet korvataan usein kirjaimilla ja konnektiivit symboleilla eli ilmaisut formalisoidaan.

Answer 184

Yhdistetyissä lauseissa konnektiivien suoritusjärjestys voidaan määrätä sulkeilla. Ilman sulkeita negaatio suoritetaan ensin. Ensin suoritetaan negaatio (¬), sitten konjunktio (∧) ja disjunktio (∨) ja viimeiseksi implikaatio (⇒) ja ekvivalenssi (⇔).

Answer 185

Jos yhdistetyillä lauseilla on samat totuusarvot eli samanlaiset totuustaulut, niiden sanotaan olevan loogisesti yhtäpitäviä.

Answer 186

Mikäli lauseiden välinen ekvivalenssi on tosi, lauseita sanotaan yhtäpitäviksi eli ekvivalenteiksi.

Answer 187

Olkoon a kokonaisluku ja b positiivinen kokonaisluku. Luku a voidaan esittää muodossa a = bq + r, jossa q ja r ovat kokonaislukuja ja 0 ≤ r < b. Luvut q (osamäärän a : b kokonaisosa) ja r (jakojäännös) ovat yksikäsitteiset.

Answer 188

floor on jakolaskun lopputulosta pienempi kokonaisluku ellei jako mene tasan. mod antaa jakojäännöksen paitsi jos negatiivinen

Answer 189

luvun paikka ilmaisee, mitä kantaluvun 10 potenssia (nollasta alkaen) se ilmaisee

Answer 190

Binääriluku muutetaan kymmenjärjestelmän luvuksi kirjoittamalla kantaluvun 2 potenssit näkyviin ja laskemalla niiden arvot

Answer 191

Kokonaisluku 𝑛>1 on alkuluku, jos se ei ole jaollinen muilla positiivisilla kokonaisluvuilla kuin luvulla 1 ja itsellään. Lukua 1 suurempaa kokonaislukua, joka ei ole alkuluku, sanotaan yhdistetyksi luvuksi.

Answer 192

luvun alkulukutekijöihin jaettua esitystä kutsutaan alkulukuhajotelmaksi.

Answer 193

Jokainen lukua 1 suurempi kokonaisluku voidaan jakaa alkutekijöihin. Jako voidaan tehdä vain yhdellä tavalla, jos tekijöiden järjestystä ei huomioida.

Answer 194

Sillä voidaan löytää kaikki annettua lukua n pienemmät alkuluvut. Seulan toimintaperiaate (algoritmi) on seuraava: 1) Kirjoitetaan lista kaikista lukua 1 suuremmista positiivisista kokonaisluvuista lukuun n saakka. 2) Listan ensimmäinen luku 2 on alkuluku. Jätetään se listaan. 3) Luvun 2 muut monikerrat 4, 6, 8, … eivät ole alkulukuja, koska ne ovat jaollisia luvulla 2. Poistetaan ne listasta. 4) Pienin listassa oleva käsittelemätön luku on alkuluku. 5) Poistetaan listasta vaiheessa 4 löydetyn alkuluvun muut monikerrat. 6) Toistetaan vaiheita 4 ja 5, kunnes pienin listassa jäljellä oleva käsittelemätön luku on suurempi kuin sqrt(n). Nyt listassa on jäljellä vain alkulukuja. Seulonta voidaan lopettaa, kun pienin käsittelemätön luku on suurempi kuin sqrt(n). jokaisella listan yhdistetyllä luvulla on nimittäin korkeintaan luvun sqrt(n) suuruinen alkutekijä, sillä jos yhdistetyn luvun kaikki alkutekijät olisivat suurempia kuin sqrt(n), luku olisi suurempi kuin n

Answer 195

Jos kokonaislukujen a ja b tulo ab on jaollinen alkuluvulla p, niin vähintään toinen luvuista a ja b on jaollinen luvulla p. Jos kokonaisluku a on jaollinen eri suurilla alkuluvuilla p ja q, niin a on jaollinen tulolla pq.pätee yleisemmin kokonaisluvuilla p ja q, joilla ei ole muita yhteisiä positiivisia tekijöitä kuin 1

Answer 196

Olkoot a, b, q ja r sellaiset kokonaisluvut, että a = bq + r. Tällöin syt(a, b) = syt(b, r).

Answer 197

Yhtälöllä ax + by = c on kokonaislukuratkaisuja täsmälleen silloin kun c on luvun syt(a, b) monikerta.

Answer 198

Olkoot a ja b kokonaislukuja, ja olkoon n positiivinen kokonaisluku. Luvut a ja b ovat kongruentteja modulo n, jos a = b + nq jollakin kokonaisluvulla q. tämä toteutuu täsmälleen silloin kun a − b on jaollinen luvulla n

Answer 199

Lukujen kongruenssi modulo n tarkoittaakin sitä, että luvuilla on sama jakojäännös luvulla n jaettaessa. Erityisesti luku on aina kongruentti oman jakojäännöksensä kanssa. Jakojäännös on pienin luonnollinen luku, jonka kanssa luku on kongruentti.

Answer 200

summa, tulo tai potenssi pysyy kongruenttina, jos yhteenlaskettavat, tulon tekijät tai kantaluku vaihdetaan niiden kanssa kongruenteiksi luvuiksi.

Answer 201

Tämä perustuu siihen, että luvun viimeinen numero on jakojäännös, kun luku jaetaan kymmenellä.

Answer 202

luku on jaollinen 2:lla täsmälleen silloin, kun luvun viimeinen numero on parillinen. * Luku on jaollinen 3:lla täsmälleen silloin, kun luvun numeroiden summa on jaollinen 3:lla. * Luku on jaollinen 5:llä täsmälleen silloin, kun luvun viimeinen numero on 0 tai 5. * Luku on jaollinen 9:llä täsmälleen silloin, kun luvun numeroiden summa on jaollinen 9:llä. * Luku on jaollinen 10:llä täsmälleen silloin, kun luvun viimeinen numero on 0.

Answer 203

yksityiskohtainen, yksiselitteinen, vaiheistettu toimintaohje

Answer 204

Vuokaaviossa algoritmin vaiheet sijoitetaan laatikoihin ja laatikoiden väliin piirretään nuolet osoittamaan algoritmin etenemistä. Valintaehto kirjoitetaan kaaviossa vinoneliöön.

Answer 205

moodi.usea(alue) ja ctrl+shift+enter jotta antaa kaikki moodit eikä vain pienin

Answer 206

todellisten luokkarajojen keskiarvo. Keskiarvo lasketaan aina alkuperäisestä aineistosta, jos se on käytettävissä.

Answer 207

saa vaan yksittäisiä arvoja.

Answer 208

voivat ainakin periaatteessa saada minkä tahansa arvon joltakin reaalilukuväliltä.

Answer 209

luokittelu-, järjestys-, välimatka- ja suhdelukuasteikko

Answer 210

arvoja ei voida asettaa edes suuruusjärjestykseen.

Answer 211

arvot voidaan asettaa merkityksellisellä tavalla suuruusjärjestykseen.

Answer 212

voidaan järjestämisen lisäksi laskea arvojen erotukset

Answer 213

erotuksien lisäksi myös suhteiden laskeminen on järkevää. Muuttujan arvot ovat suhdelukuasteikossa ei-negatiivisia

Answer 214

Summafrekvenssin tai suhteellisen summafrekvenssin havainnollistamiseen käytetään kertymäkuvaajaa. Siinä vaaka-akselilla ovat tilastomuuttujan saamat arvot ja pystyakselilla havaintojen määrä tai suhteellinen osuus. Kertymäkuvaajasta näkyy, kuinka moni tai kuinka suuri osa aineiston havainnoista on korkeintaan yhtä suuri kuin tietty havaintoarvo. Kertymäkuvaajaa ei voida piirtää muuttujalle, jonka arvoja ei voida järjestää, kuten esimerkiksi asuinpaikalle.

Answer 215

Diskreetin muuttujan kertymäkuvaaja porrasmainen. Kunkin arvon kohdalla on hyppäys, jonka suuruus on kyseisen arvon frekvenssi tai suhteellinen frekvenssi.

Answer 216

Jatkuvan muuttujan kertymäkuvaaja on murtoviiva. Kuvaaja alkaa ensimmäisen luokan todelliselta alarajalta nollan korkeudelta. Myöhemmät pisteet sijoitetaan luokkien todellisten ylärajojen kohdille, koska vasta ylärajalla luokan kaikki havainnot ovat mukana.

Answer 217

ylempi, alempi on otoskeskihajonta

Answer 218

tilastosta havaittavissa, vaikkei se kaikkia havaintoja koskekaan

Answer 219

toisen muuttujan arvo voidaan ennustaa tarkasti toisen perusteella

Answer 220

jos toisen muuttujan arvon kasvaessa myös toisen muuttujan arvo pääsääntöisesti kasvaa

Answer 221

ei yksikköä, välillä -1-1

Answer 222

mikä suora kuvaa hajontakuviota parhaiten, vaikka pisteet eivät olisikaan samalla suoralla. toinen muuttujista valitaan selittäväksi muuttujaksi ja toinen selitettäväksi muuttujaksi. Parhaiten havaintoihin ( xi, yi ) sopivana suorana y = bx + a pidetään tilastotieteessä yleensä sitä suoraa, jolla pisteistä suoralle laskettujen pystysuorien etäisyyksien neliöiden summasta tulee mahdollisimman pieni. "parasta suoraa", kutsutaan regressiosuoraksi tai täsmällisemmin pienimmän neliösumman suoraksi.

Answer 223

hajontakuvion vaaka-akselilla

Answer 224

pystyakselilla

Answer 225

kovarianssi jaettuna muuttujan x keskihajonnan toisella potenssilla

Answer 226

y_n keskiarvo miinus kulmakerroin kertaa x:n keskiarvo

Answer 227

kertoo, kuinka suuren osan selitettävän muuttujan arvon vaihtelusta malli kattaa. Se ilmaistaan usein prosentteina.

Answer 228

lopputuloksen määrää sattuma

Answer 229

mahdollinen lopputulos

Answer 230

alkeistapauksista koostuva joukko

Answer 231

Jos alkeistapauksia on äärellinen määrä ja ne kaikki ovat yhtä todennäköisiä, puhutaan klassisesta todennäköisyydestä.

Answer 232

52 kortin pelikorttipakka. Korttipakassa on kaksi punaista maata, hertta ja ruutu, sekä kaksi mustaa maata, pata ja risti. Kuhunkin maahan kuuluu 13 korttia, joilla on numeroarvot 1–13. Kuvakortteja ovat 11 (sotilas), 12 (kuningatar) ja 13 (kuningas). Ykköstä kutsutaan ässäksi; joissakin tilanteissa ässän arvoksi tulkitaan 14.

Answer 233

joko A tai B tai molemmat

Answer 234

ei yhteisiä alkeistapauksia

Answer 235

ey-merkin suunta kääntyy

Answer 236

joukon alkioista muodostettu jono

Answer 237

nCr(n,k) binomikerroin, koska ne tulevat kertoimiksi kun binomin potenssi (a+b)^n kerrotaan auki. auki kerrotussa lausekkeessa a:n eksponentti pienenee ja b:n kasvaa. eksponenttien summa on kaikissa termeissä n. termit nCr(n,k)*a^(n-k)*b^k

Answer 238

satunnaiskokeen tuloksesta tietyn säännön mukaan määräytyvää luku. funktio, joka liittää jokaiseen alkeistapaukseen reaaliluvun. Satunnaismuuttujan X jakauma voidaan taulukon lisäksi esittää koordinaatistossa, jonka x-akselilla ovat muuttujan arvot ja y-akselilla pistetodennäköisyydet.

Answer 239

Jos jokin ilmiö havaitaan keskimäärin 𝜆 kertaa tietyssä ajassa ja esiintymät ovat toisistaan riippumattomia, esiintymisten lukumäärä kyseisessä ajassa noudattaa Poissonin jakaumaa parametrilla 𝜆=a .

Answer 240

vastaa tilastomuuttujan keskiarvoa

Answer 241

kerätään suoraan verovelvolliselta. Tällaisia ovat esimerkiksi valtion tulovero, kunnallisvero ja ajoneuvovero.

Answer 242

sisältyvät tavaran tai palvelun hintaan, ja myyjä tilittää ne valtiolle. Tällaisia ovat esimerkiksi arvonlisävero sekä tupakka-, alkoholi- ja polttoainevero.

Answer 243

prosentit lasketaan verottomasta hinnasta. Verollinen myyntihinta siis saadaan, kun verotonta hintaa kasvatetaan asiaankuuluvan arvonlisäverokannan verran.

Answer 244

pysyvät samansuuruisina tuotantomäärästä riippumatta. Tällaisia ovat esimerkiksi yrityksen tiloista ja koneista sekä yrityksen hallinnon palkoista aiheutuvat menot.

Answer 245

riippuvat tuotantomäärästä. Tällaisia ovat esimerkiksi raaka-aineiden hankintakulut sekä tuotteen valmistuksen vaatimat palkkamenot.

Answer 246

Kun myyntituloista vähennetään muuttuvat kustannukset, saadaan myyntikate

Answer 247

myyntikate-kiinteät kustannukset

Answer 248

myyntikate/myyntitulot

Answer 249

alvittomat hinnat

Answer 250

käytetään yksinkertaista korkoa myös yli vuoden mittaisilla ajanjaksoilla.

Answer 251

talletus (talletuspäivältä ei korkoa, nostopäivältä joo) laina (nostopäivältä ei korkoa, takaisinmaksupäivältä joo). Jos maksueriä on useita, jokaisessa maksuerässä maksetaan siihen mennessä kertynyt korko kokonaan ja lisäksi osa lainasta eli lainan lyhennys. Korkoaikaa määritettäessä puolestaan täsmällisellä korkopäivien laskutavalla on monesti vain pieni merkitys, samoin sillä, lasketaanko aloitus- tai lopetuspäivä mukaan. Riittää arvioida korkoaika kuukausina ja ajatella jokaisen kuukauden olevan 1/12 vuotta.

Answer 252

30 %. Lähdevero pyöristetään alaspäin 10 sentin tarkkuuteen. Pankin maksama talletuksen korko tulkitaan tuloksi -> lähdevero. Veron pyöristyksen vaikutus on niin pieni, että käytännössä nettokorko voidaan yleensä laskea käyttämällä suoraan nettokorkokantaa eli lähdeverokannan (30 %) verran pienennettyä tilin korkokantaa.

Answer 253

peräkkäin tiettyyn järjestykseen asetetut reaaliluvut. Luvut ovat lukujonon jäseniä eli termejä. Luku a_n on n:s jäsen, ja n on sen järjestysnumero eli indeksi. lukujono voidaan tulkita funktioksi a, jonka määrittelyjoukko koostuu kokonaisluvuista n = 1, 2, 3, … ja jonka arvolle a(n) käytetään merkintää a_n. voi olla päättymätön tai päättyvä. Lukujono esitetään analyyttisesti, kun ilmoitetaan lauseke, jonka mukaan jäsen a_n riippuu indeksistä n

Answer 254

Lukujono esitetään rekursiivisesti, kun ilmoitetaan lukujonon alkupään jäseniä ja lisäksi sääntö, jonka mukaan jäsen a_n riippuu edellisistä jäsenistä. Tavallisimmin sääntö annetaan yhtälön muodossa, rekursiokaavana.

Answer 255

peräkkäisten jäsenten erotus on vakio. muotoa (3,3,3..) oleva lukujono on aritmeettinen (d=0) (ja myös geometrinen)

Answer 256

peräkkäisten jäsenten suhde on vakio. vakiota kutsutaan suhdeluvuksi. Jos q = 1, kyseessä on vakiojono, esimerkiksi (3, 3, 3, …). Tällainen jono on samalla aritmeettinenkin (erotusluku 0). Tyyppiä (a1, 0, 0, 0, …) oleva jono ei ole edellisen määritelmän mukaan geometrinen, koska peräkkäisten jäsenten suhdetta laskettaessa päädytään jakamaan nollalla. Tällaisia jonoja voidaan kuitenkin pitää suhdelukua q = 0 vastaavina geometrisina jonoina sillä perusteella, että jäsenet saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla 0

Answer 257

jäljellä olevaa lainapääomaa lyhennetään samalla summalla jokaisella maksukerralla. Lyhennyksen lisäksi maksetaan korko, joka pienenee lainapääoman pienenemisen myötä. Niinpä maksueräkin pienenee loppua kohden. Tasalyhennyslainan koroista muodostuu aritmeettinen summa, koska korkoa maksetaan aina vakion verran pienemmälle pääomalle

Answer 258

Jos lyhennyksen sijaan vakiona pidetään maksuerä, puhutaan tasaerälainasta. Tasaerälainan maksuerää sanotaan annuiteetiksi. Sen suuruus saadaan ratkaistua yhtälöstä, jossa laina kirjoitetaan yhtä suureksi kuin maksuerien summa samana ajankohtana. q on maksukauden korkokerroin.

Answer 259

viitekorkokanta + marginaali.

Answer 260

koron muuttuessa muutetaan maksuerää ja laina-aika pysyy ennallaan

Answer 261

muutetaan laina-aikaa eli maksuerien lukumäärää ja maksuerä pysyy ennallaan. (Viimeinen maksuerä voi muuttua.)

YO Flashcards

(286 cards)