Математический Анализ Flashcards
(29 cards)
Монотонная функция
Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.
Непрерывная функция
Функция называется непрерывной, если малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.
Непрерывная функция (взаимосвязь с пределом)
Функция f, определенная в некоторой окрестности x0, непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда существует предел функции f в точке x0, равный f(x0), т.е. когда limx->x<span>0</span>f(x) = f(x0).
Непрерывная функция по Гейне
Функция y=f(x) называется непрерывной в точке a, если для любой сходящейся к a последовательности значение аргумента x1,x2,…,xn, соответствующая последовательность значений функции f(x1),f(x2),…,f(xn) сходится к f(a).
Непрерывная функция по Коши
Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если для любого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное δ такое, что для всех значений аргумента x, удовлетворяющих условию |x-a|<δ, справедливо неравенство |f(x)-f(a)|<ε
Непрерывность действительной функции одного действительного переменного
Функция f называется непрерывной в точке x0 ∈ D(f), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех x ∈ D(f) и таких, что |x – x0| < δ, имеет место неравенство |f(x) – f(x0)|
Свойства монотонных функций
- Возрастающая (убывающая) на [a,b] функция f непрерывна на [a,b] тогда и только тогда, когда она принимает каждое значение из промежутка [f(a),f(b)] ([f(b),f(a)]).
- Если f монотонна на [a,b], то она имеет на [a,b] не более чем счетное множество точек разрыва 1-го рода.
- Пусть f непрерывна и строго возрастает (убывает) на [a,b], тогда на множестве [f(a),f(b)] ([f(b),f(a)]) определена непрерывная строго возрастающая (убывающая) функция g, обратная для f.
Свойства непрерывных функций
- Сумма, разность и произведение непрерывных функций также являются непрерывными функциями.
- Если f непрерывна и не равна нулю в точке x0, то 1/f также является непрерывной в точке x0.
- Многочлен непрерывен во всех точках множества R.
- Дробно-рациональная функция непрерывна во всех точках, в которых ее знаменатель отличен от нуля.
- Пусть функция f непрерывна и положительна (отрицательна) в точке x0. Тогда существует окрестность U(x0) точки такая, что для всех x∈U(x0)∩D(f) имеет место неравенство f(x)>0 (f(x)<0)
- Если функция f непрерывна в точке x0, а функция g – в точке f(x0), то сложная функция g(f) непрерывна в точке x0.
- Функция f называется непрерывной справа (слева) в точке x0∈D(f), если для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех x∈D(f), удовлетворяющих условию 0≤x–x0
- Функция f непрерывна в x0 тогда и только тогда, когда она непрерывна в x0 как справа, так и слева.
Следствие из теоремы Больцано-Коши
Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке есть хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.
Теорема Больцано-Коши
Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a)<>f(b) (то есть не равна на концах отрезка). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ∈(a,b), что f(γ)=C.
Первая теорема Вейерштрасса
Если f непрерывна на [a, b], то существует M>0, такое, что |f(x)|<=M
Вторая теорема Вейерштрасса
Если f непрерывна на [a, b], то она достигает на нем своей верхней и нижней грани.
Теорема о промежуточном значении
Пусть f непрерывна на [a,b], и пусть m=f(a)0∈(a,b), в которой f(x0)=α.
Точки разрыва
Убывающая (возрастающая) функция
Функция f называется убывающей (возрастающей) на [a,b]⊆D(f), если для любых x1,x2∈[a,b] таких, что x12, имеет место неравенство f(x1)≥f(x2) (f(x1)≤f(x2)).
Функция f называется строго убывающей (строго возрастающей) на [a,b], если для любых x1,x2∈[a,b] таких, что x12, имеет место неравенство f(x1)>f(x2) (f(x1)2)).
Геометрический смысл теоремы Коши (о среднем значении)
Если f и g определяют абсциссу и ординату через параметр t, то на любом отрезке такой кривой, заданной параметрами a и b, найдётся касательный вектор, параллельный вектору перемещения от (f(a);g(a)) до (f(b);g(b)).
Геометрический смысл теоремы Ролля
На графике рассматриваемой функции найдется по крайней мере одна точка, касательная в которой параллельна оси абсцисс.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа
Величина (f(b)-f(a))/(b-a) - есть угловой коэффициент секущей AB. В то же время f’(c) есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в точке с абсциссой x=c. Таким образом, геометрически утверждение теоремы Лагранжа равносильно следующему: на дуге AB всегда найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде AB.
Отметим, что теорему Ролля можно рассматривать как частный случай теоремы Лагранжа.
Теорема Коши (вторая теорема о среднем значении)
Пусть даны две функции f(x) и **g(x), определённые на отрезке [a,b] и обладающие свойствами:
- f(x) и g(x) непрерывны на отвезке [a,b];
- f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a,b);
- f’(x) и g’(x) не обращаются в ноль одновременно. g’(x)<>0 в любой точке (a,b),
тогда найдётся такая точка c∈(a,b), что будет справедливо равенство (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c).
Замечание. теорема Лагранжа - частный случай теоремы Коши при f(x)=x
Теорема Лагранжа (первая теорема о среднем значении)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a;b] найдётся такая точка c, что для неё выполняется равенство f(b)-f(a)=f’(c)*(b-a).
Последнее равенство носит название формулы Лагранжа или формулы конечных приращений.
Теорема Ролля
Если функция y=f(x)
- непрерывна на отрезке [a,b];
- дифференцируема во всех внутренних точках(точкаокрестностью) этого отрезка;
- принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть f(a)=f(b),
то внутри интервала (a,b) существует по крайней мере одна точка х = с, a<c></c>
<p><u><em>Замечание</em></u>. В теореме Ролля существенно выполнение всех трех условий.</p>
<p>У функции y=x,f(0)=f(1)=0, но х=1 – точка разрыва, то есть не выполнено первое условие теоремы Ролля.</p>
<p>Функция y=|x|не дифференцируема при х = 0</p>
<p>Функция y=x на [-1;1]f(-1)≠f(1).</p>
</c>
Теорема Ферма (необходимые условия локального экстремума)
Если функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) в рассматриваемой окрестности значение и дифференцируема в ней, то f′(x0)=0.
Контр-примеры:
- y=|x| - производной нет, а экстремум есть;
- y=x, [0;1]. 0 и 1 - экстремумы - круглые скобки нельзя заменить на квадратные;
- y=x3 - теорема Ферма является необходимым условием, но не достаточным.
Неопределённый интеграл
Совокупность всех первообразных функций для данной функции f(x) на множестве X называется неопределенным интегралом от функции f(x) (на этом множестве) и обозначается ∫f(x)dx, где f(x)dx – подынтегральное выражение, f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.
Интеграл по Риману
