Теория вероятности и математическая статистика

Question 1

Выборочная дисперсия

Answer 1

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят такую характеристику как выборочная дисперсия.

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения.

Question 2

Выборочное среднее

Answer 2

Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Question 3

Выборочное среднее квадратическое отклонение

Answer 3

Кроме дисперсии, для характеристики рассеяния значений признака выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называют квадратный корень из выборочной дисперсии: .

Question 4

Исправленная выборочная дисперсия

Answer 4

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, поэтому в статистике применяют также исправленную выборочную дисперсию, которая является несмещенной оценкой генеральной дисперсии и обозначается s².

Question 5

Несмещённость (требование к оценке)

Answer 5

Оценка e’ = e’(X₁-X_n) называется несмещённой если при любом объеме выборки n результат её осреднения по всем возможным выборкам данного объёма приводит к точному истинному значению оцениваемого параметра, то есть E(e’)=e, математическое ожидание статистики совпадает со значением параметра.

Question 6

Состоятельность (требование к оценке)

Answer 6

Оценка e’ = e’(X₁-X_n) называется состоятельной если для любого сколь угодно малого k>0 вероятность P{|e’ - e|>k} стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности, что есть сходимость по вероятности.

Question 7

Статистика и статистическая оценка

Answer 7

Любая функция γ(X₁…X_n) от результатов наблюдения X₁-X_n называется статистикой. Статистика Θ’, используемая для оценки неизвестного параметра Θ, называется статистической оценкой.

Question 8

Эффективность (требование к оценке)

Answer 8

Эффективной называют оценку, которая на данном объеме выборки имеет наименьшую дисперсию (меру случайного разброса относительно истинного значения оцениваемого параметра). Эффективность является решающим свойством, определяющим качество оценки, и оно, вообще говоря, не предполагает обязательного соблюдения свойства несмещённости.

Question 9

Случайная величина

Answer 9

Величины, которые могут принимать различные значения в зависимости от внешних по отношению к ним условий, принято называть случайными (стохастичными по природе). СВ называется дискретной, если ее множество значений конечно. В противном случае она называется непрерывной.

Question 10

Теорема о сложении вероятностей

Answer 10

• P(A+B) =P(A)+P(B) - если A и B - несовместны.
• P(A+B) =P(A)+P(B)-P(AB) - если A и B - совместны.
• P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) - если A, B и C - совместны.

Question 11

Теорема умножения вероятностей

Answer 11

• P(AB)=P(A)P(A/B)
• P(A₁,A₂,…,A_n)= P(A₁)* P(A₂/A₁)* P(A₃/A₁A₂)* …* P(A_n/A₁A₂…A_n-1)

Следствие. Вероятность совместного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А)*Р(В).

Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события А появляется с вероятностью р, вероятность появления события А хотя бы один раз равна 1 - (1 - р)ⁿ

Question 12

Благоприятствующий исход

Answer 12

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

Question 13

Геометрическое определение вероятности

Answer 13

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L на удачу поставлена точка. Это означает, что поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L. Вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. Таким образом, вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством:

P=l/L

Question 14

Достоверные и невозможные события

Answer 14

События называются достоверными, если вероятность их появления =1. Невозможными если вероятность их появления =0.

Question 15

Испытание (опыт)

Answer 15

Под испытанием (опытом) в теории вероятностей принято понимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания.

Question 16

Классическое определение вероятности

Answer 16

Вероятностью события А называются отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех несовместных равновозможных исходов n, образующих полную группу.

p=P(A)=m/n=|A|/|Ω|

Question 17

Несовместные события

Answer 17

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.

Question 18

Полная группа событий

Answer 18

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними

Question 19

Равновозможные события

Answer 19

События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным чем другое.

Question 20

Случайное событие

Answer 20

Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Question 21

Случайное явление

Answer 21

Случайное явление – явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает несколько по-иному.

Question 22

Дискретная случайная величина

Answer 22

Дискретной называется случайная величина, которая принимает отдельные изолированные всевозможные значения которые можно пронумеровать.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным).

Question 23

Функция распределения

Answer 23

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, то есть F(x)=P(X.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.

Question 24

Отклонение дискретной СВ

Answer 24

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: X – M(X).

Свойство отклонения: Математическое ожидание отклонения равно нулю: M[X – M(X)] = 0.

Question 25

Дисперсия непрерывной СВ

Answer 25

Дисперсией непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл *D(X) = ^b_a∫(x-M(X))²f(x)dx* Если возможные значения принадлежат всей оси *Ox*, то *D(X) = ^∞_-∞∫(x-M(X))²f(x)dx* Так как *D(X) = M(X²) – [M(X)]²*, то можно использовать следующие формулы для вычисления дисперсии: *D(X) = ^b_a∫(x²f(x)dx - [M(X)]²*.

Question 26

Дисперсия (рассеяние) дискретной СВ

Answer 26

**Дисперсией (рассеянием)** дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D(X) = M[X – M(X)]² Для вычисления дисперсии часто удобно пользоваться другой формулой: D(X) = M(X2) – [M(X)]²

Question 27

Математическое ожидание дискретной СВ

Answer 27

**Математическим ожиданием** дискретной СВ называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть случайная величина *X* может принимать только значения x₁, x₂, …, x_n, вероятности которых соответственно равны p₁, p₂, … p_n . Тогда математическое ожидание *M(X)* случайной величины *X* определяется равенством *M(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + …+ x_np_n*

Question 28

Математическое ожидание непрерывной СВ

Answer 28

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл *M(X) = ^b_a∫xf(x)dx* Если возможные значения принадлежат всей оси *Ox* , то *M(X) = ^∞_-∞∫xf(x)dx*

Question 29

Непрерывная случайная величина

Answer 29

Случайная величина называется **непрерывной**, если она принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Question 30

Непрерывная случайная величина (через функцию)

Answer 30

Случайная величина называется **непрерывной**, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно- дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Question 31

Свойста функции распределения

Answer 31

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2. F(x) – неубывающая функция, то есть F(x₂) ≥ F(x₁), если x₂ \> x₁. 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то 1) F(x) = 0 при x ≤ a; 2) F(x) = 1 при x ≥ b. 1. Функция распределения непрерывна слева, то есть F(x₀) = F(x₀ - 0).​

Question 32

Свойства дисперсии СВ

Answer 32

1. *D(C)=0*, C - const 2. *D(CX) = C²\*D(X)*, C - const 3. *D(X±Y) = D(X)+D(Y)* 4. *D(XY) = M(X²)-M(Y²) - M²(X)\*M²(Y)*

Question 33

Свойства математического ожидания

Answer 33

1. *М(С)=С*, C - const 2. *М(СХ)=СМ(Х)*, C - const 3. *М(Х₁+Х₂+...+ Х_n) = М(Х₁) + М(Х₂) +...+ М(Х_n)* 4. *М(Х₁\*Х₂\*...\*Х_n) = М(Х₁)\*М(Х₂)\*...\*М(Х_n)*

Question 34

Аксиомы Колмогорова для условных вероятностей

Answer 34

1. P(B/A)\>=0 2. P(Ω/A)=1 3. P(Ø/A) = 0 4. P([B+C]/A)=P(B/A)+P(C/A), B\*C≠Ø 5. P((не)B/A)=1-P(B/A)

Question 35

Зависимые события

Answer 35

Два события называются **зависимыми**, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. в случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности события.

Question 36

Лемма о взаимной независимости

Answer 36

Если А не зависит от В, то и В не зависит от А.

Question 37

Сумма двух событий

Answer 37

**Суммой двух событий** А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Question 38

Условная вероятность

Answer 38

Условной вероятностью *Р(А/В)* события *А* называется вероятность события *А*, вычисленная при условии, что событие *В* произошло. Аналогично через *Р(В/А)* обозначается условная вероятность события *В* при условии, что событие *А* наступило.

Question 39

Бета-распределение I-го рода

Answer 39

Случайная величина, имеющая бета-распределение I-го рода, определена на области[0,1]. Функция распределения:

Question 40

Гамма-распределение

Answer 40

где *Γ(λ)* – Гамма-функция Эйлера, *a* - параметр масштаба, *λ* - параметр формы *_Частные случаи_*: * Γ(a, 1) – показательное (экспоненциальное) распределение с параметром масштаба a * Γ(1, 1) – стандартное показательное распределение * X²(n) = Γ(2, n/2), где n ∈ N – распределение с n степенями свободы * Γ(a, λ), где λ ∈ N – распределение Эрланга порядка λ.

Question 40

Бета-распределение II-го рода

Answer 40

Случайная величина, имеющая бета-распределение II-го рода, определена на области [0, +∞). Функция распределения:

Question 40

Бета-распределение III-го рода

Answer 40

Случайная величина, имеющая бета-распределение III-го рода, определена на области [0,1]. Функция распределения:

Question 41

Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Answer 41

где µ - математическое ожидание, σ - среднеквадратичное отклонение. Обозначается: N(x; µ ,σ ) или N( µ ,σ )

Question 41

Распределение Стьюдента (t)

Answer 41

Пусть U – является стандартной нормально распределенной случайной величиной, т.е. U_~N(x;0,1), а X²_k имеет хи-квадрат распределение с k степенями свободы, U и – независимые величины. Тогда распределение случайной величины (рисунок) называется **t-распределением Стьюдента** с k-степенями свободы

Question 42

Распределение Хи-квадрат (X²)

Answer 42

Пусть независимые случайные величины υ₁, υ₂, …, υ_k являются стандартными нормально распределенными величинами (т.е. для i = 1, 2, …, k). Тогда случайная величина (сумма квадратов) X²_k=u²₁ + u²₂ + ... + u²_k имеет распределение Хи-квадрат c k степенями свободы.

Question 42

Распределение Фишера (F)

Answer 42

Пусть *X²_k*, *X²_l* независимые случайные величины, имеющие Хи-квадрат распределения с *k* и *l* степенями свободы соответственно. Тогда распределение случайной величины

Question 43

Апостериорная вероятность

Answer 43

Апостериорная вероятность - условная вероятность случайного события при условии, что известны данные полученные после опыта, то есть насколько вероятной оказалась причина с *учётом данных событий*

Question 44

Априорная вероятность

Answer 44

Априорная вероятность - безусловная справедливость гипотезы, насколько вероятна причина *вообще*

Question 45

Ковариация (корреляционный момент, ковариационный момент)

Answer 45

Ковариация (корреляционный момент, ковариационный момент) - мера линейной зависимости двух случайных величин.

Question 47

Корреляция, корреляционная зависимость

Answer 47

**Корреляция, корреляционная зависимость **- статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин.

Question 49

Коэффициент регрессии

Answer 49

**Коэффициент регрессии**, показывает на сколько изменяется один признак при изменении другого на единицу измерения. В формуле обычно указывается, какой коэффициент регрессии мы определяем: первого признака по второму *R_1/2*, или второго по первому *R_2/1*, и в зависимости от этого подставляем в формулу сигмы.

Question 51

Линейный коэффициент корреляции

Answer 51

Для устранения недостатка ковариации был введён **линейный коэффициент корреляции**.

Question 53

Регрессия

Answer 53

Регрессия - зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин. В отличие от чисто функциональной зависимости *y=f(x)*, когда каждому значению независимой переменной *x* соответствует одно определённое значение величины *y*, при регрессионной связи одному и тому же значению *x* могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины y. Если при каждом значении *x=x_i* наблюдается ni значений *y*_i1*, ...,* y_in1 величины y, то зависимость средних арифметических *ŷ_i=(y_i1 + … + y_in1)/n_i* от *x=x_i* и является **регрессией** в статистическом понимании этого термина. С _коэффициентом корреляции_ тесно связана регрессия, величина которой определяется _коэффициентом регрессии_:

Question 54

**Теорема Байеса** (или формула Байеса)

Answer 54

**Теорема Байеса** (или формула Байеса) — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определитьвероятность какого-либо события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним событие. Другими словами, по формуле Байеса можно более точно пересчитать вероятность, беря в расчет как ранее известную информацию, так и данные новых наблюдений. Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

Question 55

Формула полной вероятности

Answer 55

Пусть имеется группа событий H₁, H₂, …, H_n, обладающая следующими свойствами: 1. все события попарно несовместны: H_i∩H_j=∅, i,j = 1,2,..,n; i≠j 2. их объединение образует пространство элементарных исходов Ω: Ω=H₁ ∪ H₂ ∪ ... ∪ H_n. В этом случае будем говорить, что *H₁, H₂, …, H_n* образуют **полную группу** событий. Такие события иногда называют **гипотезами**. Пусть *A* – некоторое событие: *A⊂Ω*. Тогда имеет место формула полной вероятности: *P(A) = P(A/H1)P(H1) + P(A/H2)P(H2) + … + P(A/Hn)P(Hn) = ∑_i=1ⁿ (P(A/Hi)P(Hi))*

Question 56

Закон распределения дискретной СВ

Answer 56

**Законом распределения дискретной случайной величины** называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е. *(рисунок)* , где р₁+ р₂+…+ р_n=1. Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р₁+ р₂+…+ р_n+… сходится и его сумма равна 1.

Question 57

Способы задания дискретной СВ

Answer 57

1. Для задания дискретной случайной величины достаточно задать семейство вероятностей p_i = P(X=x_i), где i=1, ..., n. 2. Задать **закон распределения** дискретной случайной величины можно в виде функции распределения вероятностей (интегральной функции распределения) F(x), где *F(x) = P(X \< x) = P(U {X=x_i}) = ∑P(X=x_i)*. График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид (рисунок 1). 3. **Ряд распределения** или **табличный способ** задания дискретной случайной величины: первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, расположенные в порядке возрастания, а вторая – их вероятности (рисунок 2). 4. **Многоугольник распределения** или графический способ задания дискретной случайной величины. В прямоугольной системе координат строят точки (x_i, p_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения (рисунок 3).