המספרים הטבעיים

Question 1

המספרים הטבעיים לפי פון ניומן:

הגדרות
1. עוקב
2.סגירות
3.אינדוקטיביות
4.קבוצת הטבעיים

Answer 1

1. הקבוצה איקס איחוד איקס
2. אםם לכל איקס, גם העוקב שלו שייך לאותה קבוצת מספרים
3. קבוצה היא אינדקטיבית אםם היא סגורה תחת עוקב והקבוצה הריקה שייכת לה
4. חיתוך כל הקבוצות האינדוקטיביות

Question 2

1.קבוצה היא סופית אםם
2.קבוצה היא אינסופית אםם

Answer 2

היא שוות מספר למספר טבעי1
2היא לא סופית.

Question 3

קבוצת הטבעיים היא קבוצה האינדוקטיבית המוכלת בכל קבוצה אינדוקטיבית
מהו עיקרון האינדוקציה עבור הוכחה זו?

Answer 3

כל תת קבוצה אינדוקטיבית של הקבוצה של הטבעיים היא הקבוצה של הטבעיים עצמה.

Question 4

קבוצת החזקה
P(A)

Answer 4

קבוצת כל תתי הקבוצות של A

Question 5

הוכחה באינדוקציה:
מספר טבעי כלשהו מוכל בקבוצת החזקה של עצמו

Answer 5

בסיס האינדוקציה - המספר 0 מוכל בקבוצת החזקה של עצמו
הנחת האינדוקציה - מספר כלשהו מקיים את התכונה
צעד האינדוקציה - העוקב מקיים את התכונה

Question 6

העוצמה של קבוצה :הגדרה
|A|

Answer 6

1. אםם א ו-ב שוות מספר הן שוות עוצמה
   2.לכל קבוצה סופית א, העוצמה של הקבוצה שווה למספר טבעי

Question 7

למי העוצמה גדולה יותר
אם קיימת פו חח”ע מ-א ל-ב

Answer 7

: |A| ≤ |B |

Question 8

מתי
: |B| ≤ |A |
הופך ל
A| < |B|

Answer 8

כאשר הקבוצות אינן שוות מספר

Question 9

משפט קנטור

Answer 9

לכל קבוצה, העוצמה של קבוצת החזקה שלה גדולה יותר מהעוצמה של הקבוצה

Question 10

הוכחת משפט קנטור

Answer 10

לפי הגדרת אי שיוויון חזק - שני חלקים
חלק א - נוכיח ראשית שהעוצה גדולה יותר או שווה
בעזרת פונקציה חח”ע ועקרון האקסטנציונליות
נוכיח אי שוויון מספרי בין הקבוצות
הוכחה בשלילה - (לחזור להתעמק)