07 - Oscillations Mécaniques Flashcards by vir igna

Pendule pesant simple > Equation différentielle en précisant également ω₀²

θ̈ + gθ/ℓ = 0

Avec ω₀² = g/ℓ où ω₀ est la pulsation propre en rad/s

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Pendule pesant simple : Période propre

T₀ = 2π/ω₀ = 2π √( ℓ/g )

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Pendule pesant simple : Loi d’isochronisme

La période propre T₀ d’un pendule simple est indépendante de l’… pour des petites oscillations d’angle inférieur à …
Elle est également indépendante de sa …

Amplitude > 20°
Masse

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Pendule pesant simple : solution de l’équation différentielle

θ(t) = …

θ(t) = θᵐ.cos(ω₀t + φ₀)

où θᵐ est l’amplitude angulaire

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Cas 1 - L’horloge monte en accélérant ou descend en ralentissant

Période propre T₀₁

T₀₁ = 2π √( ℓ/ g+a ) = T₀ √( g/ g+a )

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Cas 2 - L’horloge monte en ralentissant ou descend en accélérant

Période propre T₀₂

T₀₂ = 2π √( ℓ/ g-a ) = T₀ √( g/ g-a )

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Cas 3 - L’ascenseur monte ou descend à vitesse constante

Période propre T₀

T₀ = 2π √( ℓ/g )

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Horloge à pendule dans un ascenseur : Cas 1, 2 et 3 L’heure indiquée et la période propre sont inversement proportionnelles

t₀/T₀ = t₁/T₀₁ = t₂/T₀₂ ⇔ t₀ > t₁ > t₂

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Horloge à pendule dans un ascenseur : cas où l’horloge à pendule s’arrête

a = …
La période propre tend vers …

a = g
∞

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Horloge à pendule dans un ascenseur : chute libre La masse m est en … et l’horloge ne cesse de …

Apesanteur

Battre

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Rencontre de 2 pendules

Donner la relation T₂/T₁

T₂/T₁ = √( ℓ₂/ℓ₁ ) = n₂/n₁

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Ressort horizontal

Force F⃗ exercée par le ressort sur le mobile

F⃗ = kx i⃗

Où x est le déplacement de l’extrémité mobile du ressort

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Ressort horizontal > Etirement

Si x … 0, T⃗ est orienté dans le sens de …

x > 0
-i⃗

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Ressort horizontal : compression

Si x … 0, T⃗ est orientée dans le sens de …

x < 0
i⃗

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Ressort horizontal

Tension T⃗ du ressort

T⃗ = kx i⃗

Où x est l’écartement du ressort

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Ressort horizontal > Equation différentielle de l’oscillateur harmonique

ẍ + kx/m = 0 Avec ω₀² = k/m ⇒ ẍ + ω₀².x = 0

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Ressort horizontal > Forme de la solution de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique

x(t) = X_m.cos(ω₀t+φ)

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Ressort horizontal > Solution de l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique

x(t) = X_m.cos( √(k/m).t +φ₀ )

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Ressort horizontal

Xᵐ est l’… des oscillations
ω₀ est la … du système ressort-solide
φ₀ est la … à l’origine des dates
Xᵐ et φ₀ sont des constantes qui dépendent des …

Amplitude / Pulsation propre / Phase / Conditions initiales

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Ressort horizontal > Période propre de ces oscillations libres mécaniques non amorties

T₀ = 2π/ω₀ = 2π.√( m/k )

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Ressort horizontal > Fréquence propre de ces oscillations libres mécaniques non amorties

f₀ = 1/T₀ = (1/2π) . √( k/m )

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Ressort horizontal étiré et lâché sans vitesse initiale

Conditions initiales, phase, amplitude, équation horaire

x(0) = x₀ > 0 et v(0) = 0
φ₀ = 0
X_m = x₀
x(t) = x₀.cos(ω₀t)

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Ressort horizontal comprimé et lâché sans vitesse initiale

Conditions initiales, phase, amplitude, équation horaire

x(0) = x₀ < 0 et v(0) = 0
φ₀ = π
X_m = x₀
x(t) = -x₀.cos(ω₀t + π)

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Ressort horizontal à l’équilibre et vitesse initiale négative

Conditions initiales, phase, amplitude, équation horaire

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x(0) = 0 et v(0) = v₀ < 0
φ₀ = π/2
X_m = v₀/ω₀
x(t) = -(v₀/ω₀) . sin(ω₀t)

À t=0, x₀=0 et v₀< 0 φ₀ = π/2 et X_m = v₀/ω₀

x(t) = (v₀/ω₀).cos(ω₀t+π/2) = -(v₀/ω₀).sin(ω₀t)

**_Ressort horizontal à l'équilibre et vitesse initiale positive_** Conditions initiales, phase, amplitude, équation horaire

* x(0) = 0 et v(0) = v₀ \> 0 * φ₀ = -π/2 * X_m = v₀/ω₀ * x(t) = (v₀/ω₀) . sin(ω₀t)

**_Ressort horizontal \> Classification des conditions initiales_** Si x₀ = Xᵐ/2 et v₀ = - (V(3)/2).Vm Alors φ₀ = ...

π/3

**_Ressort horizontal \> Classification des conditions initiales_** Si x₀ = Xᵐ/V(2) et v₀ = - Vᵐ/V(2) Alors φ₀ = ...

π/4

**_Ressort horizontal \> Classification des conditions initiales_** Si x₀ = Xᵐ/V(2) et v₀ = Vᵐ/V(2) Alors φ₀ = ...

- π/4

**_Ressort horizontal \> Classification des conditions initiales_** Si x₀ = ( V(3)/2 ).Xᵐ et v₀ = - Vᵐ/2 Alors φ₀ = ...

π/6

**_Ressort horizontal \> Déphasage de la position et de la vitesse_** * La position x et la vitesse v sont en ... de phase (déphasage de π/2) quand x est ... et v est ... Et inversement. * La position x et la vitesse v sont ... de période ...

* Quadrature / Nulle / Extrémale * Périodiques / T₀

**_Ressort horizontal \> Energie potentielle élastique_**

E_pe = 1/2kx²

**_Ressort horizontal \> Energie mécanique en l'absence de frottement_**

E_m = 1/2k(X_m)² = 1/2m(V_m)² = Ec + Ep = 1/2mv² + 1/2kx²

**_Ressort horizontal \> Vitesse maximale_**

V_m = ω₀X_m

**_Ressort horizontal \> Aspect énergétique_** * Quand la masse se rapproche de sa position d'équilibre, Epe ... et Ec ... * Quand elle s'en éloigne, Epe ... et Ec ... * Au cours d'une oscillation, il y a ... des Ec et Epe du système

* Diminue / augmente * Augmente / diminue * Conversion réciproque

**_Ressort horizontal \> Erreur fréquente sur la période des énergies_** Ec et Epe sont périodiques de période ... et non T₀

T₀/2

**_2 ressorts horizontaux_** Le système de 2 ressorts de coefficient de raideur k₁ et k₂ séparés d'une masse est équivalent à un ressort de coefficient de raideur K = ...

K = k₁ + k₂

**_2 ressorts horizontaux \> Equation différentielle_**

ẍ + (k₁ + k₂)x /m = 0

**_2 ressorts horizontaux \> Conception erronée de la notion d'allongement Δℓ_** A tout instant, l'allongement Δℓ de T = kΔℓ est toujours défini par rapport à la longueur du ressort au ... et non par rapport à la longueur du ressort à l'...

Repos ℓ₀ / équilibre

**_2 ressorts horizontaux \> Pulsation propre ω₀_**

ω₀ = √( k₁+k₂ /m)

**_2 ressorts horizontaux \> Période propre T₀_**

T₀ = 2π .√( m /k₁+k₂)

**_Ressort vertical : Principe d'inertie_** Le ressort est à l'équilibre : ...

* (Penser au ressort au repos puis à l'équilibre) * T₀ - P = 0 -k( x_éq - ℓ₀ ) - mg = 0

**_Ressort vertical \> Équation différentielle en condition d'équilibre_****__**

* ẍ + k( x - x_éq ) /m = 0 * On pose X = x - x_éq, on a donc ẌX = ẍx puisque x_éq est une constante Ẍ + ω₀²X = 0

**_Ressort vertical \> Solution de l'équation différentielle_**

* La solution de Ẍ + ω₀²X = 0 est : X(t) = X_mcos(ω₀t + Φ₀) * Donc, dans le repère (Ox) la solution de ẍ + k( x - x_éq ) /m = 0 est : * x(t) = (x_m-x_éq).cos(ω₀t+Φ₀) + x_éq * x(t) = (x_m-x_éq).cos(ω₀t+π/2) + x_éq

**_Ressort vertical \> Énergie mécanique à l'équilibre_**

E_m = E_c + E_pe + E_pp = 1/2 mv_m² + 1/2 k(x_éq- ℓ₀)² + mgx_éq

**_Ressort vertical \> Énergie mécanique au point d'amplitude maximale_**

E_m = 1/2 k(x_m - ℓ₀)² + mgx_m

**_2 ressorts liés entre eux \> Coefficient de raideur K_**

K = k₁k₂ /(k₁+k₂) ⇔ 1/K = 1/k₁ +1/k₂

**_2 ressorts reliés entre eux \> Équation différentielle_**

mẍ + k₁k₂x /(k₁+k₂) = 0

**_Oscillateur mécanique libre amorti_** * En présence de frottements, l'énergie mécanique de l'oscillateur libre ne se ... plus * L'énergie mécanique ... et se transforme en ... dissipée vers le milieu extérieur

* Conserve * Diminue Chaleur

**_Oscillateur mécanique libre amorti_** La force de frottement est proportionnelle à la ...

* Vitesse f⃗ = -λv⃗ avec λ\>0

**_Oscillateur mécanique amorti \> Equation différentielle dans tous les cas_**

-λẋ - kx = mẍ ⇔ ẍ + λẋ/m + ω₀²x = 0

**_Oscillateur mécanique amorti \> Solution de l'équation différentielle_**

* De la forme, x(t) = Ae^-λt/2m.cos(ωt + Φ₀) * Avec ω² = ω₀² - (λ/2m)² T \> T₀

**_Régime apériodique_** * Les frottement sont très ... * Le solide revient rapidement vers sa position d'équilibre sans ... * Le mouvement cesse d'être oscillatoire à partir d'une valeur critique de l'...

* Importants * Osciller * Amortissement

**_Régime critique_** * Parmi tous les mouvements apériodiques de cet oscillateur, c'est celui pour lequel le retour vers la position d'équilibre est le plus ... * Le régime critique est un régime particulier entre les régimes ... et ...

* Rapide Peudopériodiques * Apériodiques

**_Oscillation forcée ou entretenue_** * Puisque l'oscillateur réel est non ... il faut lui fournir un apport ... d'énergie par un système ... si l'on veut qu'il conserve une énergie mécanique constante

* Convervatif / régulier * Extérieur

**_Énergie cinétique maximale_**

Ec_max = 1/2 kX²

**_Oscillation forcée ou entretenue \> Oscillation à la résonnance_** * On applique à l'oscillateur une force motrice extérieur périodique. L'amplitude X_m des oscillations d'un ressort ou l'amplitude angulaire A_m d'un pendule dépend de la ... d'un excitateur * Elle est maximale quand la fréquence de l'excitateur est voisine de la ... caractérisant le résonateur ... On dit que l'oscillateur est à la ...

* Fréquence de rotation * Fréquence propre f₀ / solide-ressort / résonnance

**_Oscillation forcée ou entretenue \> Courbe de résonnance en fréquence_** * La courbe donnant les variations de l'amplitude des oscillations du résonateur en fonction de la fréquence imposée par l'excitateur s'appelle ... * La bande passante à -3dB représente l'intervalle de fréquence Δf=... comprise entre ... et ... pour lesquelles l'amplitude est supérieure à ... pour un ressort ou à ... pour un pendule

* Courbe de résonance * Δf=f₂-f₁ / f₁ et f₂/ * X_m/√2 et A_m/√2

**_Oscillation forcée ou entretenue \> Courbe de résonnance en temps_**

**_Oscillation forcée ou entretenue \> Courbe de résonnance en fréquence_** * L'amplitude à la résonnance X_m est obtenue pour une fréquence voisine de la ... appelée fréquence de ... * Dans le cas du ressort, on applique sur la masse m, en plus de la force de rappel et de la force d'amortissement, une force du milieu extérieur qui entretient le système. Cette force est de la forme : F(t) = ... * L'équation différentielle est alors : ...

* Fréquence propre f₀ / fréquence de résonnance * F(t) = F₀sin(2πft) * mẍ + λẋ + kx = F(t)

07 - Oscillations Mécaniques Flashcards

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