1-11 Flashcards
(11 cards)
- Definisati grupu i navesti primer.
Grupa je skup G na kome je definisana jedna binarna operacija * takva da važi:
zatvorenost: ∀x, y ∈ G, x * y ∈ G
asocijativnost: ∀x, y, z ∈ G, (x * y) * z = x * (y * z)
postojanje neutralnog elementa: ∃e ∈ G, ∀x ∈ G, x * e = e * x = x
postojanje inverznog elementa: ∀x ∈ G, ∃x⁻¹ ∈ G, x * x⁻¹ = x⁻¹ * x = e
PRIMERI:
1. skup celih brojeva sa operacijom sabiranja - ℤ : (ℤ, +)
2. modularna aritmetika (aritmetika sata, npr Z7, +7)
- Opisati grupu simetrija jednakostraničnog trougla (dijedarsku grupu D₃), to jest, navesti njene elemente i operaciju u toj grupi. Šta je neutral te grupe?
D₃ – skup izometrijskih transformacija ravni koje daju jednakostranični trougao preslikan u samog sebe.
Oznaka: D₃ = (D₃, ∘)
D₃ = {id, ρ, ρ², δ₁, δ₂, δ₃}, gde:
id = identično preslikavanje
ρ = rotacija trougla za 120° oko centra kruga opisanog oko trougla
δᵢ = simetrija u odnosu na osu δᵢ (i = 1, 2, 3)
Operacija: kompozicija preslikavanja
Neutral: id
- Opisati grupu ℤₙ (grupu ostataka po modulu n), to jest, navesti njene elemente, operaciju i neutral.
ℤₙ = ({0, 1, 2, …, n−1})
Operacija: sabiranje po modulu n
∀a, b ∈ ℤₙ, a +ₙ b = (a + b) mod n
Neutral je: 0
- Definisati podgrupu i koset podgrupe (levi i desni). Navesti primer podgrupe i nekog njenog koseta.
Neka je G = (G, *) grupa ; ∅ ≠ H ⊆ G
Podskup H određuje podgrupu grupe G akko je H=(H, *|HxH) grupa.
Pišemo 𝐻 ≤ 𝐺.
Koset: Ako je H ≤ G, a ∈ G, onda je:
aH = {ah | h ∈ H} levi koset
Ha = {ha | h ∈ H} desni koset
Ako je grupa komutativna: levi = desni
Primer: ℤ = grupa, H = 3ℤ
Levi koset koji odgovara elementu 1: 1 + 3ℤ
(skup svih celih brojeva koji pri deljenju sa 3 daju 1)
ℤ = 3ℤ ∪ (1 + 3ℤ) ∪ (2 + 3ℤ)
- Ako je G grupa i H ≤ G, dokazati da je G disjunktna unija levih koseta podgrupe H.
Svaki element a ∈ G leži u kosetu aH, pa zaključujemo da je G unija levih (desnih) koseta.
* a ∈ G, a se nalazi u nekom kosetu.
Treba još dokazati da su različiti koseti disjunktni, tj. ako je aH ≠ bH onda je aH ∩ bH = ∅.
Pretpostavimo suprotno: neka je aH ∩ bH ≠ ∅.
To znači da postoji element g ∈ aH ∩ bH.
Pošto g ∈ aH, sledi da postoji h₁ ∈ H takav da je g = ah₁.
Slično, postoji h₂ ∈ H takav da je g = bh₂.
Dakle, ah₁ = bh₂, odakle je a = bh₂h₁⁻¹.
Dokazujemo da važi aH ⊆ bH.
Neka je x proizvoljan element iz aH.
To znači da je x = ah₃ za neko h₃ ∈ H.
Pošto je a = bh₂h₁⁻¹, sledi da je x = bh₂h₁⁻¹h₃.
Element h₂h₁⁻¹h₃ pripada H jer je H grupa, pa x ∈ bH. Dakle aH ⊆ bH.
Slično dokazujemo i bH ⊆ aH, odakle je aH = bH, što je u suprotnosti sa početnom pretpostavkom.
Dakle, mora biti aH ∩ bH = ∅.
- Ako je H ≤ G, dokazati da svaki levi koset od H ima isti broj elemenata kao H.
Neka je aH posmatran levi koset od H. Treba pokazati da postoji bijekcija između H i aH.
Posmatramo funkciju: f: H → aH definisanu sa f(h) = ah
i dokazujemo da je to tražena bijekcija.
Injektivnost:
Neka su h₁, h₂ ∈ H takvi da je f(h₁) = f(h₂).
Sledi da je ah₁ = ah₂, odakle množenjem sa a⁻¹ dobijamo da je h₁ = h₂.
Surjektivnost:
Neka je x ∈ aH. Tada je x = ah za neko h ∈ H. Dakle, x = f(h), pa je f i surjektivna.
- Definisati red grupe. Koliki je red grupa D₃, ℤₙ i ℤ?
Broj elemenata konačne grupe G nazivamo red grupe i označavamo sa |G|.
Ako je grupa beskonačna, kažemo da je beskonačnog reda.
|D₃| = 6, |ℤₙ| = n, |ℤ| = ∞
- Definisati indeks podgrupe H u grupi G. Koliki je indeks podgrupe 3ℤ u grupi ℤ?
Broj levih koseta podgrupe H u grupi G nazivamo indeks podgrupe H u grupi G i označavamo sa [G : H].
Indeks 3ℤ u ℤ je 3 jer imamo 3 koseta podgrupe 3ℤ u grupi ℤ.
- Formulisati i dokazati Lagranzovu teoremu. Navesti tvrdnje koje se koriste u dokazu.
Teorema: Neka je G konačna grupa i H ≤ G. Tada važi:
|G| = |H| ⋅ [G : H]
Dokaz: Grupa G je disjunktna unija (G : H) koseta, od kojih svaki ima |H| elemenata.
Tvrdnje koje se koriste u dokazu:
Grupa G je unija disjunktnih levih (ili desnih) koseta od H.
Svaki levi koset gH ima isti broj elemenata kao H.
- Ilustrovati Lagranzovu teoremu primerom grupe ℤ₆ i njene podgrupe H = {0, 3}.
Koseti podgrupe H su:
0 + H = {0, 3}
1 + H = {1, 4}
2 + H = {2, 5}
ℤ₆ = {0, 1, 2, 3, 4, 5} je posmatrana grupa.
Dakle, imamo 3 koseta po 2 elementa.
Pošto je 2 ⋅ 3 = 6 jednako redu grupe ℤ₆, ovde važi Lagranzova teorema.
- Ilustrovati Lagranžovu teoremu primerom grupe D₃ i njene podgrupe H = {1, r, r²}.
D₃ = {1, r, r², f, fr, fr²}
Levi kosevi podgrupe H su:
H = {1, r, r²}
fH = {f, fr, fr²}
Dakle, imamo 2 koseta sa po 3 elementa, pa Lagranžova teorema važi jer je |D₃| = 6.
