12-20 Flashcards
(9 cards)
- Dokazati da je presek dve podgrupe grupe G (H i K) takođe podgrupa grupe G i navesti primer da unija dve podgrupe grupe G ne mora biti podgrupa grupe G.
Pošto H i K sadrže neutral, sledi da H ∩ K sadrži neutral.
Neka su a, b ∈ H ∩ K. To znači da su a, b ∈ H i a, b ∈ K.
Iz a ∈ H sledi da a⁻¹ ∈ H, iz a ∈ K sledi da a⁻¹ ∈ K.
Sve ukupno imamo a⁻¹ ∈ H ∩ K.
Neka a, b ∈ H ∩ K. To znači da a, b ∈ H i a, b ∈ K.
Iz ab ∈ H i ab ∈ K sledi da ab ∈ H ∩ K.
Sve ukupno imamo ab ∈ H ∩ K.
Primer da unija dve podgrupe ne mora biti podgrupa G:
Podgrupe ℤ: 2ℤ ⊆ ℤ i 3ℤ ⊆ ℤ ali 2ℤ ∪ 3ℤ nije podgrupa ℤ.
- Definisati red elementa u grupi. Koliki je red elementa 2 u grupi ℤ₇, a koliki u ℤ? Koliki su redovi elemenata r i f u grupi D₃?
Neka je G grupa i a ∈ G. Red elementa je najmanji prirodan broj n takav da je aⁿ = e (e je neutral G). Ako takav broj ne postoji, kažemo da je beskonačnog reda. Oznaka: red elementa a – ω(a)
ω(2)ₓ₇ = 7
ω(2)ₓ = ∞
ω(r)ᴰ₃ = 3
ω(f)ᴰ₃ = 2
- Dokazati da u konačnoj grupi svi elementi imaju konačan red.
Neka je a proizvoljan element grupe G. Posmatramo niz: e, a, a², a³, a⁴, …
Pošto je G konačnog reda, sledi da postoji prirodni brojevi m i n takvi da je aᵐ = aⁿ.
Neka je na primer m > n. Tada je aᵐ⁻ⁿ = e, odakle sledi da element a nije beskonačnog reda.
- Definisati cikličnu grupu i navesti primer.
Kažemo da je grupa G ciklična ako postoji element a ∈ G takav da je svaki element iz G oblika aⁿ za neki ceo broj n, tj.
G = {aⁿ | n ∈ ℤ}
Primer: ℤ, ℤ₇ i ℤ₆ (svegenerisane elementom 1).
- Dokazati da je red elementa a u konačnoj grupi jednak redu ciklične podgrupe ⟨a⟩.
Neka je ω(a) = n. Dokazujemo da je
⟨a⟩ = {e, a, a², …, aⁿ⁻¹} i da su svi ovi elementi različiti.
Inkluzija zdesna na levo je jasna, jer svi elementi e, a, a², …, aⁿ⁻¹ pripadaju ⟨a⟩,
jer je ⟨a⟩ grupa (pa sadrži neutral i zatvorena je za množenje).
Dokazujemo inkluziju sleva na desno:
Svaki element iz ⟨a⟩ je oblika aᵐ za neki ceo broj m. Kada podelimo sa ostatkom m sa n, dobijamo da je m = nq + r pri čemu 0 ≤ r < n, pa je:
aᵐ = aⁿᑫ⁺ʳ = (aⁿ)ᑫ aʳ = eᑫ aʳ = aʳ
Dakle, aᵐ = aʳ
Pošto je 0 ≤ r < n, sledi da je aʳ ∈ {e, a, a², …, aⁿ⁻¹}
Završili smo dokaz inkluzije sleva na desno.
Ostaje još da dokažemo da su svi elementi e, a, a², …, aⁿ⁻¹ različiti.
Pretpostavimo suprotno, neka važi aʳ = aˢ za neke r, s ∈ {0, 1, …, n – 1} i neka je npr. r > s.
Tada, iz aʳ = aˢ sledi da je aʳ⁻ˢ = e,
a to nije moguće jer je r – s < n
(znamo da je red elementa a jednak n, što znači da je to najmanji prirodan broj za koji važi aⁿ = e).
Dakle, svi elementi {e, a, a², …, aⁿ⁻¹} su međusobno različiti.
- Ilustrovati prethodno tvrđenje primerom grupe D₃ i njene podgrupe ⟨r⟩.
Podgrupa generisana elementom r u D₃ je
⟨r⟩ = {1, r, r²}
Vidimo da je red te podgrupe jednak 3 što se poklapa sa redom elementa r u D₃.
- Dokazati da red elementa konačne grupe deli red grupe i formulisati tvrđenja koja se koriste u dokazu.
Neka je G konačna grupa i a ∈ G. Iz prethodne teoreme (1) sledi da je red elementa a jednak redu ciklične grupe ⟨a⟩.
Iz Lagranžove teoreme (2) znamo da red svake podgrupe od G deli red grupe G.
Dakle, i red podgrupe ⟨a⟩ deli red grupe G. Prema tome, red elementa a deli red grupe G.
(1) Red elementa u konačnoj grupi jednak je redu ciklične podgrupe ⟨a⟩
(2) Lagranž
|G| = |H| · |G : H|
- Dokazati da je svaka ciklična grupa Abelova.
Neka je G = ⟨a⟩ i neka su x, y ∈ G proizvoljni. Znamo da po definiciji elemenata grupe sledi da postoje celi brojevi m i n takvi da je x = aᵐ i y = aⁿ.
Pošto je xy = aᵐaⁿ = aᵐ⁺ⁿ = aⁿ⁺ᵐ = aⁿaᵐ = yx
sledi da je grupa G Abelova.
- Dokazati da je svaka grupa prostog reda ciklična.
Neka je |G| = p gde je p prost broj.
Neka je a ∈ G proizvoljan element različit od neutrala. Dokazujemo da je G = ⟨a⟩.
Dakle, ω(a) ≠ 1 i ω(a) | p (red elementa a deli red grupe), pa je ω(a) = p.
Znamo da je red elementa a u konačnoj grupi jednak redu ciklične grupe ⟨a⟩.
Sledi ⟨a⟩ = p.
Dakle, ⟨a⟩ je podgrupa od G koja ima isti broj elemenata kao G, pa je ⟨a⟩ = G.
