МАТАН 1 СЕМЕСТР Flashcards
(94 cards)
1
Q
Л1 ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА МН-ВА
A
Такая точка х их мн-ва А, что в любой окрестности точки х найдется хотя бы одна точка из мн-ва А(отличная от х)
2
Q
Л1 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
A
Такое число а, что в для люой окрестности числа а существует такой номер N, что все эл-ты последовательности после этого номера лежат в данной окрестности
3
Q
Л1 СХОДЯЩАЯСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
A
Последовательность имеющая предел
4
Q
Л1 СВ-ВА ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
A
- Если а предел последовательности, то а - предельная точка мн-ва значений последовательности
- Вне любой окрестности предела последовательности лежит конечное число членов последовательности
- Множество значений сходящейся последовательности может иметь только одну предельную точку
- арифметические св-ва пределов:
4.1. сумма двух сходящихся последовательностей сходится к числу равному сумме пределов исходных последовательностей
4.2. пр-е двух сходящихся последовательностей сходится к произведению пределов изначальных последовательностей
4.3 две последовательности сходятся к числу а и зажали между собой третью последовательность => третья последовательность сходится к а
5
Q
Л1 НЕРАВЕНСТВО БЕРНУЛИ
A
(1 + Х)^n >= 1 + n*X
6
Q
Л1 МОНОТОННО ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
A
Каждый последующий эл-т последовательности больше или равен предыдущему
7
Q
Л1 ВЫВОД ЧИСЛА Е
A
Доказываем что рассматриваемая посл-ть (1 + 1/n)^n возрастает и при этом ограничена сверху, из чего называем ее предел числом е
8
Q
Л1 Т О СХОДИМОСТИ МОНОТОННО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
A
ЕСЛИ ПОСЛ-ТЬ МОНОТОННО ВОЗРАСТАЕТ И ОГРАНИЧЕНА СВЕРХУ, ТО ОНА СХОДИТСЯ
9
Q
Л2 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ а (+ дельта-эпсилон формулировка)
A
Число называется пределом функции f(x) при x->a , если
для любого сколь угодно малого числа эпсилон(E) большего нуля найдется
положительное число дельта(d), зависящее от эпсилон , такое ,что из условия, 0<|x-a|<d следует условие для функции |f(x) - A| < E
ИЛИ
Для любой эпсилон окрестности предела A найдется дельта окрестность точки a
, такая что, как только x попадает в дельта окрестность точки a, так функция f(x)
попадает в эпсилон окрестность предела A.(геометрическая
интерпретация)
дельта-эпсилон формулировку см в лекции
10
Q
Л2 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ(+дельта-эпсилон формулировка)
A
в лекции смотри
11
Q
Л2 ОДНОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ(правый, левый) В ЭПСИЛОН ОКРЕСТНОСТИ
A
В ЛЕКЦИИ
12
Q
Л2 Т ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ ФУНКЦИИ ИМЕЮЩЕЙ ПРЕДЕЛ + ДОК-ВО
A
Если функция в окрестности точки имеет конечный предел, то рассматриваемая функция ограничена в некоторой окрестности этой точки
13
Q
Л2 Т О СОХРАНЕНИИ ЗНАКА ПРЕДЕЛА + Д-ВО
A
Если функция в некоторой окрестности точки а имеет конечный предел не равный нулю, то существует такая окрестность точки а, что функция в ней не меняет своего знака
14
Q
Л2 Т О ЕДИНСТВЕННОСТИ ПРЕДЕЛА + Д-ВО
A
Если функция имеет конечный предел в окрестности некоторой точки, то этот предел у нее единственный
15
Q
Л2 Т О ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ФУНКЦИИ(Т О ДВУХ МИЛИЦИОНЕРАХ) + Д-ВО
A
Если в некоторой окрестности точки а определены функции u(x), f(x), v(x) и верно: u(x)<=f(x)<=v(x), и lim u(x) = lim v(x) = A => lim f(x) = A
16
Q
Л2 ОБЩИЙ ВИД 1-ГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА
A
lim sin(a(x))/a(x) = 1 при a(x) -> 0
17
Q
Л2 ОБЩИЙ ВИД 2-ГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА + Д-ВО
A
lim (1 + 1/a(x))^a(x) при а(х) -> бесконечность
18
Q
Л3 ОГРАНИЧЕННАЯ НА ИНТЕРВАЛЕ ФУНКЦИЯ
A
ф-я f(x) ограничена на интервале (a,b) если существует такое М>0: для любого х из (a,b), верно утверждение |f(x)|<M
19
Q
Л3 ФУНКЦИЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ПРИ СТРЕМЛЕНИИ К а
A
Ф-я ограничена при стремлении к а, если она ограничена в некоторой окрестности а
20
Q
Л3 Т О СВЯЗИ ФУНКЦИИ С ЕЕ ПРЕДЕЛОМ
A
Предел функции f(x) равен некоторому числу А <=> ф-я g(x) = f(x) - A - б. м. ф-я
21
Q
Л3 Б. Б. ФУНКЦИЯ В ДЕЛЬТА-ЭПСИЛОН ТЕРМИНОЛОГИИ
A
В ЛЕКЦИИ СМ
22
Q
Л3 Т О ПРОИЗВЕДЕНИИ Б М Ф-ИИ НА ОГР Ф-Ю
A
Пр-е б м ф-ии на огр ф-ю есть б м ф-я
23
Q
Л3 НЕСРАВНИМЫЕ Б М Ф-ИИ
A
Такие ф-ии что предел a(x)/b(x) не существует
24
Q
Л3 КРИТЕРИЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Б М Ф-ИЙ
A
Б М Ф-ИИ ЭКВИВАЛЕНТНЫ <=> КОГДА ИХ РАЗНОСТЬ ЕСТЬ Б М Ф-Я БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА МАЛОСТИ
25
Л3 Т О ЗАМЕНЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ Б М Ф-ИЙ
Предел отношения двух бесконечно малых функций a(x), b(x) не
изменится, если заменить эти бесконечно малые функции эквивалентными
бесконечно малыми функциями при x->a
26
Л3 ОСНОВНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
sin(x) ~ x
tg(x) ~ x
arcsin(x) ~ x
ln(1+x) ~ x
a^X-1 ~ x*ln(a)
e^x-1 ~ x
1-cos(x) ~ x^2/2
(1+x)^m -1 ~ m*x
27
Л4 НЕПРЕРЫВНАЯ В ТОЧКЕ Ф-Я
Функция y = f(x) называется непрерывной
в точке x0, если
1.она определена в точке x0,
2. существует конечный предел при x->x0
3. предел существует и равен значению функции в точке x0
28
Л4 СЛ-Е ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПР В Т Ф-ИИ
Знак предела и знак ф-ии можно менять местами если ф-ия в точке предела непрерывна
29
Л4 НЕПРЕРЫВНАЯ Ф-ИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ Х0
Ф-я непрерывна в окрестности точки <=> ф-я непрерывна в каждой точке окрестности
30
Л4 О НЕПРЕРЫВНОСТИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ Ф-ИЙ
Ф-ии sin(x), cos(x), a^x, x^n, loga(X) непрерывны на любом отрезке своей области определения
31
Л4 Т О ОПЕРАЦИЯХ С НЕПРЕРЫВНЫМИ Ф-МИ
Сумма, разность, произведение, отношение ( если знаменатель
отличен от нуля) двух непрерывных функций есть функция непрерывная
32
Л4 Ф-Я НЕПР НА ОТРЕЗКЕ
Функция называется непрерывной на отрезке , если она
непрерывна во всех внутренних точках отрезка, а в концевых точках
существуют два односторонних предела
33
Л4 Т ОБ ОБРАЩЕНИИ В НУЛЬ Ф-ИИ НЕПР НА ОТКРЕЗКЕ
Если функция непрерывна на отрезке и концах отрезка
принимает значения различных знаков, то найдется хотя бы одна точка с такая, что f(c) = 0 , т.е. непрерывная функция не может изменить знак
не пройдя через нуль.
34
Л4 Т О ПРОМЕЖУТОЧНОМ ЗН Ф-ИИ НЕПР НА ОТРЕЗКЕ
Если ф-я непр на отрезке [a, b] и ее обл значений представляет и себя [A, B], то для любого С из [A, B] найдется хотя бы один с из [a, b], такой что f(c) = C
35
Л4 Т О ОГРАНИЧЕННОСТИ Ф-ИИ НЕПРЕРЫВНОЙ НА ОТРЕЗКЕ
Если функция непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке
ограничена
36
Л4 Т О наибольшем и наименьшем значении функции, непрерывной на отрезкЕ
Если функция непрерывна на отрезке , то хотя бы в одной
точке функция достигает своего наибольшего и хотя бы в одной точке
функция достигает своего наименьшего значений
37
Л5 ПРОИЗВОДНАЯ В ТОЧКЕ
Производной функции в точке называется предел
отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю, и обозначается f'(x)
38
Л5 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ В ТОЧКЕ ФУНКЦИЯ
Функция имеющую производную в данной точке
39
Л5 Т О НЕПРЕРЫВНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ +Д-ВО
Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна
в этой точке.
40
Л5 Т О СУЩЕСТВОВАНИИ ОБРАТНОЙ Ф-ИИ
Если функции y = f(x) определена, монотонна в строгом смысле и
непрерывна на некотором отрезке из Ох, то на соответствующем
отрезке Оу изменения функции определена обратная функция x = g(y), которая на этом отрезке также строго монотонна и непрерывна и при этом
41
Л5 Т О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ОБРАТНОЙ Ф-ИИ
Если функции y = f(x) удовлетворяет условиям Th 3 и дифференцируема на
отрезке из Ох, то обратная функция x = g(y), которая определена на
отрезке из Оу также будет дифференцируема и:
g'(y) = 1/f'(x)
42
Л6 Ф-ЛА ЛЕЙБНИЦА
Длинная в лекции см
43
Л7 Т ФЕРМА
Если функция y = f(x) определена на [a, b] и своего
экстремума достигает в некоторой внутренней точке c in [a, b] и в
точке c функция y=f(x) дифференцируема, тогда f'(c) = 0
44
Л7 Т РОЛЛЯ
)Если функция y=f(x)
1.непрерывна на [a, b]
2. дифференцируема на (a, b)
3. f(a) = f(b)
,то существует хотя бы одна точка c in (a, b) такая, что f'(c) = 0
45
Л7 Т ЛАГРАНЖА
Если функция y = f(x)
1. непрерывна на [a, b]
2. дифференцируема на (a, b) ,
то существует хотя бы одна точка c in (a, b) такая, что
f'(c) = (f(b) - f(a))/(b-a)
45
Л8 Т О МАЛОСТИ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА + ОПР ТАКОГО ОСТ ЧЛЕНА
Если функции y = f(x) имеет в точке a производные до n-го порядка
включительно, то Rn(x) = f(x) - Tn(x) = o'[(x-a)^n] - остаточный член в формпе Пеано
46
Л7 Т КОШИ
Если на отрезке определены две функции y = f(x)
и y=g(x) , которые
1. непрерывны на [a, b]
2. дифференцируема на (a, b)
3. g'(x) != 0 for any x in (a, b)
,
тогда (существует) хотя бы одна точка такая c in (a, b), что
(f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(c)
46
Л7 Т(ПРАВИЛО) ЛОПИТАЛЯ
Если две функции y = f(x) и y = g(x)
удовлетворяют следующим условиям:
1.являются бесконечно малыми(или бесконечно большими)
функциями при x -> a
2. дифференцируемы в окрестности точки a
3. g'(x) != 0 для любого х из окрестности а
4. существует конечный или бесконечный предел отношения
производных функций y = f(x) и y = g(x)
то
при x -> a lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)
47
Л8 МН-Н ТЕЙЛОРА В ОБЩЕМ ВИДЕ
В НАЧАЛЕ ЛЕКЦИИ СМ
47
Л8 ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН Ф-ЛЫ ТЕЙЛОРА
Разность функции и мн-на тейлора построенного для этой ф-ии
48
Л8 ЛОКАЛЬНАЯ Ф-ЛА ТЕЙЛОРА В ФОРМЕ ПЕАНО
Ну короче тупо ф-ла Тейлора просто + остаточный член в форме пеано
49
Л8 ЛОКАЛЬНАЯ Ф-ДА ТЕЙЛОРА В ФОРМЕ МАКЛОРЕНА
Ну короче как в форме пеано только относительно точки х=0
50
Л8 ЛОКАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА В ФОРМЕ МАКЛОРЕНА
Ну короче как в форме пеано, только отсаточный член имеет вид:
f'^(n+1)(i)*(x-a)^(n+1)/(n+1)! где a
51
Л8 Ф-ЛЫ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ Ф-ИЙ
e^x = 1 + x + x^2/2! + ... + x^n/n! + Rn(x)
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! + ... + (-1)^k*x^(2k-1)/(2k-1)! + R2k(x)
cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! + ... + (-1)^k*x^2k/(2k!) + R2k+1(x)
(1+x)^m = 1 + mx + m(m-1)x^2/2! + ... + m(m-1)...(m-(n-1))x^n/n! + Rn(x)
ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 + ... (-1)^(n+1)*x^n/n + Rn(x)
1/(1+x) = (1+x)^-1 = 1 - x + x^2 + ... + (-1)^n*x^n + Rn(x)
1/(1-x) = 1 + x + x^2 + ... + x^n + Rn(x)
52
Л9 СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ
Точки в которых пр-я ф-ии обращается в ноль
53
Л9 КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ
Точки в которых ф-я обращается в нольк, стремиться к бесконечности либо не определена вовсе
54
Л9 ТОЧКА ЛОКАЛЬНОГО МАКСИМУМА\МИНИМУМА
Точка такая что существует ее проколотая окрестность что функция во всех точках этой окрестности имеет меньшее\большее значение чем в рассматриваемой точке
55
Л9 ТОЧКА ЭКСТРЕМУМА Ф-ИИ
Точка локального максимума\минимума
56
Л9 ПЕРВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА Ф-ИИ
Если функция y=f(x) определенная и дифференцируемая в окрестности
точки a, где точка a критическая точка(это необходимое условие) функции, причем при переходе
через точку a производная функции меняет знак , то
1). если знак производной функции f(x)
меняется с «+» на «-», то точка
точка локального максимума функции.
2). если знак производной функции меняется с «-» на «+», то точка
точка локального минимума функции
57
Л9 АЛГОРИТМ ПОИСКА ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМА ПО ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
1 шаг: находим производную функции, приравниваем производную к
нулю и ищем корни уравнения .
присоединяем к найденным стационарным точкам те, в которых пр-я стремится к бесконечности и те, к которых производная не существует таким образом, находим все критические точки функции
2 шаг: отмечаем на оси Ох все критические точки функции и составляем схему изменения знака производной функции
в интервалах между
критическими точками функции
3 шаг: на основании схемы делаем вывод о интервалах убывания или возрастания
функции.
4 шаг: на основании схемы делаем вывод о характере критических точек. Если
нужно, можно построить схематический график.
58
Л10 ВОГНУТОСТЬ\ВЫПУКЛОСТЬ ГРАФИКА. ТОЧКА ПЕРЕГИБА
Если в дельта окрестности точки
дуга кривой графика функции
находится над\под касательной, то
кривая в точке вогнута\выпукла.
Если в дельта окрестности точки
дуга кривой графика функции
пересекает касательную, то точка
-точка перегиба.
59
Л10 Т ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ВЫПУКЛОСТЬ\ВОГНУТОСТИ
Если функция определена, непрерывна и дважды дифференцируема на
интервале и
1.f''(x)>0
функция на интервале вогнута
2.f''(x)<0
функция на интервале выпукла.
60
Л10 Т НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Если функция непрерывная с непрерывной производной до второго
порядка включительно, имеет в точке a точку перегиба, то
f''(a) = 0 или f''(a) = infinite
61
Л10 Т ПЕРВОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Если функция непрерывная с непрерывной производной до второго
порядка включительно, и вторая производная функции
при переходе через
точку меняет знак , то точка-точка перегиба
62
Л10 Т ВТОРОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА
Если функция в стационарной точке x0 имеет конечную производную второго порядка и если
f''(x0)<0
, то точка x0 – точка максимума функции ,
если
f''(x0)>0
, точка x0 – точка минимума функции
63
Л10 Т ВТОРОЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Если функция имеет в точке x0
f''(x0) = 0
,
f'''(x0) != 0
, то x0 – точка перегиба функции
64
Л10 ТРЕТЬЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА
Там писать дохера сам смотри
65
Л10 ТРЕТЬЕ ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Долго писать сам смотри
66
Л11 АССИМПТОТА
Асимптотой графика функции называется такая прямая,для
которой расстояние между точками этой прямой и кривой графика функции
стремится к нулю, когда точка по кривой графика неограниченно стремится в
бесконечность.
Различают наклонные асимптоты и вертикальные асимптоты
67
Л11 ВЕРТИКАЛЬНАЯ АССИМПТОТА
Прямая x = a называется вертикальной
асимптотой графика функции если при стремлении к этой точке ф-я стремиться к бесконечности
68
Л11 ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ АССИМПТОТА
Прямая y=b называется горизонтальной асимптотой графика функции если на бесконечности значение ф-ии стремится к b
69
Л11 НАКЛОННАЯ АССИМПТОТА
Прямая y=kx + b называется наклонной
асимптотой графика функции если разность ур-я ф-ии и уравнения ассмиптоты на бесконечности обращается в ноль
70
Л11 КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ НАКЛОННОЙ АССИМПТОТЫ
Для того, чтобы прямая являлась наклонной асимптотой графика
функции необходимо и достаточно существование конечных
пределов
при х -> inf lim f(x)/x = k и lim [f(x) - kx] = b
71
Л11 ОБЩАЯ СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА Ф-ИИ
1 этап. Определение общего характера графика функции
1.1 Найти область определения функции
1.2 Вычислить предельные значения на границе области определения
1.3 Исследовать функцию на четность
1.4 Исследовать функцию на периодичность
1.5 Найти точки пересечения с координатными осями
1.6 Найти точки разрыва.
1.7 Найти асимптоты ( вертикальные, наклонные, горизонтальные) графика функции.
1.8 По полученным результатам начертить эскиз графика
4
2 этап.Уточнение графика по первой производной.
2.1. Вычислить первую производную
2.2 Найти интервалы монотонности функции
2.3Найти точки экстремума функции.
3этап.Уточнение графика по второй производной
3.1 Вычислить вторую производную
3.2 Найти интервалы выпуклости, вогнутости функции
3.3 Найти точки перегиба функции
3.4. Составить таблицу, объединяющую все полученные результаты и построить
график функции.
72
Л12 Ф-Я НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Если в пространстве R2 каждой точке P=(x, y) , принадлежащей
некоторому множеству D, ставится в соответствие единственное
действительное значение z in R , то говорят, что на множестве D задана
функция двух переменных и обозначают z = f(x, y) .
73
Л12 ЭПСИЛОН ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ В ПР-ВЕ
Эпсилон(E) окрестностью точки Р(x0, y0, z0)
трехмерного пространства R3
называется множество A in R3 точек таких, что |P-A|
74
Л12 ПРОКОЛОТАЯ ЭПСИЛОН ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ В ПР-ВЕ
То же самое только 0<.....
75
Л12 ПРЕДЕЛ Ф-ИИ В ПР-ВЕ
Как в двумерном
76
Л12 НЕПРЕРЫВНАЯ В ТОЧКЕ Ф-Я В ПР-ВЕ
Функция u= f(x, y, z)=f(P) называется непрерывной
в точке P0, если
1.функция u=f(P) определена в точке P0,
2. существует конечный предела при P->P0
3. предел существует и равен значению функции в точке P0
77
Л12 Ф-Я НЕПРЕРЫВНАЯ В ПР-ВЕ НА ОБЛАСТИ
Как не в пр-ве
78
Л13-14 ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ
Полным приращением функции u = f(x, y, z) называется приращение
du = f(x + dx, y + dy, z + dz) - f(x, y, z)
79
Л13-14 Ф-Я ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ В ТОЧКЕ В ПР-ВЕ
Функция u = f(x, y, z) называется дифференцируемой в точке P0(x0, y0, z0),
если её полное приращение du может быть представлено в виде суммы двух
слагаемых: выражения, линейного относительно приращений dx, dy, dz и
величины бесконечно малой высшего порядка по сравнению с p=sqrt(dx^2 + dy^2 + dz^2)=sqrt((x-x0)^2 + (y-y0)^2 + (z-z0)^2)
du = A(x, y, z)dx + B(x, y, z)dy + C(x, y, z)dz + o(p)
80
Л13-14 ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ Ф-ИИ В ПР-ВЕ
Полным дифференциалом функции u=f(x, y, z) трех переменных
называется линейная часть её полного приращения, относительно
приращений всех её переменных dx, dy, dz и обозначается du
du = u'x * dx + u'y * dy + u'z * dz
81
Л13-14 ЧАСТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ Ф-ИИ В ПР-ВЕ
Частными дифференциалами по переменной x ( или y, или z)
называется линейная часть её полного приращения, линейная относительно
приращения по переменной dx(или dy или dz)
dux = u'x * dx
82
Л15-16 Т ЛОКАЛЬНОГО МАКСИМУМА\МИНИМУМА В ПР-ВЕ
Точка P0 трех-мерного пространства P0 in R3
называется точкой локального максимума (или минимума) функции
нескольких переменных u = f(x, y, z) , если существует такая её проколотая
окрестность, что для всех точек, принадлежащих этой окрестности,
выполняется неравенство f(P0)>=f(P) (f(P0)<=f(P))
83
Л15-16 ЗМ РАЗНИЦА М\У Т ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА И ПРОСТО ЛОКАЛЬНЫМ ЭКСТРЕМУМОМ
Значение функции в точке локального экстремума называется
локальным экстремумом функции.
84
Л15-16 НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА ДЛЯ Ф-ИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ + СЛ-Е
В точке локального экстремума
все частные производные первого порядка равны нулю, если они существуют
СЛ-Е:
Если точка P0 является точкой локального экстремума
дифференцируемой в ней функции, то d(f(P0)) = 0
.
85
Л15-16 КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА Ф-ИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Точка, в которой все частные производные функции
обращаются в нуль или не существуют, называется критической точкой.
86
Л15-16 СТАЦИОНАРНАЯ ТОЧКА ДЛЯ Ф-ИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Точка, в которой все частные производные функции
обращаются в нуль, называется стационарной точкой.
87
Л15-16 ТОЧКА МИНИ МАКСА
Короче это точка которая является криттической, но не является экстремумом, т к в разнаях сечениях будет максимумом и минимумом одновременно
88
Л15-16 Т ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА(ТАМ ПИЗДЕЦ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ)
Пусть функция u = f(P) непрерывна вместе с частными производными до второго порядка включительно в окрестности стационарной точки P0 и главные миноры матрицы A , составленной из частных производных второго порядка, соответствующие полному дифференциалу второго порядка d^2(f(x)) в этой точке определены, то:
1. если все главные миноры больше нуля, точка P0- точка локального минимума.
2. если все главные миноры чередуют знак, начиная с отрицательного , точка P0 - точка локального максимума.
3. в других случаях , при условии, что главные миноры отличны от нуля, точка P0 - точка не является ни минимум, ни максимумом .
4. если хоть один главный минор равен нулю, точка P0- точка может быть или не быть точкой минимума или максимума. В этом случае требуются дополнительные исследования.
89
Л15-16 ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ НА ЭКСТРЕМУМ Ф-ИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Используя необходимые условия экстремума, находим стационарные точки
2. Вычисляем частные производные второго порядка в каждой из найденных
стационарных точек. Составляем матрицу.
3. Определяем, является ли стационарная точка
точкой максимума или
минимума функции
а) если M1>0, M2>0, то
- точка локального минимума.
б) если M1<0, M2>0 , то
- точка локального максимума.
в) в остальных случаях стационарная точка
- не является точкой
экстремума, если M1!=0, M2!=0.
г) если M1, M2 = 0 , то необходимы дополнительные исследования
90
Л15-16 ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ НА ЭКСТРЕМУМ Ф-ИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
Там пиздец. по сути каак для двух, но если че см сам
91
-
Key Links
-
Subjects
-
Company
-
Find Us
-
