МАТАН 2 СЕМЕСТР Flashcards
(100 cards)
1
Q
Л1 ОПР ПЕРВООБРАЗНАЯ Ф-ИИ
A
ПЕРВООБРАЗНОЙ Ф-ИИ f(x) НА ИНТЕРВАЛЕ (a, b) НАЗЫВАЕТСЯ ТАКАЯ Ф-Я F(x) ОПР НА (a, b), ЧТО
F’(x) = f(x) ДЛЯ ВСЕХ х НА (a, b)
2
Q
Л1 Т О МН-ВЕ ПЕРВООБРАЗНЫХ + Д-ВО
A
ЕСЛИ НА (a, b) Ф-Я f(x) ИМЕЕТ ПЕРВООБРАЗНУЮ F(x), ТО ЛЮБАЯ ПЕРВООБРАЗНАЯ G(x) НА (a, b) ДАННОЙ Ф-ИИ ИМЕЕТ ВИД G(x) = F(x) + C, ГДЕ С - КОНСТАНТА
3
Q
Л1 ОПР НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
A
ЕСЛИ F(x) ОДНА ИЗ ПЕРВООБРАЗНЫХ f(x), ТО ВЫРАЖЕНИЕ ВИДА F(x) + C, ГДЕ С - ПОСТОЯННАЯ, НАЗЫВАЕТСЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ ИНТЕГРАЛОМ ИЛИ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИМ СЕМЕЙСТВОМ ПЕРВООБРАЗНЫХ ДАННОЙ Ф-ИИ + ОБОЗНАЧЕНИЕ
4
Q
ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ Т: Т ЛАГРАНЖА
A
СМ В ИНТЕРНЕТЕ
5
Q
Л1 ОПР ИНТЕГРИРОВАНИЕ
A
ДЕЙСТВИЕ ОТЫСКАНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
6
Q
Л1 ПРИМЕРЫ НЕ БЕРУЩИХСЯ ПОДИНТЕГРАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ(Ф-ИЙ)
A
SINx/x, e^(-x^2)
7
Q
Л1 СВ-ВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА + Д-ВА
A
- ВЫНЕСЕНИЕ ПОСТОЯННОГО МНОЖИТЕЛЯ
- ИНТЕГРАЛ СУММЫ ЕСТЬ СУММА ИНТЕГРАЛОВ
- ПРОИЗВОДНАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ЕСТЬ ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ Ф-Я
- ДИФФЕРЕНЦИАЛ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА ЕСТЬ ПОДЫНТЕГРАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
- НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Ф-ИИ РАВЕН ЭТОЙ Ф-ИИ ПЛЮС КОНСТАНТА
8
Q
Л1 ТАБЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ + ВЫВОД
A
СМ В ЛЕКЦИИ 3 СТР
9
Q
Л1 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
A
- МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ(РАЗЛОЖЕНИЕ Ф-ИИ НА СУММУ НЕСКОЛЬКИХ ДРУГИХ Ф-ИЙ И СООТВЕТСТВЕННО ИНТЕГРАЛА НА НЕСКОЛЬКО ДРУГИХ ИНТЕГРАЛОВ)
- ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ
- ПО ЧАСТЯМ
КОГДА ПРИМЕНЯЕТСЯ:
S Pnlnx
S Pnarcsinx
S Pn*arctgx
СТР5
10
Q
Л2 ИНТЕГРАЛЫ ПРОСТЕЙШИХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ(4 ШТ) + РЕШИТЬ ПРИМЕРЫ
A
В ЛЕКЦИИ СМ ОНИ ТАМ ПРОСТЫЕ стр7
11
Q
Л2 РЕКУРЕНТНАЯ Ф-ЛА
A
СТР 9
12
Q
Л2 РАЗЛОЖЕНИЕ ПРАВИЛЬНОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ НА ПРОСТЕЙШИЕ
A
СТР 10 + В СЛУЧАЕ КОМПЛЕКСНЫХ КОРНЕЙ СМ В ИНТЕРНЕТЕ
13
Q
Л3 УНИВЕРСАЛЬНАЯ ТРИГАНОМЕТРИЧЕСКАЯ ПОДСТАНОВКА + ЗАЧЕМ ОНА НУЖНА
A
tg x/2 = t
sin x = 2t/(1+t^2)
cosx = (1-t^2)/(1+t^2)
dx = 2dt/(1+t^2)
СТР 11
14
Q
Л3 НАХОЖДЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ВИДА (SIN X)^m * (COS X)^n
A
СТР 12 ТАМ ДОЛГО НО ПОЛЕЗНО
15
Q
Л3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ
A
СТР 13-15
при выражениях вида:R(x, SQRTn(ax+b))
замена: SQRTn(ax+b) = t
x = (t^n-b)/a
dx = (n*t^(n-1))dt/a
при выражениях вида:R(x, SQRTn(ax+b/cx+d))
замена:
ax+b/cx+d = t^n
при выраженях вида:
R(x, SQRTn1(ax+b/cx+d), …, SQRTnk(ax+b/cx+d))
замена:
ax+b/cx+d = t^p, p=n1…nk
16
Q
Л3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ
A
СТР 15
R(x; (ax^2 + bx + c)^1/2)=>
t=1/2(ax^2 + bx + c)’
dx/(x*(ax^2 + bx + c)^1/2) =>
x = 1/t; dx = -dt/t^2
17
Q
Л4 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА. Ф-Я ИНТЕГРИРУЕМАЯ НА ОТРЕЗКЕ
A
ПУСТЬ НА [A, B] ОПР Ф-Я Y = F(X).
1. [A,B] РАЗОБЬЕМ НА N ЧАСТЕЙ:
X0=A<X1<X2<…<XN=B
DXi=Xi-X(i-1)
- ИЗ КАЖДОГО [X(i-1), X(i)] ВОЗЬМЕМ Ei
ТОГДА ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ ПРИ i->INF ВИДА: SUM(F(Ei)*DXi) i=1…N ЕСТЬ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА. Ф-Я В ЭТОМ СЛУЧАЕ НАЗЫВАЕТСЯ ИНТЕГРИРУЕМОЙ НА ОТРЕЗКЕ [A, B]
18
Q
Л4 Т О ИНТЕГРИРУЕМОСТИ НЕПРЕРЫВНОЙ Ф-ИИ
A
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b], то существу-
ет определенный интеграл на этом отрезке
19
Q
Л4 Т ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
A
Если функция 𝑦=𝑓(𝑥) ограничена и кусочно-непрерывна на [𝑎;𝑏], то она
интегрируема на этом отрезке
20
Q
Л4 СВ-ВА ОПР ИНТЕГРАЛА(ТАМ ИЗИ)
A
СТР19-22
- Вынесение константы-множителя
- интеграл суммы есть сумма интеграллов
- если поменять порядок пределов интегрирования, значение интегралла поменяет знак
- если область интегрирования разбита точкой, то интеграл разюивается на два интегралла от той же ф-ии, но по областям интегрирования от начала к точке разюиения и от точки разюиения до конца
- если ф-я на области интегрирования сохраняет знак, слеждовательное интегралл на этой области будет иметь тот же знак что и ф-я
- если две ф-ии на отрезке интегрирования неизменно больше или меньше друг друга, то их интеграллы на этом отрезке так же будут больше или меньше друг друга соответственно
- если f (x) – непрерывная на отрезке a;b функция, то на отрезке a;b
существует хотя бы одна такая точка g , что abSf(x)dx = f(g)(b-a)
21
Q
Л5 Т О ПР-ОЙ ИНТЕГРАЛА С ПЕРЕМЕННОЙ ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦЕЙ
A
Производная интеграла по переменной верхней границе равна
подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена
верхней границей
(a-x S f(t)dt )’ = f(x)
стр22
22
Q
Л5 Т Ф-ЛА НЬЮТОНА ЛЕЙБНИЦА+Д-ВО
A
abS f(t)dt = F(b)-F(a)
23
Q
Л5 ПРАВИЛО ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
A
СТР24-25
Перейдем от переменной x к переменной t , положив:
x = f(t), f(a’) = a, f(b’) = b
Предположим также, что
1) Функция f(t) и ее производная f’(t) непрерывны на отрезке [a;b].
2) При изменении t от a’ до b’ значения функции f(t) не выходят за
пределы отрезка [a, b]
24
Q
Л5 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ В ОПР ИНТЕГРАЛЕ
A
КАК ВСЕГДА, БЕЗ ИЗМЕНЕНИЙ
25
Л6 МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ПЛОЩАДИ ФИГУРЫ
СТР 26
Если фигура
представляет собой криволинейную трапецию, то ее площадь находится исхо-
дя из геометрического смысла определенного интеграла, а именно:
s = a->b S f(x)dx
Пусть теперь плоская фигура такова, что любая верти-
кальная прямая пересекает ее не более чем в двух точках. Сле-
довательно, в области выполняются условия такого типа:
a <= x <= b, yв(x) >= yн(x) . Тогда согласно геометрическому смыслу
определенного интеграла
s = a->b S(yв(x) - yн(x))dx
Если же кривая задана в параметрическом виде:
s = t1->t2 S y(t)x'(t)dt
Эта формула получается формальной подстановкой y = f (x) = y(t) ,
dx = x'(t)dt . Значения параметра t1
соответствуют нижней границе a ,
t2 –верхней границе b .
Введем теперь формулу для нахождения площади, если одна
из границ дана в полярных координатах r= r(p).
s = 1/2(a->b S r^2dp)
26
Л6 ОБЬЕМ ТЕЛА ПО ИЗВЕСТНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЯМ
СТР27-28
27
Л6 ОБЬЕМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
СТР28
Объем тела вращения. Пусть криволинейная трапеция
вращается вокруг оси Ox. Очевидно, что
S(x) = Pi*y^2
. Подставив
это значение в выведенную формулу для объема, получим
Vx = Pi* a-b S y^2 dx
28
Л6 ДЛИНА ДУГИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
СТР28-29
Длина дуги плоской кривой. Пусть дана кривая L с начальной точкой
A и конечной B . Разделим ее на ряд элементарных дуг точками
A1, A2,..., An-1
. Положив A = A0
, B = An
и соединив соседние точки
деления отрезками, получим ломаную A0A1A2
...An-1An
.
Определение. Длиной дуги плоской кривой L называется
предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу
ломаной при условии, что число звеньев неограниченно возрас-
тает и длина каждого из звеньев стремится к нулю.
29
Л7 НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА И АЛГОРИТМ ЕГО НАХОЖДЕНИЯ
КОГДА ОДИН ИЗ ПРЕДЕЛОВ БЕСКОНЕЧНЫЙ
РЕШАЕТСЯ КАК ОБЫЧНЫЙ ИНТЕГРАЛ, ТОЛЬКО ПОТОМ ВЕРХНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ УСТРЕМЛЯЕМ В БЕСКОНЕЧНОСТЬ И НАХОДИМ ПРЕДЕЛ. ЕСЛИ ПРЕДЕЛ ЕСТЬ, ТО ИНТЕГРАЛ СХОДЯЩИЙСЯ, ИНАЧЕ НЕСХОДЯЩИЙСЯ
30
Л7 Ф-ЛА НЬЮТОНА ЛЕЙБНИЦА ДЛЯ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1-ГО РОДА
СТР30
31
Л7 НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2-ГО РОДА
КОГДА ОДНА ИЗ ТОЧЕК ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕ ОПРЕДЕЛЕНА ИЛИ ИМЕЕТ РАЗРЫВ
В ТАКОМ СЛУЧАЕ НАХОДИМ ПРАВЫЕ И ЛЕВЫЕ ПРЕДЕЛЫ ПЕРВООБРАЗНОЙ(ПО СИТУАЦИИ) В ТОЧКАХ РАЗРЫВА
32
Л7 1 ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ(ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ)
Пусть на полупрямой [a, +inf] (или на промежутке
[a;b)) функции f (x) и g(x ) непрерывны и удовлетворяют условиям
0 <= g(x) <= f(x). Тогда:
a) если интеграл a...+inf Sf(x)dx сходится, то сходится и интеграл a...+inf Sg(x)dx
(соотв. если интеграл a...b Sf(x)dx сходится, то сходится и интеграл a...b Sg(x)dx)
б) если интеграл a...+inf Sg(x)dx расходится, то расходится и интеграл a...+inf Sf(x)dx
(соотв. если интеграл a...b Sg(x)dx расходится, то расходится и интеграл a...b Sf(x)dx)
33
Л7 2 ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ (ПРЕДЕЛЬНЫХ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ/ПРИЗНАК ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ)
Пусть на полупрямой [a;+INF) (или на [a;b)) заданы две положительные
непрерывные функции f (x) и g (x ) , и существует конечный предел:
x->inf LIM f(x)/g(x) != 0
(или x->b LIM f(x)/g(x) != 0)
тогда оба несобственных интеграла ф-ий f(x), g(x) сходятся или расходятся одновременно
34
ДОП ДАННЫЕ
ОСНОВНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПРИ СТРЕМЛЕНИИ К НУЛЮ И К БЕСКОНЕЧНОСТИ
СМ В ИНТЕРНЕТЕ
35
Л8 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА + ВЫВОД
СТР 36-ВЫВОД
ТАМ МНОГО НО ПО ИДЕЕ ВЫУЧИТЬ НАДО
36
Л8 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
СТР 37
ОБЬЕМ ТЕЛА ЗАДАННОГО УР-ЕМ Z=F(X, Y)
37
Л8 ПРОСТАЯ ОТНОСИТЕЛЬНО
Ох/ Оу ОБЛАСТЬ НА ПЛОСКОСТИ
СТР 39
ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ Ох (Оу) ЕСЛИ ОНА ОГРАНИЧЕНА СПРАВА (СВЕРХУ) ГРАФИКОМ НЕПРЕРЫВНОЙ Ф-ИИ Х=Ф2(У) (У = Ф2(Х)), СЛЕВА(СНИЗУ) ГРАФИКОМ НЕПРЕРЫВНОЙ Ф-ИИ Х=Ф1(У) (У=Ф1(Х)), А СВЕРХУ И СНИЗУ (С БОКОВ) ОТРЕЗКАМИ ПРЯМЫХ У=А (Х = А), У=В (Х=В), КАЖДЫЙ ИЗ КОТОРЫХ МОДЕТ ВРОЖДАТЬСЯ В ТОЧКУ
38
Л8 КАК ПОСТУПАЮТ ЕСЛИ ИНТЕГРИРУЕМАЯ ОБЛАСТЬ НЕ ПРОСТАЯ?
ЕЕ РАЗБИВАЮТ НА КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ПРОСТЫХ ОБЛАСТЕЙ
39
Л8 ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА, ЕСЛИ ОБЛАСТЬ ПРОСТАЯ ОТНОСИТЕЛЬНО Ох/Oy
обл О SS f(x, y) dxdy =
c->d S (dy * (Ф1(у) -> Ф2(у) S f(x,y)dx))
ПО Оу АНАЛОГИЧНО
40
Л8 ИЗМЕНЕНИЕ ПОРЯДКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ(ОПР + УПРАЖНЕНИЕ)
ЕСЛИ ОБЛАСТЬ ПРОСТА ОТНОСИТЕЛНО ОБОИХ ОСЕЙ ТО ПРИМЕНИМЫ ОБЕ ФОРМУЛЫ ВЫЧИЧСЛЕНИЯ
СТР 40 ЭТО ПИЗДЕЦ
41
Л9 ОПР ЯКОБИАНА
ПУСТЬ ДАНО N Ф-ИЙ ОТ N ПЕРЕМЕННЫХ КОТОРЫЕ ОПРЕДЕЛЕНЫ В НЕКОТОРОЙ N-МЕРНОЙ ОБЛАСТИ D И ИМЕЮТ В D НЕПРЕРЫВНЫЕ ЧАСТНЫЕ ПР-Е ПО ВСЕМ ПЕРЕМЕННЫМ. ТОГДА ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ N*N В КОТОРОЙ i, j ЭЛЕМЕНТ РАВЕН dyi/dxj НАЗЫВАЕТСЯ ЯКОБИАНОМ. ОБОЗНАЧАЕТСЯ J ИЛИ КАК D(y1, ..., yn)/D(x1, ..., xn)
НАСЛЕДУЕТ НЕКОТОРЫЕ СВ-ВА ПР-ЫХ
42
Л9 ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ЧЕРЕЗ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ(С ПОМОЩЬЮ ЯКОБИАНА)
ПУСТЬ u=u(x, y), v=v(x, y) определены на всей пл-ти или в некоторой ее области и имеют непрерывные частные пр-е в этой обл-ти. Если это сис-му можно однозначно разрешить относительно х и у: x=x(u, v), y=y(u, v)
тогда каждой точке (х, у) из рассматриваемой области будет однозначно соответствовать пара чисел (u, v), называемых криволинейными координатами точек. Тогда справедлива ф-ла:
oSSf(x, y)dxdy = p'SSf[x(u, v), y(u, v)]|J(u, v)|dudv
o - изначальная область
о' - измененная область
J(u, v) - якобиан преобр-я. первая строка пр-е х по u, v, вторая соотв пр-е y.см
43
Л9 ПЕРЕХОД ОТ ОБЫЧНЫХ КООРДИНАТ К ПОЛЯРНЫМ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
СТР44
SSf(x, y)dxdy = SSf(pcosq, psinq)*p*dq*dp
44
Л9 ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ В П/У СИС-МЕ КООРДИНАТ+ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
C46
SS dxdy
SS rdqdr
45
Л9 ОБЬЕМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА СОГРАНИЧЕННОГО СВЕРХУ ПОВЕРХНОСТЬЮ Z=F(X, Y)
СНИЗУ-ОБЛАСТЬЮ D
V=по D SS f(x, y)dxdy
46
47
Л10 Т О ИНТЕГРИРУЕМОСТИ Ф-ИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
СТР 50
Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой
области то она интегрируема в этой области.
48
Л10 СВ-ВА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА(ПО СУТИ ЛЮБОГО ИНТЕГРАЛА)
СТР 50
1. ЛИНЕЙНОСТЬ
2. АДДИТИВНОСТЬ
3. СОХРАНЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ПРИ ИНТЕГРИРОВАНИИ ПО ОДНОЙ ОБЛАСТИ
4. ОЦЕНКА ИНТЕГРАЛА
Если функция f интегрируема
по области V, и
для любой P из V выполняется
m<=f(P)<=M, то справедливы
оценки
m*v(V) <= SSS f(P) * dv <= M *
v(V)
5. ОЦЕНКА МОДУЛЯ ИНТЕГРАЛА
Если функция f интегрируема
по обла-
сти V, то функция | | f также
интегрируема по об-
ласти V и справедлива оценка:
|SSS f(P)dv| <= SSS|f(P)|dv
6. Т О СРЕДНЕМ
Если функция f непре-
рывна на области V, то
существует точка P0 из V
такая что: SSS f(P)dv =
f(P0)*v(V)
ВСЕ ДОК-ВА АНАЛОГИЧНЫЫ ДЛЯ ДВОЙНОГО И ЕДИНИЧНОГО ИНТЕГРАЛЛА
49
Л10 ПРОСТАЯ(ПРАВИЛЬНАЯ) ОБЛАСТЬ
Будем называть ограниченную замкнутую область V простой (или
правильной), если выполняются два условия:
- проекция V на какую-либо координатную плоскость, например, на
плоскость Оху – некоторая замкнутая область D,
- любая прямая, перпендикулярная этой плоскости и проходящая через
внутреннюю точку V, пересекает границу V в двух точках.
Такую область V можно представить следующим образом:
V={(x,y,z)|(x,y) in D, X(x,y)<=z<=Ф(x,y)}
Таким образом, пространственная область V ограничена снизу поверх-
ностью z = X(x,y) (которая образована множеством нижних точек пересече-
ния прямых, параллельных оси Oz, с границей V), а сверху - поверхностью
z = Ф(x,y) (которая образована множеством верхних точек пересечения пря-
мых, параллельных оси Oz, с границей V).
50
Л10 Т СВЕДЕНИЯ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНЫМ + ВЫВОД
СТР52. Пусть V – замкнутая простая область с кусочно-гладкой гра-
ницей (см. рис.), f (x y z ) - непрерывная функция в области V. Определим в
области D следующую функцию:
for (x, y) in D: I(x,y)= X(x,y)->Ф(x,y) S f(x,y,z) dz
Здесь в правой части стоит определенный интеграл по переменной z , внутри
которого значения x и y фиксированы. Тогда справедлива формула:
V SSS f(P)dv = D SS I(x,y)dxdy
Если подставить в правую часть выражение для I(x,y), то приведенная
формула приобретает следующий вид:
V SSS f(P)dv = D SS ( X(x,y)->Ф(x,y) S f(x,y,z) dz)dxdy
Однако традиционно эту формулу записывают в более удобном виде:
V SSS f(P)dv = D SS dxdy ( X(x,y)->Ф(x,y) S f(x,y,z) dz)
Интегралы, присутствующие в правой части этой формулы (внутренний
одномерный и внешний двойной), называются повторными, а сама формула
называется формулой сведения тройного интеграла к повторным.
ДАЛЕЕ ТАМ ДОХЕРА НАПИСАНО ПРО ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ, КОТОРЫЕ ЛУЧШЕ ЗНАТЬ, НО ЭТО ПРОСТО ПИЗДЕЦ, ТАК ЧТО ВОТ СТРАНИЦЫ:53-54
51
Л11 Ф-ЛА ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ(КООРДИНАТНЫЙ ПЕРЕХОД)
V SSS f(x,y,z)dxdydz = G SSS f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J(u,v,w)| dudvdw
52
Л11 КООРДИНАТНАЯ ЛИНИЯ. + ЗМ
Линия в пространстве Oxyz, у всех точек которой меняется только одна из координат
u v w , , , называется координатной линией этой координаты. Значит, остальные координаты на этой линии
остаются постоянными.
ЗМ
Координатные линии самих декартовых координат x y z , , представляют собой пря-
мые в пространстве. Но координатные линии произвольно выбранной системы координат u v w , , являются,
вообще говоря, кривыми. Именно этим объясняется название «криволинейные координаты».
53
Л11 КООРДИНАТНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
Аналогично, координатной поверхностью в пространстве Oxyz называется множество точек, у кото-
рых меняются любые две из координат u v w а оставшаяся координата остается постоянной.
54
Л11 ОРТОГОНАЛЬНАЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ СИС-МА КООРДИНАТ + ЧЕРЕЗ ПЕРЕХОД ОТ ОРТОГОНАЛЬНОЙ К КРИВОЛИНЕЙНОЙ
Криволинейная система координат называется ортогональной, если координатные линии (и коорди-
натные поверхности), проходящие через любые точки области V, взаимно ортогональны.
Если строки матрицы якобиана перехода от координат ( , , ) u v w к координатам ( , , ) x y z , рас-
сматриваемые как вектора, попарно ортогональны, то система криволинейных координат ( , , ) u v w явля-
ется ортогональной.
55
Л11 ПЕРЕХОД К ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ
x = r cosф
y = r sinф
z = z
для любой непрерывной функции f (x y z) в области V
V SSS f(x,y,z)dxdydz = G SSS f( r cosф, r sinф, z) * r *drdфdz
56
Л11 ПЕРЕХОД К ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ
x = r sin o cos ф
y = r sin o sin ф
z = r cos o
V SSS f(x,y,z)dxdydz = G SSS f(r sin o cos ф, r sin o cos ф, r cos o) r^2 sin o dr dф do
57
Л12 КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА (ПО ДЛИНЕ ДУГИ) - ОПР + ВЫВОД
Рассмотрим пространственную кривую L с началом в точке А и концом в точке В. В каждой точке P
на кривой L зададим функцию y=f(P). Введем понятие интеграла по L, считая L
кусочно-гладкой кривой с конечным числом гладких сегментов.
Для этого разобьем дугу AB произвольным образом на n дуг: D1, ..., Dn
; на каждой дуге
Di
произвольно выберем точку рi и вычислим значение функции в этой точке.
Мерой кривой L является ее
длина, которую обозначим через l. Тогда интегральная сумма примет вид: i = 1...n SUM f(Pi) * l(Di)
Пусть А = MAX l(Di) и устремим A к бесконечности. Тогда интегральная сумма принимает вид: L S f(p) dl
dl - длина дуги
ЭТО ВЫРАЖЕНИЕ НАЗЫВАЕТСЯ КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ ПО ДЛИНЕ ДУГИ
ИЛИ
КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ ПЕРВОГО РОДА ОТ Ф-ИИ y=f(p)
58
Л12 ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА 1 РОДА СВОДИТСЯ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
1. Если кривая интегрирования задана в явном виде ур-ями: y = y(x), a<=x<=b:
l S f(x,y)dl = a->b S f(x, y(x))sqrt(1 + (y'x)^2)dx
2. Если кривая интегрирования задана параметрически ур-ями:
x = x(t)
y = y(t)
a<=t<=b
L S f(x, y)dl = a->b S f(x(t), y(t))sqrt((x't)^2 + (y't)^2)dt
в случае пр-ва
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
a<=t<=b
L S f(x,y,z)dl = a->b S f(x(t), y(t), z(t))sqrt((x't)^2 + (y't)^2 + (z't)^2)dt
3. Если кривая задана в полярных координатах:
r = r(ф)
a<=ф<=b
L S f(x,y,z)dl = a->b S f(rcosФ, rsinФ)sqrt(r^2 + (r')^2)dф
59
Л12 КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА
ЭТО ПИЗДЕЦ Я НИЧЕ НЕ ПОНЯЛ
СТР 63
60
Л13
ЭТО ВООБЩЕ ХЕРНЯ КАКАЯ ТО
НА ЛЕКЦИИ У БАБУЛИ ПОСМОТРИМ
61
Л14 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА
ПУСТЬ Ф-Я f(X, Y, Z) ОПРЕДЕЛЕНА НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ S, ОГРАНИЧЕННОЙ ГЛАДКИМ КОНТУРОМ. РАЗОБЬЕМ ПОВЕРХНОСТЬ НА n ЧАСТЕЙ S1, S2, ..., Sn, ПЛОЩАДИ КОТОРЫХ РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО ds1, ds2, ..., dsn. ВЗЯВ В ПРЕДЕЛАХ КАЖДОЙ ЧАСТИ Si, i=1, ..., n ПРОИЗВОЛЬНУЮ ТОЧКУ Mi(xi,yi,zi), ВЫЧИСЛИМ ЗНАЧЕНИЕ Ф-ИИ f(x,y,z) В НЕЙ И СОСТАВИМ СУММУ: i=1, ..., n SUMM f(xi,yi,zi) * dsi - КОТОРАЯ НАЗЫВАЕТСЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММОЙ ДЛЯ Ф-ИИ f(x,y,z) ПО ПОВЕРХНОСТИ S.
КОНЕЧНЫЙ ПРЕДЕЛ ЭТОЙ СУММЫ ПРИ МАКСИМАЛЬНОМ ИЗ ДИАМЕТРОВ СТРЕМЯЩИМСЯ К НУЛЮ, ЕСЛИ ОН СУЩЕСТВУЕТ И НЕ ЗАВИСИТ НИ ОТ СПОСОБА РАЗБИЕНИЯ НИ ОТ ВЫБОРА ТОЧЕК, НАЗЫВАЕТСЯ ПОВЕРХНОСТНЫМ ИНТЕГРАЛОМ ПЕРВОГО РОДА(ПО ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ) ОТ Ф-ИИ f(x,y,z) ПО ПОВЕРХНОСТИ S И ОБОЗНАЧАЕТСЯ СИМВОЛОМ
s SS f(x,y,z)ds
62
Л14 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА
1. ПУСТЬ ПОВЕРХНОСТЬ S ЗАДАНА УР-ЕМ Z=Z(X,Y) И Ф-Я Z(X,Y) НЕПРЕРЫВНА ВМЕСТЕ СО СВОИМИ ЧАСТНЫМИ ПР-МИ ПО Х И ПО Y В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ Sxy, ЯВЛЯЮЩЕЙСЯ ПРОЕКЦИЕЙ ПОВЕРХНОСТИ S НА КООРДИНАТНУЮ ПЛОСКОСТЬ xOy, ТОГДА
s SSf(x,y,z)ds = Sxy SS f(x,y, z(x,y)) * SQRT(1 + z'x^2 + z'y^2)dxdy
ЭТА ФОРМУЛА ВЫРАЖАЕТ ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА ЧЕРЕЗ ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ПРОЕКЦИИ ПОВЕРХНОСТИ S НА КООРДИНАТНУЮ ПЛ-ТЬ xOy. АНАЛОГИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ДРУГИХ ПЛОСКОСТЕЙ.
63
Л14 ЗМ ПРО СРАВНИМОСТЬ С ЕДИНИЦЕЙ
ПОД СРАВНИМОСТЬЮ Ф-ИИ С ЕДИНИЦЕЙ ПОДРАЗУМЕВАЕТСЯ ЧТО ФОРМУЛА Ф-ИИ С ПЕРЕМЕННЫМ СЛЕВА, А СПРАВА НАПИСАНО ПРОСТО ЧИСЛО
64
Л14 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ЧЬЯ Ф-Я СРАВНИМА С КОНСТАНТОЙ
ЕСЛИ ПОВЕРХНОСТЬ S ЗАДАНА УР-ЕМ z(x,y), ЕЕ ПРОЕКЦИЯ НА КООРДИНАТНУЮ ПЛОСКОСТЬ xOy ЕСТЬ ОБЛАСТЬ Sxy, НА КОТОРОЙ Ф-ИИ z(x,y), z'x(x,y), z'y(x,y) НЕПРЕРЫВНЫ, ТОГДА ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ S ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ
Sxy SS SQRT(1+ (z'x)^2 + (z'y)^2)dxdy
АНАЛОГИЧНО ДЛЯ ДРУГИХ ПРОЕКЦИЙ
ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ СТР 76
65
Л14 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ
ПУСТЬ ПОВЕРХНОСТЬ S КУСОЧНО-ГЛАДКАЯ ЗАДАНА КАК x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), ГДЕ (u,v) in D - КВАДРИРУЕМАЯ ОБЛАСТЬ И f(x,y,z) - НЕПРЕРЫВНА НА S. ТОГДА СУЩЕСТВУЕТ
s SS f(x,y,z)ds = D SS f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) * SQRT(E*G - F^2) dudv
КОЭФФИЦИЕНТЫ ГАУССА E,G,F ИМЕЕТ ВИД:
E = x'u^2 + y'u^2 + z'u^2
G = x'v^2 + y'v^2 + z'v^2
F = x'u*x'v + y'u*y'v + z'u*z'v
ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ СТР 77
66
Л14 ДВУСТОРОННЯЯ ПОВЕРХНОСТЬ
ПОВЕРХНОСТЬ НАЗЫВАЕТСЯ ДВУСТОРОННЕЙ ЕСЛИ ДЛЯ ЛЮБОЙ ТОЧКИ М И ЛЮБОГО КОНТУРА С ПРОХОДЯЩЕГО ЧЕРЕЗ М И НЕ ПЕРЕСЕКАЮЩЕГО ГРАНИЦЫ ПОВЕРХНОСТИ, ПОСЛЕ ЕГО ОБХОДА МЫ ВОЗВРАТИМСЯ В М С ИСХОДНЫМ НАПРАВЛЕНИЕМ НОРМАЛИ.
ПРИМЕРЫ
СФЕРА, КУБ, ПЛОСКОСТЬ.
67
Л14 ОДНОСТОРОННЯЯ ПОВЕРХНОСТЬ
ПОВЕРХНОСТЬ ОДНОСТОРОННЯЯ ЕСЛИ СУЩЕСТВУЕТ ХОТЯ БЫ ОДИН ЗАМКНУТЫЙ КОНТУР, ОБХОДЯ КОТОРЫЙ МЫ ВЕРНЕМСЯ В ИСХОДНУЮ ТОЧКУ С ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ НАПРАВЛЕНИЕМ НОРМАЛИ
68
Л14 ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА
Рассмотрим двустороннюю поверхность O . Выберем одну сторону O+
Пусть функция F (x y z) определена в точках этой поверхности, тогда предел. n->inf k=1...n SUM F(xk,yk,zk)* dSk(x,y) = I
ГДЕ dSk(x,y) - ПЛОЩАДЬ ПРОЕКЦИИ ЭЛ-ТА ПОВЕРХНОСТИ О НА ПЛ-ТЬ хОу, НАЗЫВАЕТСЯ ПОВЕРХНОСТНЫМ ИНТЕГРАЛОМ II ГО РОДА И ОБОЗНАЧАЕТСЯ I = O+ SS F(x,y,z)dxdy
69
Л15 ЭТО ПИЗДЕЦ
ЭТО ПИЗДЕЦ
70
Л16 ЭТО ПИЗДЕЦ
ЭТО ПИЗДЕЦ
71
Л1 НАЙТИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЛ МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ: (X^4 - 10X^2 + 5)/X^2 dX
СТР 4
72
Л1 НАЙТИ ИНТЕГРАЛЛ 1/(X^2 - A^2)
СТР 4
73
Л1 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ SIN 2X COS X
СТР 4
74
Л1 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ 9X^2 (X^3 + 10)^(1/3)
СТР 5
75
Л1 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ COS KX
СТР 5
76
Л1 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ 1/SQRT(X^2 +- A^2)
СТР 5
77
Л1 КОГДА ПРИМЕНЯЕТСЯ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ?
подынтегральная функция есть произведение степенной на показательную или тригонометрическую функции
ЗА U БЕРЕМ СТЕПЕННУЮ, ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ ЗА dV СООТВЕТСТВЕННО
ЕСЛИ подынтегральная функция есть произведение степенной на логарифмическую или обратную тригонометрическую функции
ЗА U БЕРЕМ логарифмическую или обратную тригонометрическую функции ЗА dV СООТВЕТСТВЕННО ВСЕ ОСТАЛЬНОЕ
СТР 5
78
Л1 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ ПО ЧАСТЯМ
X^N LN X
СТР 6
79
Л1 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ
e^AX SIN NX
СТР 6
80
Л1 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ
(X^2 - A^2)^(1/2)
СТР 6
81
Л2 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ
(X+3)/(X^2 + 4X + 29) С ПОМОЩЬЮ РЕКУРЕНТНОЙ Ф-ЛЫ
СТР 8
82
Л2 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ 1/(X^2 + 1)^4
СТР 10
83
Л2 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ (X^4 - 3X^3 - 5X^2 + 30X - 22)/(X^3-X^2-8X+12)
СТР 10
84
Л3 КОГДА ПРАВИЛЬНО ПРИМЕНЯТЬ УН7ИВЕРСАЛЬНУЮ ТРИГАНОМЕТРИЧЕСКУЮ ПОДСТАНОВКУ?
СТР 11
ДЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ Ф-ИЙ ВИДА R(sinx, cosx) ЕСЛИ НЕ ПРИДУМАЛ НИЧЕ ЛУЧШЕ
85
Л3 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ (5 + 6SINX)/(SINX (4 + 3COSX))
СТР 12
86
Л3 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ SIN^2 X*COS^7 X
СТР 12
87
Л3 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ COS^4 X
CТР 13
88
Л3 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ (X-2)^1/3 / ((X-2)^1/3 - (X-2)^1/2)
СТР 14
89
Л3 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ (5-3X / 4+7X)^1/2
CТР 14
90
Л3 НАЙТИ ИНТЕГРА 1/((X+1)^1/2 - (X+1)^1/3)
СТР 15
90
Л3 АЛГОРИТМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ ВИДА
R(x; ax^2 + bx + c)
.
CТР 15
1. ПОДСТАНОВКА 1/2*(ax^2 + bx + c)' = t
2.После подстановки такие интегралы сводятся к интегралам, содержащим корни вида:
SQRT(A^2 - T^2), SQRT(A^2 + T^2), SQRT(T^2 - A^2),
Если интеграл не является табличным, то интегралы, содержащие корни
указанных видов, рационализируются подстановками:
SQRT(A^2 - T^2) => T = ASIN Z OR T = ACOSZ
SQRT(T^2 - A^2) => T = A/SIN Z OR T = A/COSZ
SQRT(A^2 + T^2) => T = A TG Z OR T = A CTG Z
91
Л3 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ
1/(5 + 2X + X^2)^3/2
CТР 15
92
Л3 АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ ВИДА
1/X(AX^2 + BX + C)^1/2
СТР 16
ПОДСТАНОВКА X = 1/T
93
Л3 НАЙТИ ИНТЕГРАЛ
1/X(X^2 + 3)^1/2
СТР 16
94
Л5 1->3^1/2 S dx/(x^2+1)
СТР 24
95
Л5
1->9 S ((x^1/2)/(x+2x^1/2))dx
СТР 25
96
Л5 0->1 S x*e^x dx
СТР 25
97
Л6 НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ЭЛИПСА
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
СТР 26
98
Л6 НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
r = a sin 2p
СТР 27
99
