1. Komplex számok, komplex változós függvények

Question 1

Polinomok tulajdonságai?

• Állítás? Egyértelműség?
• Algebra alaptétele?
• Gyöktényezős alak?
• Mikor létezik egyértelműen?
• Valós együtthatók?

Answer 1

• Ha P(z) egy nemnulladfokú polinom, akkor ha |z|—> ∞, akkor |P(z)|—> ∞. Egy polinom fokszámai és együtthatói egyértelműek (mivel nemnulladfok esetén biztos nem konstans függvények).
• A komplex számok halmazán értelmezett nem nulladfokú (akár komplex együtthatós) polinomnak biztosan van zérushelye.
• P(z) = a_N*(z – z1)(z – z2)…(z – z_N)
• n db (n ≤ N) zérushely; minden z(k)-hoz tartozik egy m(k) ≥ 1 egész szám, amire N = Σm(k) (ez a multiplicitás); a polinom felírható N db gyöktényező szorzataként
• Ha x valós, akkor P(z) is; P(z) = [P(z)] —> ha P(z) = 0, akkor P(z) = 0; ha z zérushely, akkor z is az, tehát vagy az összes zérushely valós vagy van konjugált párja

Question 2

RACIONÁLIS TÖRTFÜGGVÉNYEK

• Valódi racionális törtfüggvények?
• Parciális törtekre bontás?

Answer 2

Két polinom hányadosai.

• A számláló kisebb fokú, mint a nevező.
• 1. Ha csak egyszeres z.h.-ek vannak: R(z) = P(z)/Q(z) = A1/(z – z1) + … + A(N)/(z – z(N)) vagy A(k) = [P(z)/Q(z)]*(z – z(k))
2. Nevezőnek többszöbbszörös z.h.-e is van: R(z) = P(z)/Q(z) = … + A_k(1)/(z – z(k)) + A_k(2)/(z – z(k))^2 + … + A_k(m(k))/(z – z(k))^m(k) + …

Question 3

CAUCHY-HADAMARD TÉTEL

• Hatványsor konvergenciahalmaza?
• Konvergenciakör határa?

Answer 3

A Σ(n, ∞)a(p_n*(z – z0) hatványsor
— divergens, ha |z – z0| > R
— pontonként abszolút konvergens, ha |z – z0| < R
— a z körüli r sugarú körlapon egyenletesen konvergens, bármilyen r

Question 4

KONVERGENCIASUGÁR

Answer 4

Hatványsor esetén: R = 1/limsup(n-edikgyök|a_n|)

Question 5

Hatványsor konvergenciája?

• Folytonosság?

Answer 5

Ahol konvergens, ott abszolút konvergens, tehát a tagok összeadása kommutatív és a szorzás rá disztributív is (annak ellenére, hogy a sor végtelen).

• Mivel az r

Question 6

Hatványsor differenciálhatósága?

• A derivált konvergenciaköre, sorösszege?
• Hányszor diff.ható?

Answer 6

Diff.hatók, tehát lehet tagonként deriválni: f’(z) = Σna_n(z – z0)^(n – 1)

• Hatványsor deriváltjának ugyanaz a konvergenciaköre és a deriváltak hatványsor-összege az eredeti hatványsor-összeg deriváltját állítja elő.
• A kon.körén belül végtelenszer —> a hatványsor más alakja: f(z) = Σf^(n)(z)/n!*(z – z0)^n.