Fourier-sor, Fourier-transzformáció

Question 1

FOURIER-SOR

• Együtthatók?
• c_n-es jelöléssel?

Answer 1

Olyan cos(n*2π/T*t) és sin(n*2π/T*t) periodikus fv.-ek, amelyekbe egész számú periódus kell, hogy beférjen végtelen sok van — elég sok ahhoz, hogy bármilyen periodikus fv.-t össze lehessen rakni belőlük:
f(t) = a0/2 + Σ(n—> ∞) a_n*cos(n*2π/T*t) + Σ(n—> ∞) b_n*sin(n*2π/T*t)
b0 tag nincs, a0 pedig a cos-okhoz tartozik (ahol n=0, azaz cos = 1).

• a0 = 2/T∫(0—>T) dt f(t)
a_n = 2/T∫(0—>T) dt f(t)cos(n2π/Tt)
b_n = 2/T∫(0—>T) dt f(t)sin(n2π/Tt)
• f(t) = Σ(–∞—> ∞) c_nexp(in2π/Tt) —> c_n = 1/T∫(0—>T) dt f(t)exp(–in2π/Tt)

Question 2

Fourier-sorok konvergenciatulajdonságai?

Answer 2

— mivel c0 f(t) integrálja, az f(t) integrálhatósága alapvető követelmény
— integrálásnál az ÉT nulla mértékű részhalmazai nem számítanak: ha két fv. csak ilyen halmazokban különbözik, akkor Fourier-együtthatóik megegyeznek
— ha f mindenhol legalább kétszer diff.ható és a második derivált is korlátos fv., akkor a Fourier-sora konvergens, pontonként abszolút, egyenletesen és visszaadja f-et
— törött/ugrásos fv.-ek esetén: a konvergencia nem egyenletes a töréspontok környékén, de a Fourier-sor pontonként visszaadja a kiindulási fv.-t, azzaz az “engedménnyel”, hogy a törésontokon a kétoldali hatáérték számtani közepét adja.

Question 3

Fourier-együtthatók egyértelműsége?

Answer 3

Ha a Fourier-sor előállítja a fv.-t, akkor a Fourier-együtthatók egyértelműek.

Question 4

Ha f(t) majdnem mindenütt valós értékű?

Answer 4

Minden a_n, b_n valós és minden n eleme Z-re c_n = (c_(–n))*

Question 5

FOURIER-TRANSZFORMÁCIÓ

Answer 5

A Fourier-sor általánosítása. Az F+– művelet az f: R —> C fv.-hez egy szinén R —> C fv.-t rendel:
(F+–f)(y) = 1/√(2π)∫(–∞, ∞) dx f(x)exp(+–iyx)
Azaz a Fourier-transzformáció az R —> C fv.-ek vektorterén ható lineáris operátor.