1. Tétel Flashcards
Halmazelmélet – halmazműveletek, halmazok Descartes-szorzata, relációk, leképezések, halmazok számossága. (26 cards)
Mi a halmazelmélet szerepe a matematikában és ki a megalapítója?
Alapvető tudományág (matematikai logika mellett); halmaz fogalmát tanulmányozza. George Cantor (19. század második fele). Kettős szerep: végtelen sok elemű összességek mennyiségi viszonyai (számosság), matematikai megalapozás.
Hogyan definiálható egy halmaz? Melyek a megadási módjai?
Egyértelműen megadható elemei felsorolásával, vagy egyértelmű meghatározással (mi tartozik bele, mi nem).
Melyek a fő halmazműveletek?
Egyesítés (unió), Metszet, Kivonás (differencia).
Sorolja fel az egyesítés (unió) tulajdonságait és magyarázza el, mit jelent az egyesítés!
A U B: legalább az egyik halmaz eleme. Tulajdonságok: kommutatív (A U B = B U A), asszociatív ((A U B) U C = A U (B U C)), A U üreshalmaz = A, A U H = H (univerzális halmaz), A U A = A (idempotencia).
Mutassa be a metszet fogalmát és a hozzá kapcsolódó tulajdonságokat!
A ꓵ B: mindkét halmaz közös eleme. Tulajdonságok: kommutatív (A ꓵ B = B ꓵ A), asszociatív ((A ꓵ B) ꓵ C = A ꓵ (B ꓵ C)), A ꓵ üreshalmaz = üreshalmaz, A ꓵ H = A, A ꓵ (B U C) = (A ꓵ B) U (A ꓵ C) (disztributivitás).
Mi a halmazok kivonása (differencia) és milyen tulajdonságai vannak?
A \ B: A-nak elemei, de B-nek nem. Tulajdonságok: A \ üreshalmaz = A, A \ A = üreshalmaz, üreshalmaz \ A = üreshalmaz.
Mit jelent a Descartes-szorzat két halmaz esetén? Mutasson be egy példát!
A × B: Rendezett párok halmaza, ahol az első elem A-beli, a második B-beli. Minden lehetséges párt tartalmaz. Példa: A = [1,2], B = [a,b] ⟹ A x B = [(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)]. Fontos: (a,2) nem eleme A x B-nek.
Hogyan általánosítható a Descartes-szorzat?
Több (akár n pozitív egész számú, vagy végtelen) halmaz szorzatára is kiterjeszthető.
Milyen alapvető relációk léteznek a halmazelméletben az elemek és halmazok között?
x∈H (x eleme H-nak), x∈/H (x nem eleme H-nak), x⊆H (x részhalmaza H-nak).
Mikor nevezünk egy halmazt egy másik halmaz valódi részhalmazának?
Ha x⊆H és x=H. Azaz, x minden eleme H-ban van, de H-nak van legalább egy olyan eleme, ami x-ben nincs.
Sorolja fel a relációk főbb tulajdonságait!
Reflexív, Irreflexív, Szimmetrikus, Aszimmetrikus, Tranzitív.
Mit jelent, ha egy reláció reflexív? Adjon példát!
Minden ‘a’-ra teljesül, hogy aρa. Példa: ‘egyenlő’ reláció (a=a).
Mit jelent, ha egy reláció irreflexív? Adjon példát!
Minden ‘a’-ra teljesül, hogy aρa.
Mit jelent, ha egy reláció szimmetrikus? Adjon példát!
Ha aρb⟹bρa. Példa: ‘ugyanazon az egyenesen fekszik’ reláció.
Mit jelent, ha egy reláció aszimmetrikus? Adjon példát!
Ha aρb⟹bρa. Példa: ‘kisebb’ reláció (a<b⟹b<a).
Mit jelent, ha egy reláció tranzitív? Adjon példát!
Ha aρb és bρc⟹aρc. Példa: ‘kisebb’ reláció (a<b és b<c⟹a<c).
Mikor nevezünk egy relációt ekvivalencia relációnak? Adjon példát!
Ha egy reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Példa: Párhuzamosság (egyenesek között), egyformaság (alakzatok között).
Mi az a leképezés (függvény) halmazelméleti értelemben?
Az f⊆A×B megfeleltetés, ahol bármely a∈A-hoz pontosan egy b∈B létezik, amire (a,b)∈f. (Az ‘a’ elemhez pontosan egy ‘b’ elemet rendelünk).
Melyek a leképezések alapvető típusai?
Injektív, Szürjektív, Bijektív.
Mi jellemzi az injektív leképezést?
Különböző elemeknek különböző képük van. Ha a1f=a2f⟹a1=a2. (Vagy: minden B-beli elemnek legfeljebb egy őse van A-ban).
Mikor szürjektív egy leképezés?
Minden B-beli elemnek van őse A-ban. Azaz, f(A)=B. (Vagy: a kép halmaz megegyezik a célhalmazzal).
Mit jelent, ha egy leképezés bijektív?
Akkor bijektív, ha injektív és szürjektív egyszerre. Fontos a halmazok számosságának meghatározásánál.
Mi a számosság fogalma és mi a kapcsolata az elemszámmal?
Végtelen halmazok esetén az elemszám helyett használjuk. Véges halmaz esetén megegyezik az elemszámmal. A halmaz “méretét” jellemzi.
Mikor egyenlő két halmaz számossága?
Ha létezik közöttük bijektív leképezés. Ez a számosság egyenlőség definíciója.
