2. Tétel Flashcards
Kombinatorika – permutációk, kombinációk, variációk, binomiális tétel, Dirichlet-elv, logikai szita. (26 cards)
Mi a kombinatorika definíciója és fő célja?
A matematika azon területe, amely véges halmaz elemeinek csoportosításával, kiválasztásával, sorba rendezésével foglalkozik. Fő cél: elemszám meghatározása.
Melyek az elemi kombinatorika alaptípusai?
Permutációk, kombinációk, variációk (ismétléses és ismétlés nélküli).
Mi az ismétlés nélküli permutáció, és mi a képlete?
Különböző elemek sorba rendezése. Az elemek nem ismétlődnek. Képlet: n!
Adj példát ismétlés nélküli permutációra!
Hányféleképpen rendezhető sorba 3 különböző könyv? 3!=6
Mi az ismétléses permutáció, és mi a képlete?
Elemek sorba rendezése, ahol ismétlődő elemek is vannak. Képlet: n1!n2!…nk!n!
Adj példát ismétléses permutációra!
Hányféleképpen rendezhetők sorba az “ANNA” betűi? n=4, nA=2, nN=2. Képlet: 2!2!4!=424=6
Mikor alkalmazzuk az ismétlés nélküli kombinációt, és mi a képlete?
Adott n elemből k elemszámú halmazok képzése, ahol minden elem csak egyszer fordul elő és a sorrend nem számít. Képlet: (kn)=(n−k)!k!n!
Adj példát ismétlés nélküli kombinációra!
Hányféleképpen választható ki 5 ember közül 2 a bizottságba? (25)=3!2!5!=12120=10
Mikor alkalmazzuk az ismétléses kombinációt, és mi a képlete?
Adott n elemből k elemszámú multihalmazok képzése, ahol az elemek ismétlődhetnek és a sorrend nem számít. Képlet: (kn+k−1)
Adj példát ismétléses kombinációra!
Hányféleképpen választhatunk 3 gombóc fagyit 5 féle ízből, ha egy ízből többet is választhatunk? (35+3−1)=(37)=4!3!7!=1445040=35
Mikor alkalmazzuk az ismétlés nélküli variációt, és mi a képlete?
Adott n elemből k elemszámú sorrendbe rendezett csoportok képzése, ahol minden elem csak egyszer fordul elő. Képlet: (n−k)!n!
Adj példát ismétlés nélküli variációra!
5 különböző fagylaltgombócból 3 darabot választunk ki és sorba rendezzük. Mennyi a lehetséges variációk száma? P(5,3)=(5−3)!5!=2120=60
Mikor alkalmazzuk az ismétléses variációt, és mi a képlete?
Adott n elemből k elemszámú sorrendbe rendezett csoportok képzése, ahol az elemek ismétlődhetnek. Képlet: nk
Adj példát ismétléses variációra!
Hány kétjegyű szám alkotható a {1,2,3,4,5} számjegyekből, ha egy számjegy többször is felhasználható? 52=25
Mi a binomiális tétel, és mi a jelentősége?
Kéttagú összeg hatványra emelésének módja. (a+b)n=∑k=0n(kn)an−kbk. Elméleti jelentősége van, alapvető összefüggést mond a polinomok viselkedéséről.
Melyek a binomiális tétel együtthatói, és hol találhatók meg?
Az együtthatók a Pascal-háromszögben találhatók. Ezek a binomiális együtthatók, (kn)-val jelölve.
Mi a Dirichlet-elv (skatulyaelv) lényege?
Ha n elemet m skatulyába helyezünk, és n>m, akkor kell lennie olyan skatulyának, amelyben 1-nél több elem van.
Adj példát a skatulyaelvre!
Ha 13 ember van egy szobában, akkor biztosan van legalább két ember, akinek ugyanabban a hónapban van a születésnapja (12 hónap van).
Mi a szitaformula (logikai szita) célja?
Halmazok elemszámának meghatározása, főként diszjunkt (átfedés nélküli) részhalmazok esetén.
Hol alkalmazzák a szitaformulát?
Kombinatorikában, számelméletben, valószínűségszámításban.
Mi a különbség a permutáció, kombináció és variáció között a sorrend szempontjából?
Permutáció és variáció esetén a sorrend számít. Kombináció esetén a sorrend nem számít.
Melyik kombinatorikai művelet alkalmazható, ha a sorrend számít, és az elemek ismétlődhetnek?
Ismétléses variáció.
Melyik kombinatorikai művelet alkalmazható, ha a sorrend nem számít, és az elemek nem ismétlődhetnek?
Ismétlés nélküli kombináció.
Hogyan kapcsolódik a Pascal-háromszög a binomiális tételhez?
A Pascal-háromszög sorai tartalmazzák a binomiális tétel együtthatóit.
