Pontrendszerek: szimmetriák és megmaradási tételek

Question 1

Koordinátatranszformáció

Lagrange-fv. megváltozása krd.transzformációkor?

Descartes-krd.-ákra?

Answer 1

Δ_q_(q,t) és Δt(q,t) megváltoztatások is hely- és időfüggőek:
ΔL = ∇(q)LΔq + ∇(q’)LΔq’ + (∂L/∂t)Δt = (d/dt)pΔq + (∂L/∂t)Δt = ΔL

Minden j-edik részecskét vesszük, azokra szummázni kell.

Question 2

időeltolás

Időeltolás?

Ha ∂L/∂t = 0?

Answer 2

A pálya mentén a rendszer konstans Δt idővel való eltolása:
ΔL = (dL/dt)Δt = (d/dt)p q’ Δt + (∂L/∂t)Δt —» (d/dt)(p q’ – L) = –∂L/∂t

p q’ – L = E = áll., azaz az energia megmarad.

Question 3

Koordinátatranszformció

Kiindulás? Feladat?

Answer 3

Δt = 0 és ha L invariáns, tehát a krd.trafó szimmetrikus:
ΔL = 0 —» pΔq = áll. időben
Feladat makroszkopikus mozgásállandó származtatása.

Question 4

Koordinátatranszformció

Térbeli eltolás? TKP-i tétel?

Answer 4

Trafó paramétere: Δ r
Perdületmegmaradás: Σ(j) p(j) Δ r(j) = Σ(j)p(j) Δ r = áll. —» IMT: P = Σ(j)p(j) = áll.
TKP: Σ(j)m(j) = M
Sebesség: V = P/M

TKP-i tétel: R0 és P megmaradnak.
P = M V = áll.
R(t) = R0 + V t

Question 5

Koordinátatranszformció

Térbeli forgatás?

Answer 5

Trafó paramétere: Δ r(j) = Δ φ x r(j)
Impulzusmegmaradás teljesül: J = Σ(j) r(j) x p(j)

Question 6

Általános szimmetria

Első Noether-tétel?

Answer 6

A megmaradó mennyiségek: J(a) = Σ(a=1,f) p(i)I(ia)(q), a = 1,2,…,K

Question 7

Szabad változók

Ha számuk 2? Nagyobb mint 2?

Answer 7

• Ha 2: a pályák nem metszhetik egymást —» a mozgás integrálható
• Ha > 2: tipikusan kaotikus mozgás (kiv.: magasabb dimenziós harmonikus oszcillátor, centrális potenciálban mozgó TP)