Kapitel 11 - Egenvärden,Egenvektorer och Diagonalisering

Question 1

Varför använder man egenvärden och egenvektorer?

Answer 1

För att vidare undersöka och beskriva linjära avbildningar.

Question 2

Vad är en egenvektor?

Answer 2

Att vektor x är en linjär avbildning till F(x), alltså två vektorer är parallella.

Question 3

Vad är egenvärden?

Answer 3

Är de talet lamhda som vi multiplicerar vektorn X alltså egenvektorn

Question 4

Finn egenvärde och undersök om X är en egenvektor till A om A=(-7,4;-8,5) och x=(2,-1)

Answer 4

X är en egenvektor till A med egenvärde -3

Question 5

Finn egenvärdet och undersök om X är en egenvektor till A om A=(-7,4;-8,5) och x=(1,2)

Answer 5

Så x=(1,2) är ej en egenvektor till A, för att det är ej parallella. Finns inget egenvärde.

Question 6

Om vi har en egenvektor, vad betyder det?

Answer 6

Har vi oändligt med lösningar.

Question 7

Karakterisktiska ekvationen för A och vad kan du göra med den?

Answer 7

PA(λ)=det|λI-A|=0
Beräkna egenvektorn och egenvärde

Question 8

Bestäm samtliga egenvektorer och egenvärden för A=(-7,4;-8,5)

Answer 8

Lösning det|λI-A|=0

Glöm inte att determinera

Egenvektor t(-1,1), t≠0, med egenvärde 1

Egenvektor t(-2,1), t≠0, med egenvärde -3

Question 9

Beräkna egenvektorer och egenvärde för
A=(2,1,1;1,2,-1;1,-1,2)

Answer 9

det|λI-A|=0

Glöm inte att determinera

Egenvektor är t(1,-1,-1),t≠0, egenvärde 0

Egenvektor x-y-z=0, (x,y,z)≠0, egenvärde 3

Question 10

Vad menas med att man Diagonalisera en matris A?

Answer 10

Är en omvandling av en matris till en diagonalmatris.

Hitta en koordinatbytesmatris (P)
Hitta en diagonalmatris (D)

Question 11

Om egenvektorerna svara mot olika egenvärden, vad betyder det?

Answer 11

Så är det linjärt oberoende

Question 12

Hur ser formeln ut för uträkning av en diagonalisering?

Answer 12

D=P^-1AP

Där D utgör egenvärdena och P utgör egenvektorerna

Question 13

Vilka egenskaper ger en diagonalmatris?

Answer 13

Den genererar egenvärdena till matrisen A

Question 14

För att kolla om en matris är diagonaliserbar, vilka steg/uträkningar måste du göra och i vilken ordning?

Answer 14

1.Beräkna A:s egenvärden. m.h.a det(A-λI)=0
2.Beräkna A:s egenvektorer m.h.a (A-λI)x=0
3.Konstruerar matriserna P och D och ställ upp de erhållna matriserna i likheten AP=PD. Kontrollera eventuellt denna likhet.

Question 15

Vad måste ingå för att man ska kunna diagonalisera en matris A

Answer 15

Måste hitta en bas av egenvektorer.

Question 16

Diagonalisera matrisen A=(2,1,1;1,2,-1;1,-1,2)

Answer 16

Egenvärden och egenvektorer:
t(1,-1,-1),t≠0,med egenvärde 0

x-y-z=0, egenvärde 3

Gör en bas av egenvektorerna t.ex:

e1=(2,1,1) , e2=(1,1,0) , e3=(1,-1,-1)

Question 17

Spektralsatsen

Answer 17

Att om A är symmetrisk så är A Diagonaliserbar , med en ortogonal koordinabytesmatrisen.