6 Integrál podle míry

Question 1

Integrál podle míry

Answer 1

Pro náhodnou veličinu X na prostoru s mírou (Omega, A, mi) definujeme integrál podle míry mi I_Omega(X dmi), zkráceně I(X dmi). následovně:
- Pro nezápornou jednoduchou n.v. X = Suma xk IAk: I(X dmi) = Suma xk mi(Ak)
- Pro nezápornou n.v.: I(X dmi) = lim I(Xn dmi) pro libovolnou posloupnost náhodných veličin Xn /> X
- Pro obecnou n.v.: I(X dmi) = I(X+ dmi) - I(X- dmi), pokud alespoň jeden z integrálů vpravo existuje

Question 2

Integrovatelnost n.v.

Answer 2

Náhodná veličina je integrovatelná, pokud I(X+ dmi) < nekonečno a I(X- dmi) < nekonečno

Question 3

Vlastnosti integrálu podle míry

Answer 3

• Pro nezáporní n.v. platí I(X + Y dmi) = I(X dmi) + I(Y dmi)
• Pokud existují integrály I(X dmi), I(Y dmi) a I(X dmi) + I(Y dmi), pak existuje I(X+Y dmi) a platí I(X dmi) + I(Y dmi) = I(X + Y dmi)
• I_AUB(X dmi) = I_A(X dmi) + I_B(X dmi), A, B disjoined a naopak
• I(cX dmi) = cI(X dmi)
• X <= Y -> I(X dmi) <= I(Y dmi)
• Pokud je X nezáporná, tak I(X dmi) >= 0
• |I(X dmi)| <= I(|X| dmi)
• Pokud X = Y a.e., tak I(X dmi) = I(Y dmi)